20 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 31. Hình nón có đáp án
20 câu hỏi
Trong các hình sau đây, hình nào là hình nón có \[O\] là tâm của mặt đáy, \[r\] là bán kính đáy, \[h\] là chiều cao?![Trong các hình sau đây, hình nào là hình nón có \[O\] là tâm của mặt đáy, \[r\] là bán kính đáy, \[h\] là chiều cao? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/10-1769745952.png)
+ Hình a) là hình nón
Trong các vật thể ở các hình dưới đây, vật thể nào có dạng hình nón?
+ Vật thể e) là vật thể có dạng hình nón
Cho tam giác vuông \[H\] tại\(ABC\),\(A\) và\(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(\Delta AHC\), ta thu được hình nón.
a) Tính độ dài đường sinh \(\widehat {HAC} = 30^\circ \) của hình nón
b) Tính thể tích hình nón.
![Cho tam giác vuông \[H\] tại\(AB (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/12-1769746011.png)
a) Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(\Delta AHC\), ta thu được hình nón có bán kính đáy \(r = AC = a\), chiều cao \(h = AB = a\sqrt 3 \)và đường sinh là cạnh huyền \(l = BC\).
Xét tam giác \( = 2\sqrt 3 \) vuông tại \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH\), theo pythagore, ta có:
\[\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow l = 2a\end{array}\]
Đường sinh của hình nón \[2a\] (đvđd)
b) Thể tích hình nón là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{3}\] (đvtt)
Cho tam giác \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{G^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{G^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow OG = 2a\sqrt 3 \) vuông tại \(SO.OG = OH.SG \Rightarrow SG = \frac{{SO.OG}}{{SG}} = \frac{{6a.2a\sqrt 3 }}{{3a}} = 4a\sqrt 3 \), \( \Rightarrow DE = 8a\sqrt 3 \) và \(OD = \sqrt {O{G^2} + D{G^2}} = \sqrt {12{a^2} + 48{a^2}} = 2\sqrt {15} a\). Tính thể tích \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {2\sqrt {15} a} \right)^2} \cdot 6a = 120\pi {a^3}\) của hình nón nhận được khi quay tam giác \(\left( \alpha \right)\) quanh cạnh \({V_1}\).
Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(AC\), ta thu được hình nón có bán kính đáy \(r = AB = a\), chiều cao \(h = AC\)và đường sinh là cạnh huyền \(l = BC\).
Xét tam giác \( = 2\sqrt 3 \) vuông tại \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH\), ta có \(\frac{8}{{117}}\).
Vậy thể tích hình nón là : \(\frac{4}{{21}}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính diện tích toàn phần của hình nón thu được khi quay tam giác \[AA'C\] quanh trục \(AA'\).
![Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính diện tích toàn phần của hình nón thu được khi quay tam giác \[AA'C\] quanh trục \(AA'\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/13-1769746068.png)
![Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính diện tích toàn phần của hình nón thu được khi quay tam giác \[AA'C\] quanh trục \(AA'\). (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/14-1769746078.png)
Quay tam giác \[AA'C\] một vòng quanh trục \(AA'\) tạo thành hình nón có chiều cao \(AA' = a\), bán kính đáy \[r = AC = a\sqrt 2 \], đường sinh \(l = A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} = a\sqrt 3 \).
Diện tích toàn phần của hình nón: \(S = \pi r\left( {r + l} \right) = \pi a\sqrt 2 \left( {a\sqrt 2 + a\sqrt 3 } \right) = \pi \left( {\sqrt 6 + 2} \right){a^2}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), cạnh \(AB = 6\), \(AC = 8\) và \(M\)là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính thể tích của hình nón thu được do tam giác \(BMC\) quanh quanh \(AB\).
Khi tam giác \(BMC\) quanh quanh trục \(AB\)thì thể tích hình nón tạo thành là hiệu của thể tích hình nón có đường cao \(AB\), đường sinh \(BC\) và hình nón có đường cao \(AB\), đường sinh \(BM\).
Nên \(V = \frac{1}{3}AB.\pi .A{C^2} - \frac{1}{3}AB.\pi .A{M^2} = \frac{1}{4}AB.\pi .A{C^2} = 96\pi \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 6cm,\,AC = 8cm\). Gọi \({V_1}\) là thể tích hình nón tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) và \({V_2}\) là thể tích hình nón tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\). Tính tỷ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\].
Ta có công thức tính thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) thì:
\(h = AB = 6cm\) và \(r = AC = 8cm\) thì \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \)
+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) thì:
\(h = AC = 8cm\) và \(r = AB = 6cm\) thì \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \)
Vậy: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{3}\]
Một chiếc nón có đường kính đáy bằng 28 cm và đường sinh bằng 30 cm. Tính diện tích lá dùng để làm nón, biết tỉ lệ hao hụt là 10% (lấy p = 3,14).
Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy R = 28: 2 = 14cm và đường sinh l = 30cm nên diện tích xung quanh của chiếc nón là:
Vậy diện tích lá dùng để làm nón là 110%.1318,8=1450,68 cm2
Chiếc nón do một làng nghề ở Việt Nam sản xuất là hình nón có đường sinh bằng 30 cm, đường kính đáy bằng 40 cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón. Tính diện tích lá cần dùng làm5000 chiếc nón.
Vì chiếc nón hình nón có đường sinh l = 30cm và bán kính đáy R = 40: 2 = 20cm nên diện tích xung quanh của chiếc nón là:
Sxq = pRl = p. 20. 30 = 600p (cm2)
diện tích là cần dùng cho một chiếc nón là: 2. 600p = 1200p cm2.
Vậy diện tích là cần dùng làm 5000 chiếc nón là: 500. 1200p = 600000p cm2.
Một chiếc phểu lọc cà phê có dạng hình nón với đường kính đáy là 5cm, chiều cao là 4 cm. Tính thể tích của chiếc phểu là bao nhiêu?
Bán kính đáy \(R = 5:2 = 2,5\,cm\)
Thể tích chiếc phểu là \(V = \frac{1}{3}.\pi .2,{5^2}.4 \approx 26,2\,(c{m^3})\)
Một chiếc nón Câu thơ xứ Huế có đường kính khoảng 46 cm và chiều cao khoảng 20cm. Tính diện tích xung quanh của chiếc nón.
Bán kính đáy hình nón là \[R = 46:2 = 23\,cm\]
Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}} \approx 30,5\,cm\)
Diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi .23.30,5 \approx 2203,8\,(c{m^2})\)
Một chiếc vỏ kem ốc quế dạng hình nón có đường kính đáy xấp xỉ 46mm và chiều cao xấp xỉ 110 mm. Tính diện tích của 200 chiếc vỏ kem ốc quế.
Lời giải
Bán kính đáy hình nón là \[R = 46:2 = 23\,cm\]
Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}} \approx 30,5\,cm\)
Diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi .23.30,5 \approx 2203,8\,(c{m^2})\)
Một chiếc mũ chú hề có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Tính diện tích vải để may một chiếc mũ ( đon vị: cm)
Bán kính đáy hình nón là \[R = 46:2 = 23\,cm\]
Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}} \approx 30,5\,cm\)
Diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi .23.30,5 \approx 2203,8\,(c{m^2})\)
Một nhà hát ở Bạc Liêu có hình dạng thiết kế chia làm ba hình khối trụ tròn, có hái hình chiếc nón hướng vào nhau, chiều cao nón lớn nhất là 24m và đường kính của nón lớn nhất là 45m. Tính diện tích của mái lớn nhất và thể tích của mái đó.
Bán kính của mái nón lớn nhất là \(R = 45:2 = 22,5\,m\)
Thể tích là \(V = \frac{1}{3}.\pi .22,{5^2}.24 \approx 12723,5\,\left( {{m^3}} \right)\)
Một chiếc lều trẻ em có dạng hình tru với chiều 160 cm và thể tích 1,256 m3. Tính diện tích vải để may được một chiếc lều( không tính mặt đáy)
Đổi 160cm=1,6m
Bán kính đáy hình nón là \(R = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\frac{{3.1,256}}{{\pi .1,6}}} \approx 0,9\,(m)\)
Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {0,{9^2} + 1,{6^2}} \approx 1,84\,\left( m \right)\)
Diện tích vải để may một chiếc lều là \(S = \pi .0,9.1,84 \approx 5,2\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Một chóa đèn có dạng hình nón với đường kính đáy BC=20cm, đặt bên trong là một bóng đèn tại A. Khi được treo trên trần nhà thì đèn chiếu sáng một khoảng rộng 3m trên nền nhà. Biết rằng độ cao từ trần nhà ( điểm A) là 4,2 m. Tính:
a) Khoảng hở giữa chóa đèn và nền nhà?
b) Diện tích được chiếu sáng trên nền nhà (Biết bóng đèn chiếu sáng trên nền nhà là một hình tròn)
Bán kính mặt đáy là \(R = 3:2 = 1,5m\)
Diện tích chiếu sáng trên nền nhà là \(S = \pi .1,{5^2} = 5,65\,\left( {{m^2}} \right)\)
Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ \(1\,kg\) lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là \(6,13\,{m^2}\). Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường trình vành nón \(50\,cm\), chiều cao \(30\,cm\) thì cần bao nhiêu khối lượng lá? (coi mỗi chiếc nón có hình dạng là một hình nón)
Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy\(R = \frac{{50}}{2} = 25\,\left( {cm} \right) = 0,25\,\left( m \right)\) và đường cao \(h = 30\,\left( {cm} \right) = 0,3\,\left( m \right)\).
Gọi \(l\) là chiều cao của hình nón\( \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\,\,\left( m \right)\).
Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón lá là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .0,25.\frac{{\sqrt {61} }}{{20}} = \frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là \(S = 1000.\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Do đó khối lượng lá cần dùng là \(\frac{S}{{6,13}} \approx 50,03\,\left( {kg} \right)\).
Một chiếc thùng chứa đầy nước có hình một khối lập phương. Đặt vào trong thùng đó một khối nón sao cho đỉnh khối nón trùng với tâm một mặt của khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.
Coi khối lập phương có cạnh \[1\]. Thể tích khối lập phường là \[V = 1\].
Từ giả thiết ta suy ra khối nón có chiều cao \[h = 1\], bán kính đáy \[r = \frac{1}{2}\].
Thể tích lượng nước trào ra ngoài là thể tích \[{V_1}\] của khối nón.
Ta có: \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}.1 = \frac{\pi }{{12}}\].
Thể tích lượng nước còn lại trong thùng là: \[{V_2} = V - {V_1} = 1 - \frac{\pi }{{12}} = \frac{{12 - \pi }}{{12}}\].
Do đó: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{{12 - \pi }}\].
Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm. 
Gọi a là bán kính đáy hình nón;
\({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1 dm;
h, \({V_3}\) lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm;
R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
Ta có: \(\frac{R}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = \frac{a}{2}\).
Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là \({V_2} = {\textstyle{1 \over 3}}.1.\pi {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}.\)
Mặt khác: \(\frac{r}{a} = \frac{h}{2} \Rightarrow r = \frac{{ah}}{2}.\)
Do đó thể tích nước hình nón dưới \({V_3} = {\textstyle{1 \over 3}}.h.\pi {\left( {{\textstyle{h \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}.\)
Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước \[{V_1} = {\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2}.\]
Lại có: \({V_3} = {V_1} - {V_2} \Rightarrow \)\(\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \)\[{\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2} - \]\(\frac{{\pi {a^2}}}{{12}}\)\( \Leftrightarrow 1 + {h^3} = 8 \Leftrightarrow h = \sqrt[3]{7}.\)
Một cái phểu có dạng hình nón, chiều cao của phểu là \(20cm\). Người ta đổ một lượng nước vào phểu sao cho chiều cao của cột nước trong phểu là \(10cm\). Nếu bịt kín miệng phểu rồi lật ngược lên thì chiều cao của cột nước trong phểu bằng bao nhiêu?
Gọi \(R\) là bán kính đáy của cái phểu ta có \(\frac{R}{2}\) là bán kính của đáy chứa cột nước
Ta có thể tích phần nón không chứa nước là \(V = \frac{1}{3}\pi {\left( R \right)^2}.20 - \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.10 = \frac{{35}}{6}\pi {R^2}\).
Khi lật ngược phểu Gọi \(h\) chiều cao của cột nước trong phểu.phần thể tích phần nón không chứa nước là \[V = \frac{1}{3}\pi \left( {20 - h} \right){\left( {\frac{{R\left( {20 - h} \right)}}{{20}}} \right)^2} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}{R^2}\].
\[\frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}{R^2} = \frac{{35}}{6}\pi {R^2} \Rightarrow {\left( {20 - h} \right)^3} = 7000 \Rightarrow h \approx 0,87\]
