19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 8)

x+12−1=0⇔x+12=1⇔x+1=2⇔x=1

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

2x−y=3x2+y=5⇔x2+2x=82x−y=3⇔x2+2x−8=0  (1)y=2x−3         (2)

Giải (1): Δ'=9 ; x1=2 , x2=−4

Thay vào (2): Với x=2 thì y=2.2−3=1

Với x=−4 thì y=2.(−4)−3=−11

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x,y∈2;1,−4;−11

 

a) Vì A, B thuộc (P) nên:

xA=−1⇒yA=12⋅-12=12xB=2⇒yB=12⋅22=2⇒A−1;12 , B(2;2)

b) Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.

Ta có hệ phương trình:

−a+b=122a+b=2⇔3a=322a+b=2⇔a=12b=1

Vậy (d): y=12x+1.

c) (d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)

=>  OC = 1 và OD = 2

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆ vuông OCD, ta có:

1h2=1OC2+1OD2=112+122=54⇒h=255

Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là 255.

 

a, x2−2(m+1)x+m2+m−1=0 (1)

Với m = 0, phương trình (1) trở thành:

 x2−2x−1=0Δ'=2 ; x1,2=1±2

Vậy với m = 2 thì nghiệm của phương trình (1) là x1,2=1±2

b) Δ'=m+2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔m>−2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=2(m+1)x1x2=m2+m−1

Do đó:

    1x1+1x2=4⇔x1+x2x1x2=4⇔2(m+1)m2+m−1=4⇔m2+m−1≠0m+1=2(m2+m−1)⇔m2+m−1≠02m2+m−3=0⇔m=1m=−32

Kết hợp với điều kiện ⇒m∈1;−32 là các giá trị cần tìm.

a) Tứ giác AHIK có:

AHI^=900 (IH⊥AB)AKI^=900 (IK⊥AD)⇒AHI^+AKI^=1800

=> Tứ giác AHIK nội tiếp.

b) ∆IAD và ∆IBC có:

A^1=B^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

AID^=BIC^ (2 góc đối đỉnh)

=> ∆IAD ~ ∆IBC (g.g)

⇒IAIB=IDIC⇒IA.IC=IB.ID

c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK cóK^1=D^1

A^1=H^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

mà A^1=B^1⇒H^1=B^1

Chứng minh tương tự, ta được K^1=D^1

∆HIK và ∆BCD có: H^1=B^1 ; K^1=D^1

=>  ∆HIK ~ ∆BCD (g.g)

d) Gọi S₁ là diện tích của ∆BCD.

Vì ∆HIK ~ ∆BCD nên:

S'S1=HK2BD2=HK2(IB+ID)2≤HK24IB.ID=HK24IA.IC                                (1)

Vẽ AE⊥BD , CF⊥BD⇒AE//CF⇒CFAE=ICIA 

∆ABD và ∆BCD có chung cạnh đáy BD nên:

S1S=CFAE⇒S1S=ICIA                                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra

S'S1⋅S1S≤HK24IA.IC⋅ICIA⇔S'S≤HK24IA2 (đpcm)

ĐK: x>43 

Đặt: x3−4=u2x2+43=v (v>1)⇒v3−4=x2                                                               

Khi đó phương trình (1) ⇔u23=v2+42 hay u3−4=v2   (4)

Từ  (2), (3), (4)  ta có hệ phương trình:  

x3−4=u2v3−4=x2u3−4=v2⇒x3−v3=u2−x2 (5)u3−x3=v2−u2 (6) 

Vì x, u, v > 1 nên giả sử x≥v thì từ (5) ⇒u≥x

Có u≥x nên từ (6) ⇒v≥u

Do đó: x≥v≥u≥x⇒x=v=u

Mặt khác, nếu x < v thì tương tự ta có x < v < u < x (vô lí)

Vì x = u nên:

x3−4=x2⇔x−2x2+x+2=0⇔x=2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2.