19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 3)

Ta có: $(2x-1)(x+2)=0\iff \left[\begin{array}{l}2x-1=0\\ x+2=0\end{array}\right.$

Với $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

Với $x+2=0\iff x=-2$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\frac{1}{2};x=-2$

Để hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau thì: $\left\{\begin{array}{l}-1=m^2-2\\ m+2\ne 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2=1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\pm 1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m=-1$

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.

Ta có:$$\begin{gathered} P=\left[\frac{x-\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}-\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right]:\frac{1-\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}=\frac{x-\sqrt{x}+2-\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}.\frac{2-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} \\ =\frac{2-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{2(1-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=-\frac{2}{\sqrt{x}+1} \end{gathered}$$ 

Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy.

ĐK: $x,y\in N*$.

Theo giả thiết ta có: $x+y=900$       (1)

Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai:

Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máy

Theo giả thiết ta có: $1,1x+1,12y=1000$       (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=900\\ 1,1x+1,12y=1000\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình được $\left\{\begin{array}{l}x=400\\ y=500\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy trong tháng đầu tổI sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết.

Để PT có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì: $\Delta =25-12m+4\ge 0\iff 29-12m\ge 0\iff m\le \frac{29}{12}$

Ta có: $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75\iff (x_1-x_2)[{(x_1+x_2)}^2-x_1{x}_2]+3x_1{x}_2-75=0$    (*)

Theo định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.$ thay vào (*) ta được

$$\begin{gathered} (x_1-x_2)(26-3m)+3(3m-26)=0\iff (x_1-x_2-3)(26-3m)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{26}{3}\\ x_1-x_2-3=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.

Kết hợp $x_1-x_2-3=0$ với hệ thức Vi - et ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-3=0\\ x_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=-4\\ m=\frac{5}{3}(t/m)\end{array}\right.$.

Vậy m = 5/3  là giá trị cần tìm.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có $\widehat{MBO}={90}^0, \widehat{MAO}={90}^0$ (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}={180}^0$.Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có $A\text{E}//MO\Rightarrow \widehat{A\mathit{\text{E}}M}=\widehat{EMN} \mathrm{mà} \widehat{AEM}=\widehat{MAF}\Rightarrow \widehat{EMN}=\widehat{MAF}$

$\Delta NMF\mathit{ }và\mathit{ }\Delta NAM$ có: $\widehat{MNA}$ chung; $\widehat{EMN}=\widehat{MAF}$

nên $\Delta NMF$ đồng dạng với $\Delta NAM$

$\Rightarrow \frac{NM}{NF}=\frac{NA}{NM}\Rightarrow N{M}^2=NF.NA\left(1\right)$

Mặt khác có: $\widehat{ABF}=\widehat{AEF}\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{EMN }hay \widehat{HBF}=\widehat{FMH}$ 

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{FHM}=\widehat{FBM}=\widehat{FAB} hay \widehat{FHN}=\widehat{NAH}$

Xét $\Delta NHF \& \Delta NAH có \widehat{ANH }chung; \widehat{NHF}=\widehat{NAH}$

=> $\Delta NMF$ đồng dạng $\Delta NAH\Rightarrow \Rightarrow \frac{NH}{NF}=\frac{NA}{NH}\Rightarrow N{H}^2=NF.NA\left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh: $\frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{\text{EF}}{MF}=1$.

Xét $\Delta M\text{AF}$ và $\Delta ME\text{A}$ có: $\widehat{AME}$ chung, $\widehat{MAF}=\widehat{MEA}$

suy ra $\Delta M\text{AF}$ đồng dạng với $\Delta ME\text{A}$

$\Rightarrow \frac{ME}{MA}=\frac{MA}{MF}=\frac{AE}{AF}\Rightarrow \frac{{\displaystyle ME}}{{\displaystyle MF}}=\frac{{\displaystyle A{E}^2}}{{\displaystyle A{F}^2}}$     (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{MHB}={90}^0\Rightarrow \widehat{BFE}={90}^0$ và $\widehat{AFH}=\widehat{AHN}={90}^0\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{BFH}$

$\Delta AEF$ và $\Delta HBF$ có: $\widehat{EFA}=\widehat{BFH} ; \widehat{FEA}=\widehat{FBA}$

suy ra $\Delta AEF$ $~$ $\Delta HBF$ 

$\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{HB}{HF}\Rightarrow \frac{A{E}^2}{A{F}^2}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}$               (4)

Từ (3) và (4) ta có $\frac{ME}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff \frac{MF+FE}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff 1+\frac{FE}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff \frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{FE}{MF}=1$

Vì: $\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{1+b^2}; 1+b^2\ge 2b\mathit{ }nên\mathit{ }\frac{\mathit{a}\mathit{+}\mathit{1}}{\mathit{1}\mathit{+}{\mathit{b}}^{\mathit{2}}}\ge a+1-\frac{{\mathit{b}}^{\mathit{2}}\mathit{(}\mathit{a}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}{\mathit{2}\mathit{b}}=a+1-\frac{\mathit{a}\mathit{b}\mathit{+}\mathit{b}}{\mathit{2}}$

Tương tự: $$\begin{gathered} \frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}; \frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2} \\ \Rightarrow M\ge a+b+c+3-\frac{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{2}=3+\frac{3-(ab+bc+ca)}{2} \end{gathered}$$

Chứng minh được: $3(ab+bc+ca)\le {(a+b+c)}^2=9ac\Rightarrow \frac{3-(ab+bc+ca)}{2}\ge 0\Rightarrow M\ge 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3.

Từ phương trình (2) thay y= 3-x vào phương trình (1) ta được: $3x+3-x=5\iff x=1$.

Với $x=1\Rightarrow y=2$.Vậy hệ phương trình có nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$