19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 17)

Ta có với mọi số nguyên m thì m² chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.

+ Nếu n² chia cho 5 dư 1 thì  n2=5k+1=>n2+4=5k+5⋮5;k∈N*.

Nên n²+4 không là số nguyên tố

+ Nếu n² chia cho 5 dư 4 thì n2=5k+4=>n2+16=5k+20⋮5;k∈N*.

Nên n²+16 không là số nguyên tố.

Vậy n² ⋮ 5 hay n ⋮5

x2−2y(x−y)=2(x+1)<=>x2−2(y+1)x+2(y2−1)=0(1)

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì D' theo y phải là số chính phương

+ Nếu Δ'=4=>(y−1)2=0<=>y=1 thay vào phương trình (1) ta có :

x2−4x=0<=>x(2−4)<=>x=0x−4

+ Nếu Δ'=1=>(y−1)2=3<=>y∉Z.

+ Nếu Δ'=0=>(y−1)2=4<=>y=3y=−1

+ Với y = 3 thay vào phương trình (1) ta có:  x2−8x+16=0<=>(x−4)2=0<=>x=4

+ Với y = -1 thay vào phương trình (1) ta có: x2=0<=>x=0

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x;y)∈{(0;1);(4;1);(4;3);(0;-1)}

A=2(3+5)22+3+5+2(3−5)22−3−523+54+(5+1)2+3−54−(5−1)2=23+55+5+3−55−52(3+5)(5−5)+(3−5)(5+5)(5+5)(5−5)=215−35+55−5+15+35−55−525−5=2.2020=2Vậy A=2

Phương trình

(x−2)(x−3)(x+4)(x+5)=m<=>(x2+2x−8)(x2+2x−15)=m(1)

Đặt x2+2x+1=(x+1)2=y(y≥0) phương trình (1) trở thành:

(y−9)(y−16)=m<=>y2−25y+144−m=0(2)

Nhận xét: Với mỗi giá trị y > 0 thì phương trình: (x+1)²=y có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtÛ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Δ'>0S>0P>0<=>Δ'=4m+49>025>0144−m>0<=>−494<n<144

Vậy với −494<n<144 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 

Điều kiện: x≥1(*)

Ta có: x2−x−4=2x−1(1−x)<=>x2+2xx−1+x−1−2(x+x−1)−3=0

Đặt: x+x−1=y(y≥1)(**) phương trình trở thành y2−2y−3=0

y2−2y−3=0<=>(y+1)(y−3)=0<=>y=−1y=3

+ Với y = -1 không thỏa mãn điều kiện (**).

+ Với y = 3 ta có phương trình:

x+x−1=3<=>x−1=3−x<=>x≤3x−1=9−6x+x2<=>x≤3x2−7x+10=0<=>x≤3x=2x=5<=>x=2

thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

x3+xy2−10y=0x2+6y2=10<=>x3+xy2−(x2+6y2)y=0   (1)x2+6y2=10                       (2)

Từ phương trình (1) ta có:

x3+xy2−(x2+6y2)y=0<=>x3+xy2−x2y−6y3=0<=>x3−2x2y+x2y−2xy2+3xy2−6y3=0<=>(x−2y)(x2+xy+3y2)=0<=>x=2yx2+xy+3y2=0

+ Trường hợp 1: x2+xy+3y2=0<=>(x+y2)2+11y24=0=>x=y=0

Với x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x= 2y thay vào phương trình (2) ta có: 

4y2+8y2=12<=>y2=1<=>y=1=>x=2y=−1=>x=−2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y)∈{(2;1);(−2;−1)}

a, Ta có AKB =AEB  (vì cùng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)

Mà ABE =AEB  (tính chất đối ứng) suy ra AKB= ABE (1)

AKC= AFC (vì cùng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)

ACF= AFC  (tính chất đối xứng)

Gọi (O’) là đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K. Ta có dây cung BC=R3

BKC=60^o= BAC nên bán kính đường tròn (O’) bằng bán kính R của đường tròn (O).

Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC (N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC.

Ta có BOC=120^o ;BKC =60^o suy ra BOC +BKC =180⁰  nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.

Ta có OB=OC=R suy ra OB= OC=> BKO= CKO  hay KO là phân giác góc BKC theo phần (a) KA

Ta có:

 P=1x(1z2+1y2)+1y(1z2+1x2)+1z(1x2+1y2)

Đặt: 1x=a;1y=b;1z=c thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

P=ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2=a2a(1−a2)+b2b(1−b2)+c2c(1−c2)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

a21-a22=12.2a2(1−a2)(1−a2)≤122a2+1−a2+1−a23=427=>a(1−a2)≤233<=>a2a(1−a2)≥332a2(1)

Tương tự: b2b(1−b2)≥332b2(2);c2c(1−c2)≥332c2(3)

Từ (1); (2); (3) ta có P≥332(a2+b2+c2)=332

Đẳng thức xảy ra a=b=c=13hay x=y=z=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 332