19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 16)
10 câu hỏi
Tính giá trị của biểu thức sau: A=43+5−81+5+155
A=43+5−81+5+155=4(3−5)4−8(1−5)−4+1555=3−5+2−25+35=5
Tính giá trị của biểu thức sau: B=2+22−1+2−22−1
B=2+22−1+2−22−1=(2−1+1)2+(2−1−1)2=2−1+1+1−2−1=2
Rút gọn biểu thức: C=a2−aa+a+1−a2+aa−a+1+a+1
C=a2−aa+a+1−a2+aa−a+1+a+1 (DK:a≥0)C=a(a)3−1a+a+1−a(a)3+1a−a+1+a+1=a(a−1)−a(a+1)+a+1=a−a−a−a+a+1=a-12
Giải phương trình: 13x−1+12x+4=19x−2+15−4x
13x−1+12x+4=19x−2+15−4xĐK: x≠13,x≠−2,x≠29,x≠54
Ta có pt: 5x+3(3x−1)(2x+4)=5x+3(9x−2)(5−4x)
<=>x=−35(3x−1)(2x+4)=(9x−2)(5−4x)<=>x=−356x2+12x−2x−4=−36x2+45x+8x−10<=>x=−35(TM)x=67(TM)x=16(TM)
Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên.
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: x+y=zx3+y3=z2
Ta có: x3+y3=(x+y)2<=>(x+y)(x2−xy+y2−x−y)=0
Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: x2−xy+y2−x−y=0
⇔2(x2−xy+y2−x−y)=0⇔x-y2+x-12+(y-1)2=2
Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:
+ Trường hợp 1: x−y=0x-12=1⇔x=y=2,z=4y-12=1
+ Trường hợp 2: x−1=0x-y2=1⇔x=1,y=2,z=3y-12=1
+ Trường hợp 3: y−1=0x-y2=1x-12=1⇔x=2,y=1,z=3
Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)
Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút.
Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0)
Thời gian B đã chạy là 6−x12 . Đổi 15p = 1/4 (giờ)
Thời gian A đã chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi là 610=35 (giờ)
Thời gian A đã chạy từ đỉnh đồi đến chỗ gặp nhau là x/15
Ta có phương trình: 14+6−x12=x15+35
Giải phương trình được x= 1(km)
Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.
a. Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB
b. Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB2
a. Ta thấy AN^ BI ,BM ^AI , nên K là trực tâm tam giác IAB. Do đó IK^ AB
b. Vì DAEK∽ DANB ∽ nên AK. AN =AE .AB
Tương tự vì DBEK∽ DBMA ∽ nên BK .BM =BE. BA
Vậy AK.AN+BK.BM=AE.AB+BE.BA=AB2
Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.
c. Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất
Chỉ ra sđ MN=60o nên tính được AIB=60o , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB.
Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác IAB), khi đó I nằm chính giữa cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB tương ứng với MN song song với AB.
Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12
Ta có: p+(p+2)=2(p+1)
Vì p lẻ nên (p+1)⋮2=>2(p+1)⋮4 (1)
Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên (p+1)⋮3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra p+(p+2)⋮12 (đpcm)
Cho x>0,y>0,z>0xyz=1. Chứng minh rằng 1x+y+1+1y+z+1+1z+x+1≤1
Đặt x=a3y=b3z=c3, vì x,y,z>0xyz=1=>a,b,c>0abc=1
Ta có: x+y+1=a3+b3+1=(a+b)(a2−ab+b2)+1≥(a+b)ab+1=ab(a+b+c)=a+b+cc
Do đó: 1x+y+1≤ca+b+c
Tương tự ta có: 1y+z+1≤aa+b+c1z+x+1≤ba+b+c
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm
