19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 14)
9 câu hỏi
Rút gọn biểu thức A=13+1+13−1+22−62
A=3−1+3+1(3+1)(3−1)+2(2−3)2=233−1+2−3=3+2−3=2
Giải hệ phương trình 3x−y=12x+3y=8
3x−y=12x+3y=8⇔y=3x−12x+3(3x−1)=8⇔y=3x−111x=11⇔y=3x−1x=1⇔x=1y=2
Hệ có nghiệm duy nhất (1;2)
Giải phương trình x2+2x−8=0
x2 + 2x – 8 = 0. Có ∆’ = 1 + 8 = 9 > 0
Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 4x – m
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung
a, Bảng giá trị
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y = –x2 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
Đồ thị:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): –x2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = 0 (1)
(d) và (P) có đúng 1 điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) = 0
ó 4 + m = 0 ⇔ m = –4
Vậy m = –4
Cho phương trình x2 – 5x + 3m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x12−x22|=15
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > 0 ⇔ 21 – 12m > 0
ó m < 21/12
Với m < 21/12 , ta có hệ thức x1+x2=5x1x2=3m+1 Viet'
⇒|x1−x2|=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=52−4(3m+1)=21−12m=>|x12−x22|=|(x1+x2)(x1−x2)|=|5(x1−x2)|=5|x1−x2|=521−12m
Ta có: |x12−x22|=15⇔521−12m=15⇔21−12m=3⇔21−12m=9⇔12m=12⇔m=1(t/m)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Giải phương trình (x – 1)4 = x2 – 2x + 3
(x – 1)4 = x2 – 2x + 3 (1)
(1) (x−1)22=x2−2x+3⇔(x2−2x+1)2=x2−2x+3
Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành t2=t+2⇔t2−t−2=0⇔(t−2)(t+1)=0
ó t = 2 (tm) hoặc t = –1 (loại)
Với t = 2 có x2−2x+1=2⇔x2−2x−1=0⇔x=1±2
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 1−2;1+2
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp
b) Chứng minh CF.CA = CH.CB
a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên
ACB=ADB=90o⇒FCH=FDH=90o⇒FCH+FDH=180o
Suy ra tứ giác CHDF nội tiếp
b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H là trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB
⇒CFH=CBA(=90o−CAB)⇒ΔCFH~ΔCBA(g.g)⇒CFCB=CHCA⇒CF.CA=CH.CB
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
c) Gọi I là trung diểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc COD.
d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD thay đổi
c) Vì FCH=FDH=90o nên tứ giác CHDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính FH
=> IC = ID. Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI
=> OI là phân giác của góc COD
d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD đều => COD = 60o
Có CAD=12COD=30o=>CFD=90o−CAD=60o
Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có
CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = CID2=60o
Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có
CID = 2CFD = 120o => OIC = OID =CID2=60o
Mặt khác COI = DOI = COD2=30o=>OID+DOI=90o=>ΔOID vuông tại D
Suy ra OI=ODsin60o=2R3
Vậy I luôn thuộc đường tròn O;2R3
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:
aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤32
Từ điều kiện đề bài ta có ab+bc+caabc=3⇔1a+1b+1c=3
Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
a2+bc≥2a2.bc=2abc⇒aa2+bc≤22abc=12bc1b.1c≤121b+1c⇒aa2+bc≤141b+1c
Tương tự ta có:
bb2+ca≤141c+1a;cc2+ab≤141a+1b⇒aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤121a+1b+1c=32.
