19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 13)
8 câu hỏi
Cho biểu thức P=1+a1+a−1−a+1−a1−a2−1+a1a2−1−1a với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1
Với 0 < a < 1 ta có:
P=1+a1+a−1−a+1−a21−a1+a−1−a21−a2a2−1a=1+a1+a−1−a+1−a21−a1+a−1−a(1−a)(1+a)a2−1a=1+a1+a−1−a+1−a1+a−1−a1−a.1+aa2−1a=1+a+1−a1+a−1−a.21−a.1+a−(1−a)−(1+a)2a=1+a+1−a1+a−1−a.−1+a−1−a22a=−1+a+1−a1+a−1−a2a=−1+a−1+a2a=−2a2a=−1
Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của A, B. Tìm m sao cho |y12−y22|=35
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): −x2=2mx−1⇔x2+2mx−1=0
Phương trình (*) có ∆’ = m2 + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Áp dụng Viét ta có x1+x2=−2mx1x2=−1⇒|x1−x2|=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4m2+4=2m2+1
Khi đó ta có
y1=2mx1−1y2=2mx2−1⇒|y12−y22|=|(2mx1−1)2−(2mx2−1)2|⇒|y12−y22|=|(2mx1−1−2mx2+1)(2mx1−1+2mx2−1)|=|4m(x1−x2)[m(x1+x2)−1]|=|4m(2m2+1)(x1−x2)|=4m(2m2+1)|x1−x2|=4|m|(2m2+1)2m2+1Ta có: |y12−y22|=35⇔64m2(2m2+1)2(m2+1)=45⇔64(4m4+4m2+1)(m4+m2)=45
Đặt: m4+m2=t≥0 có phương trình 64t(4t+1)=45⇔256t2+64t−45=0⇔t=516 (vì t≥0)⇒m4+m2=516⇔16m4+16m2−5=0⇔m=±12
Vậy m=±12
Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1
a, Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x2
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:
Với x=−1+2⇒y=−3+22
Với x=−1−2⇒y=−3−22
Vậy các giao điểm là −1+2;−3+22;−1−2;−3−22
Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên 1/4 quãng đường AB sau bằng 1/2 vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?
Gọi vận tốc của người đi xe máy trên 3/4 quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0)
Vận tốc của người đi xe máy trên 1/4 quãng đường AB sau là 0,5x (km/h)
Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h)
Tổng thời gian của chuyến đi là 90x+300,5x+120x+10+12=8,5
⇔90x+60x+120x+10=8⇔150x+120x+10=8⇔75(x+10)+60x=4x(x+10)⇔4x2−95x−750=0⇔x=30 (do x>0)
Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)
Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
a) Vì CMA=DMB=60o⇒CMB=DMA=120o. Xét ∆ CMB và ∆ AMD có
CM=AMCMB=DMA⇒ΔCMB=ΔAMD(c.g.c)MB=MD⇒MCB=MADMBC=MDA
Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
b) Chứng minh CP.CB+DP.DA=AB
c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.
b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên
CPM=180o−CAM=120o=CMB⇒ΔCPM~ΔCMB(g.g)⇒CPCM=CMCB⇒CP.CB=CM2⇒CP.CB=CM.
Tương tự DP.DA=DM
Vậy CP.CB+DP.DA=CM+DM=AM+BM=AB
Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.
c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E
Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều
⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM
Ta có CM // DB nên PCM = PBD
Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD
Ta lại có CPM = DPM = 120o ⇒ΔCPM~ΔMPD(g.g)⇒CPMP=PMPD⇒CPPF=PEPD
Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.
Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 5a+4+5b+4+5c+4≥7
Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0≤a,b,c≤1⇒a(1−a)≥0b(1−b)≥0c(1−c)≥0⇒a≥a2b≥b2c≥c2⇒5a+4≥a2+4a+4=(a+2)2=a+2Tương tự: 5b+4≥b+2;5c+4≥c+2⇒5a+4+5b+4+5c+4≥(a+b+c)+6=7 (đpcm)
