19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 12)

a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:

P=a−1(a−1)(a−1)+3a+5(a−1)(a−1).(a+2a+1)−4a4a=4a+4(a−1)2(a+1).a−2a+14a=4(a−1)2.(a−1)24a=1a

b, Có Q=a−a+1a

Xét Q−1=a−2a+1a=(a−1)2a

Vì (a−1)2>0,a>0,∀a>0,a≠1⇒Q−1>0⇒Q>1

Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2⇔Δ'=(m+1)2−m2≥0⇔2m+1≥0⇔m≥−12} 

Theo định lý Viét ta có x1+x2=2m+2x1x2=m2 

Có (2)⇔x12−2x1m+m2+x2=m+2⇔x1(x1−2m)+m2+x2=m+2 

Thay x1−2m=2−x2;m2=x1x2 vào ta cóx1(2−x2)+x1x2+x2=m+2⇔2x1+x2=m+2 

Ta có hệx1+x2=2m+22x1+x2=m+2⇔x1=−mx2=3m+2⇒m2=x1x2=−m(3m+2)⇒4m2+2m=0⇔m=0m=−12 (thỏa mãn)

+ Với m = 0: (1)⇔x2−2x=0⇔x1=0x2=2 (thỏa mãn đề bài)

+ Với m=−12:(1)⇔x2−x+14=0⇔x1=x2=12 (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

 

(x+1)2(x2+4)=x2−x−2 (1)

Điều kiện: x² + 4 ≥ 0 (luôn đùng ∀ x)

(1)⇔(x+1)2(x2+4)=(x−2)(x+1)⇔(x+1)2(x2+4)−(x−2)=0⇔x=−12(x2+4)=x−2(2)

 Có (2)⇔x≥22(x2+4)=x-22⇔x≥2x2+4x+4=0⇔x≥2x=−2 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {–1}

1x−xy=x2+xy−2y2(1)x+3−y1+x2+3x=3(2)

Điều kiện: x>0y>0x+3≥0x2+3x≥0⇔x>0y>0

(1)⇔y−xyx=(x−y)(x+2y)⇔(x−y)x+2y+1yx=0⇔x=y do x+2y+1yx>0,∀x,y>0

Thay y = x vào phương trình (2) ta được:

(x+3−x)(1+x2+3x)=3⇔1+x2+3x=3x+3−x⇔1+x2+3x=x+3+x⇔x+3.x−x+3−x+1=0⇔(x+1−1)(x−1)=0⇔x+3=1x=1⇔x=−2(L)x=1(tm)⇒x=y=1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

x2015=y(y+1)(y+2)(y+3)+1 (1)

y(y+1)(y+2)(y+3)=y(y+3)(y+1)(y+2)=(y2+3y)(y2+3y+2)Đặt t=y2+3y+1⇒y(y+1)(y+2)(y+3)=t2−1 

( t ∈ ℤ , t² ≥ 1)

(1) ⇔x2015−1=t2−1⇔x2015−1≥0x2015−1=t2−1(2)

Với x, t là số nguyên ta có: 

(2)⇔x2015−1+tx2015−1−t=−1⇔x2015−1+t=1x2015−1−t=−1x2015−1+t=−1x2015−1−t=1⇔x2015=t=1x2015=1t=−1

Với x2015=t=1⇒x=1y2+3y+1=1⇔x=1y=0y=−3

Với x2015=1t=−1⇒x=1y2+3y+1=−1⇔x=1y=−1y=−2

Thử lại ta thấy các cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề bài

Vậy có 4 cặp (x;y) cần tìm là (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0)

 

a) Gọi F là điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF là đường kính của (O)

Ta có ACF = ABF = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC

Suy ra BHCF là hình bình hành ⇒ Trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HF.

⇒ OM là đường trung bình của ∆ AHF ⇒ AH = 2OM

b) Vì AHIO là hình bình hành nên OI = AH = 2OM

Gọi P là trung điểm OC ⇒ PJ là trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC.

Có OM là trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC. Suy ra

ΔOJP~ΔOCM(g.g)⇒OJOC=OPOM⇒OJ.OM=OC.OP⇒OJ.2OM=OC.2OP⇒OJ.OI=OC.OC=R2

Ta có  NHC = ABC (cùng phụ với HCB)                         (1)

Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên ABC = ADC                  (2)

Vì D và E đối xứng nhau qua AC nên AC là trung trực DE suy ra

∆ADC = ∆AEC (c.c.c) => ADC = AEC                           (3)

Tương tự ta có AEK = ADK

Từ (1), (2), (3) suy ra NHC = AEC => AEC + AHC = NHC + AHC = 180^o

Suy ra AHCE là tứ giác nội tiếp => ACH = AEK = ADK (đpcm)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(1+a)(1+b)≥1+ab2⇔1+a+b+ab≥1+2ab+ab⇔a+b−2ab≥0⇔a-b2≥0

(luôn đúng với mọi a, b > 0)

 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có (1+a2)(1+b2)≥1+ab=1+a+b (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

1x+1y(x+y)≥21x.1y.2xy=4⇒1x+1y≥4x+y (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

P≥4a2+2a+b2+2b+1+a+b=4a2+b2+2ab+1+a+b=4(a+b)2+a+b8+7(a+b)8+1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

a+b=ab≤(a+b)24⇒(a+b)2≥4(a+b)⇒a+b≥4

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

4(a+b)2+a+b16+a+b16≥34(a+b)2.a+b16.a+b163=34⇒P≥34+78.4+1=214

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4