19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 10)

Khi x= 9 ta có A=9+29−5=3+23−5=−52

Với x≥0,x≠25 thì B=3x+5+20−2xx−15=3x+5+20−2xx+5x−5

=3x−5+20−2xx+5x−5=3x−15+20−2xx+5x−5=x+5x+5x−5=1x−5

 (điều phải chứng minh)

Với x≥0,x≠25 Ta có: A=B.x−4

⇔x+2x−5=1x−5.x−4⇔x+2=x−4(*)

Nếu x≥4, x≠25 thì (*) trở thành : x+2=x−4

⇔x−x−6=0⇔x−3x+2=0

Do x+2>0 nên x=3⇔x= 9 (thỏa mãn)

Nếu 0≤x<4 thì (*) trở thành : x+2=4−x

⇔x+x−2=0⇔x−1x+2=0

Do x+2>0 nên x=1⇔x=1 (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x=1 và x= 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện x>0

Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h  nên vận tốc ô tô là x+10 (km/h).

Thời gian xe máy đi từ A đến B là 120x(h)

Thời gian ô tô đi từ A đến B là 120x+10(h)

Xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút =3/5(h) nên ta có phương trình:

120x−120x+10=35⇔120.5.x+10−120.5.x=3x.x+10⇔3x2+30x−6000=0⇔x+50x−40=0⇔x=−50x=40

Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được x= 40.

Vậy vận tốc của xe máy là 40 (km/h), vận tốc của ô tô là 50(km/h).

Giải hệ phương trình x+2y−1=54x−y−1=2.

Điều kiện:x≥0;  y≥1 

Đặt a=xb=y−1. Điều kiện a; b≥0. Khi đó hệ phương trình ban đầu trở thành

a+2b=54a−b=2⇔a=5−2b45−2b−b=2⇔a=5−2b20−8b−b=2⇔a=5−2b−9b=−18⇔a=1b=2

Do đó: x=1y−1=2⇔x=1y−1=4⇔x=1y=5(t/m)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= (1;5)

Thay tọa độ điểm A(0;5) vào phương trình đường thẳng d:y=mx+5. ta được:

5=m.0+5 luôn đúng với mọi giá trị của tham số m nên đường thẳng (d) luôn

đi qua điểm A với mọi giá trị của m.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x2=mx+5⇔x2−mx−5=0.

Ta có tích hệ số ac=−5<0 nên phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m hay thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta cóx1+x2=mx1x2=−5Ta có:

x1>x2⇔x12>x22⇔x12−x22>0⇒x1+x2x1−x2>0

Theo giả thiết: x1<x2⇔x1−x2<0 do đó x1+x2<0⇔m<0.

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2) Chứng minh NB2=NK.NM.

Ta có N là điểm chính giữa cung BC⏜ ⇒BN⏜=CN⏜ ⇒BMN^=CMN^  (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Mà CBN^=CMN^ (góc nội tiếp chắn cùng chắn cung CN⏜)

CBN^=BMN^ (cùng bằng góc CMN^) ⇒KBN^=BMN^

Xét ΔKBN và ΔBMN có:

N^ chung

KBN^=BMN^

⇒ΔKBN∽ΔBMN⇒KNBN=BNMN⇒NB2=NK.NM

(điều phải chứng minh).

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Ta có M là điểm chính giữa cung AB⏜⇒AM⏜=BM⏜⇒MNA^=MCB^  

⇒KNI^=ICK^ . Tứ giác CNKJ có C và N là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KJ dưới góc bằng nhau nên CNKJ nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Do đó bốn điểm C, N, K, I  cùng thuộc một đường tròn.

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Ta có ABC^=ANC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC⏜)

Mà AMC^=AHI^ (góc nội tiếp cùng chắn cung IC⏜)

⇒ABC^=IKC^ Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên HB//IK (1)

+ Chứng minh tương tự phần 1 ta có tứ giác AMHI nội tiếp

ANC^=IKC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AI⏜)

Ta có ABC^=AMC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC⏜)

⇒ABC^=AHI^ Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BK//HI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.

Mặt khác AN, CM  lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C  trong tam giác ABC nên I là giao điêm 3 đường phân giác, do đó BI là tia phân giác góc B

Vậy tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác BDC^

Ta có KQC^=2KMC^ (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

NDC^=KMC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung NC⏜)

Mà BDC^=2NDC ^⇒KQC^=BDC^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở ⇒BCD^=BCQ^ do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca 

Do đó: 2a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca)=2.9=18⇒2P≥18⇒P≥9

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3. Vậy MinP= 9 khi a=b=c=3

Vì a, b, c ≥1, nên (a−1)(b−1)≥0⇔ab−a−b+1≥0⇔ab+1≥a+b

Tương tự ta có bc+1≥b+c, ca+1≥c+a 

Do đó ab+bc+ca+3≥2(a+b+c)⇔a+b+c≤9+32=6

Mà  P=a2+b2+c2=a+b+c2−2ab+bc+ca=a+b+c2–18

⇒P≤36−18=18. Dấu bằng xảy ra khi : a=4;b=c=1b=4;a=c=1c=4;a=b=1

Vậy maxP= 18 khi : a=4;b=c=1b=4;a=c=1c=4;a=b=1