19 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án

Chọn C

Ta có phương trình: $z^2+5=0\iff z^2=-5\iff z^2=5i^2\iff \left[\begin{array}{l}z=\sqrt{5}i\\ z=-\sqrt{5}i\end{array}\right.$

Chọn A

Ta có 

$$\begin{gathered} z^2+1=z\left(z\in ℂ\right)\iff z^2-2.z.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}\iff {\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3i^2}{4} \\ \iff \left[\begin{array}{l}z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2}\\ z-\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}z=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ z=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có $\Delta \text{'}=-25={\left(5i\right)}^2$. Phương trình có hai nghiệm là $z=-3+5i; z=-3-5i$

Do đó $z_0=-3+5i\Rightarrow \left|z_0+2-i\right|=\left|-1+4i\right|=\sqrt{17}$

Chọn A

Ta có $z^2-2z+5=0\iff \left[\begin{array}{l}z=1+2i\\ z=1-2i\end{array}\right.$

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn $z_1=1-2i$. Khi đó:

$\frac{7-4i}{z_1}=\frac{7-4i}{1-2i}=\frac{\left(7-4i\right)\left(1+2i\right)}{1^2+2^2}=3+2i$

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3;2)

Xét phương trình $z^2-4z+5=0\iff {\left(z-2\right)}^2=-1\iff \left[\begin{array}{l}{z}_1=2+i\\ z_2=2-i\end{array}\right.$

Gọi $z_1, z_2$là nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$

Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=2\\ z_1.z_2=5\end{array}\right.$

Chọn D

Ta có $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình $2z^2+4z+3=0$

Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=-2\\ z_1.z_2=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Chọn A

Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=4\\ z_1.z_2=7\end{array}\right.$

Suy ra 

$$\begin{gathered} z_1^3+z_2^3=\left(z_1+z_2\right)\left(z_1^2-z_1{z}_2+z_2^2\right) \\ =\left(z_1+z_2\right)\left({\left(z_1+z_2\right)}^2-3z_1{z}_2\right) \\ =4.\left(4^2-3.7\right)=-20 \end{gathered}$$

Chọn A

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có $z_1+z_2=\frac{2}{3}$ và $z_1.z_2=9$

Mà $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\sqrt{\left|z_1\right|\left|z_2\right|}=\sqrt{\left|z_1.z_2\right|}=\sqrt{9}=3$

Ta có $z_1+z_2=-\frac{b}{a}=2$. Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi $z_1=x+yi; x,y\in ℝ$ là một nghiệm, nghiệm còn lại là $z_2=x-yi$

Suy ra $z_1-z_2=2yi$ là số ảo. Đáp án B đúng

$\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_1^2+z_2^2}{z_1.z_2}=\frac{{\left(z_1+z_2\right)}^2-2z_1{z}_2}{z_1.z_2}=\frac{4-2a}{a}\in ℝ$

Vậy C là đáp án sai và D đúng

Chọn A

Ta có: $z^4+4z^2-5=0\iff \left[\begin{array}{l}{z}^2=1\\ z^2=-5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}z=1\\ z=-1\\ z=\sqrt{5}i\\ z=-\sqrt{5}i\end{array}\right.$

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: $z_1=1, z_2=-1, z_3=-i\sqrt{5}, z_4=i\sqrt{5}$

Ta có: ${\left(z^2+z\right)}^2+4\left(z^2+z\right)-12=0$

Đặt $t=z^2+z$, ta có $t^2+4t-12=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=-6\end{array}\right.$

Suy ra: $\left[\begin{array}{l}{z}^2+z-2=0\\ z^2+z+6=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{z}_1=1\\ z_2=-2\\ z_3=\frac{-1+i\sqrt{23}}{2}\\ z_4=\frac{-1-i\sqrt{23}}{2}\end{array}\right.$

Nhận xét: $z^2+4=z^2-{\left(2i\right)}^2=\left(z+2i\right)\left(z-2i\right)$

Đặt $f\left(x\right)=z^4+a{z}^2+1,$ ta có:

$$\begin{gathered} \left(z_1^2+4\right)\left(z_2^2+4\right)\left(z_3^2+4\right)\left(z_4^2+4\right)=\prod _{k=1}^4\left(z_k+2i\right).\prod _{k=1}^4\left(z_k-2i\right)=f\left(-2i\right).f\left(2i\right) \\ =\left(16i^4+4a{i}^2+1\right)\left(16i^4+4a{i}^2+1\right)={\left(17-4a\right)}^2 \end{gathered}$$

Ta có $z^{2017}\left(11z+10i\right)=11-10iz\iff z^{2017}=\frac{11-10iz}{11z+10i}\Rightarrow {\left|z\right|}^{2017}=\left|\frac{11-10iz}{11z+10i}\right|$

Đặt $z=a+bi$ có $\left|\frac{11-10iz}{11z+10i}\right|=\left|\frac{11-10i\left(a+bi\right)}{11\left(a+bi\right)+10i}\right|=\sqrt{\frac{{\left(10b+11\right)}^2+100a^2}{121a^2+{\left(11b+10\right)}^2}}=\sqrt{\frac{100\left(a^2+b^2\right)+220b+121}{121\left(a^2+b^2\right)+220b+100}}$

Đặt $t=\left|z\right| \left(t\ge 0\right)$ ta có phương trình $t^{2017}=\sqrt{\frac{100t^2+220b+121}{121t^2+220b+100}}$

Nếu $t\ge 1\Rightarrow VT\ge 1; VP\le 1$

Nếu $t\le 1\Rightarrow VT\le 1; VP\ge 1$