19 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án
19 câu hỏi
Tất cả các nghiệm phức của phương trình z2+5=0 là
±5
±5i
±5i
±5
Chọn C
Ta có phương trình: z2+5=0⇔z2=−5⇔z2=5i2⇔z=5iz=−5i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z1=5i và z2=−5i
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2+z+1=0. Giá trị của biểu thức A=z12+z22 là
2
1
4
3
Chọn B
Ta có Δ=−7=7i2 nên phương trình có hai nghiệm là:
z=−14−74i; z=−14+74i
Suy ra A=z12+z22=1
Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2+1=z z∈ℂ?
1+3i2
1−32
1+32
1+2i2
Chọn A
Ta có
z2+1=zz∈ℂ⇔z2−2.z.12+14=−34⇔z−122=3i24⇔z−12=3i2z−12=−3i2⇔z=1+3i2z=1−3i2
Phương trình z2+az+b=0 a,b∈ℝ có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng
31
5
19
29
Chọn C
Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình z2+az+b=0 nên ta có:
3+4i2+a3+4i+b=0⇔3a+b−7+4a+24i=0⇔3a+b−7=04a+24=0⇔a=−6b=25
Do đó a + b = 19
Cách 2: Vì z1=3+4i là nghiệm của phương trình z2+az+b=0 nên z2=3−4i cũng là nghiệm của phương trình đã cho
Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có z1+z2=−az1.z2=b
⇔3+4i+3−4i=−a3+4i3−4i=b⇔a=−6b=25⇒a+b=19
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2+6z+34=0. Giá trị của z0+2−i là
17
17
217
37
Chọn A
Ta có Δ'=−25=5i2. Phương trình có hai nghiệm là z=−3+5i; z=−3−5i
Do đó z0=−3+5i⇒z0+2−i=−1+4i=17
Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2−2z+5=0. Tọa độ điểm biểu diễn số phức 7−4iz1 trên mặt phẳng phức là
P(3;2)
N(1;-2)
Q(3;-2)
M(1;2)
Chọn A
Ta có z2−2z+5=0⇔z=1+2iz=1−2i
Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1=1−2i. Khi đó:
7−4iz1=7−4i1−2i=7−4i1+2i12+22=3+2i
Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3;2)
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−4z+5=0. Giá trị của biểu thức z1−12019+z2−12019 bằng
21009
21010
0
−21010
Chọn D
Xét phương trình z2−4z+5=0⇔z−22=−1⇔z1=2+iz2=2−i
Khi đó ta có: z1−12019+z2−12019=1+i2019+1−i2019=1+i.1+i21009+1−i.1−i21009=1+i.2i1009+1−i.−2i1009=2i10091+i−1−i=2i1010=i2505.21010=−21010
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−2z+5=0. Giá trị của biểu thức z12+z22 bằng
14
-9
-6
7
Chọn C
Gọi z1, z2là nghiệm của phương trình z2−2z+5=0
Theo định lí Vi-ét ta có: z1+z2=2z1.z2=5
Suy ra z12+z22=z1+z22−2z1z2=22−2.5=−6
Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i ?
z2−2z+3=0
z2+2z+5=0
z2−2z+5=0
z2+2z+3=0
Chọn C
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 - 2i thì nghiệm còn lại là 1 - 2i
Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5
Vậy số phức 1 + 2i là nghiệm của phương trình z2−2z+5=0
Kí hiệu z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình 2z2+4z+3=0. Tính giá trị biểu thức P=z1z2+iz1+z2
P=1
P=72
P=3
P=52
Chọn D
Ta có z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2+4z+3=0
Theo định lý Vi-ét ta có z1+z2=−2z1.z2=32
Ta có P=z1z2+iz1+z2=32+i−2=32−2i=322+−22=52
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−4z+7=0. Giá tị của P=z13+z23 bằng
-20
20
147
287
Chọn A
Theo định lý Vi-ét ta có z1+z2=4z1.z2=7
Suy ra
z13+z23=z1+z2z12−z1z2+z22=z1+z2z1+z22−3z1z2=4.42−3.7=−20
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2−2z+27=0. Giá trị của z1z2+z2z1 bằng
2
6
36
6
Chọn A
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1+z2=23 và z1.z2=9
Mà z1=z2=z1z2=z1.z2=9=3
Do đó z1z2+z2z1=z1.3+z2.3=3z1+z2=3.23=2
Cho số thực a > 2 và gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−2z+a=0. Mệnh đề nào sau đây sai?
z1+z2 là số thực
z1-z2 là số ảo
z1z2+z2z1 là số ảo
z1z2+z2z1 là số thực
Chọn C
Ta có z1+z2=−ba=2. Đáp án A đúng
Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z1=x+yi; x,y∈ℝ là một nghiệm, nghiệm còn lại là z2=x−yi
Suy ra z1−z2=2yi là số ảo. Đáp án B đúng
z1z2+z2z1=z12+z22z1.z2=z1+z22−2z1z2z1.z2=4−2aa∈ℝ
Vậy C là đáp án sai và D đúng
Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4−3z2−2=0 là
32
52
25
23
Chọn A
Ta có: 2z4−3z2−2=0⇔z2=2z2=−12=12.i2⇔z=2z=−2z=22iz=−22i
Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 2+−2+22i+−22i=32
Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4+4z2−5=0. Giá trị của z12+z22+z32+z42bằng
2+25
12
0
2+5
Chọn B
Ta có: z4+4z2−5=0⇔z2=1z2=−5⇔z=1z=−1z=5iz=−5i
Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z1=1, z2=−1, z3=−i5, z4=i5
Do đó: z12+z22+z32+z42=12+12+52+52=12
Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình z2+z2+4z2+z−12=0. Giá trị của biểu thức S=z12+z22+z32+z42 là
S = 18
S = 16
S = 17
S = 15
Chọn C
Ta có: z2+z2+4z2+z−12=0
Đặt t=z2+z, ta có t2+4t−12=0⇔t=2t=−6
Suy ra: z2+z−2=0z2+z+6=0⇔z1=1z2=−2z3=−1+i232z4=−1−i232
Suy ra S=12+−22+−122+2322+−122+−2322=17
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z4z2+z¯=−4. Khi đó z1+z2bằng
1
4
8
2
Chọn A
Điều kiện: z≠0
Ta có: z4z2+z¯=−4⇔z2z2+z¯=−4⇔z.z¯z2+z¯=−4
⇔z¯2+z¯+4=0⇔z¯=−12+152iz¯=−12−152i⇒z=−12−152iz=−12+152i
Vậy z1+z2=−12−152i−12+152i=−1=1
Cho số thực a, biết rằng phương trình z4+az2+1=0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 thỏa mãn z12+4z22+4z32+4z42+4=441. Tìm a
a=1a=−192
a=−1a=192
a=−1a=−192
a=1a=192
Chọn B
Nhận xét: z2+4=z2−2i2=z+2iz−2i
Đặt fx=z4+az2+1, ta có:
z12+4z22+4z32+4z42+4=∏k=14zk+2i.∏k=14zk−2i=f−2i.f2i=16i4+4ai2+116i4+4ai2+1=17−4a2
Theo giả thiết, ta có 17−4a2=441⇔a=−1a=192
Cho số phức z thỏa mãn 11z2018+10iz2017+10iz−11=0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2≤z<3
0≤z<1
1<z<2
12≤z<32
Chọn D
Ta có z201711z+10i=11−10iz⇔z2017=11−10iz11z+10i⇒z2017=11−10iz11z+10i
Đặt z=a+bi có 11−10iz11z+10i=11−10ia+bi11a+bi+10i=10b+112+100a2121a2+11b+102=100a2+b2+220b+121121a2+b2+220b+100
Đặt t=z t≥0 ta có phương trình t2017=100t2+220b+121121t2+220b+100
Nếu t≥1⇒VT≥1; VP≤1
Nếu t≤1⇒VT≤1; VP≥1
Nếu t=1⇒z=1
