20 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án

Chọn B

Gọi M(x;y), I(3;4) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức z; 3 + 4i. Từ giả thiết z−3−4i=1⇒MI=1

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3;4), bán kính r = 1.

Mặt khác z=OM. Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI + r, khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3;4), bán kính r. Hay M185;245

Do đó, maxz=OI+r=5+1=6, khi z=185+245i

Chọn C

Đặt z=x+yi x,y∈ℝ. Khi đó z−2−4i=z−2i⇔x+y−4=0 d

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d

Do đó z=OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d

Suy ra M(2;2)  hay z = 2 + 2i

Chọn B

Gọi F1−3;0, F23;0 có trung điểm là O(0;0). Điểm M  biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến thì z2=OM2=MF12+MF222−F1F224

Ta có MF12+MF22≥MF12+MF2222=50

Đẳng thức xảy ra khi 

MF1=MF2MF1+MF2=10⇒M−4;0M4;0⇒minz=502−364=4

Khi z = 4i  hoặc z = -4i

Chọn D

Gọi A(0;-1), B(0;1) đoạn thẳng AB  có trung điểm O(0;0) . Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến z2=OM2=MA2+MB22−AB24

Theo giả thiết 4MA+3MB=10. Đặt MA=a⇒MB=10−4a3

Khi đó MA−MB=10−7a3≤AB=2⇒−6≤10−7a≤6⇔47≤a≤167

Ta có MA2+MB2=a2+10−4a32=5a−82+369

Do −367≤5a−8≤247⇒0≤5a−82≤57649 nên

MA2+MB2≥4MA2+MB2≤26049⇒z≥1z2≤8149⇒z≤97

Đẳng thức z=1 khi z=±2425+725i. Đẳng thức z=97 khi z=97i

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là 167

Chọn D

Đặt z=x+yix,y∈ℝ⇒z¯=x−yi

Gọi F1−2;0, F22;0, Mx;y, Nx;−y lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức −2;2;z;z¯

Do M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯ nên suy ra M, N  đối xứng nhau qua Ox.

Khi đó SΔOMN=xy

Ta có F1F2=2c=4⇒c=2. Theo giả thiết ta có MF1+MF2=42, tập hợp điểm M  thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn 2a=42⇒a=22; trục bé 2b=2a2−c2=28−4=4⇒b=2

Nên elip có phương trình E:x28+y24=1

Do đó 1=x28+y24≥2x28.y24=xy22⇒SΔOMN=xy≤22

Đẳng thức xảy ra khi x=2y=2

Chọn C

Gọi z=x+yix,y∈ℝ; Mx;y là điểm biểu diễn số phức z

Ta có z+i=z¯+2+i⇔x+y+1i=x+2−y−1i

⇔x2+y+12=x+22+y−12⇔x−y+1=0 Δ

Ta có P=i−1z+4−2i=i−1z+4−2ii−1=2z−3−i

=2x−32+y−12=2MA, với A=3;1

⇒Pmin=2MAmin=2dA,Δ=23−1+112+12=3

Đẳng thức xảy ra khi M  là hình chiếu vuông góc của A  trên đường thẳng Δ hay M32;52⇒z=32+52i

Chọn A

Ta gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1, z2

Từ giả thiết z1+z2=6⇒OA→+OB→=6⇔OI→=3 với I là trung điểm của đoạn thẳng AB

z1−z2=2⇒OA→−OB→=2⇔AB=2

Ta có OA2+OB2=2OI2+AB22=20

P=z1+z2=OA+OB⇒P2≤12+12OA2+OB2=40

Vậy maxP=210=M

Mặt khác, P=z1+z2=OA→+OB→≥OA→+OB→=6

Vậy minP=6=m

Suy ra M+mi=40+36=76

Chọn B

Gọi Mx;y là điểm biểu diễn số phức z; gọi A2;−1, B−1;3 là điểm biểu diễn số phức 2−i; −1+3i. Ta có AB = 5

Từ giả thiết z−2+i−z+1−3i=5

⇒x−22+y+12−x+12+y−32=5⇒MA−MB=5⇒MA−MB=AB⇒MA=MB+AB

Suy ra M, A, B thẳng hàng ( B nằm giữa M và A). Do đó quỹ tích điểm M  là tia Bt  ngược hướng với tia BA

P=z+1−4i=x+12+y−42 với C−1;4⇒P=MC

Ta có AB→=−3;4 phương trình đường thẳng AB:4x+3y−5=0

CH=dC,AB=4−1+3.4−542+32=35, CB=−1+12+3−42=1

Do đó minP=CH=35 khi H là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB

Chọn A

Gọi N(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi

Ta có z¯+2−3i≤z−2+i⇔2x+y+2≤0

z−2+i≤5⇔x−22+y+12≤25 (hình tròn tâm I(2;-1)  bán kính r=5);

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  thỏa mãn điều kiện z¯+2−3i≤z−2+i≤5 thuộc miền (T) (xem hình vẽ với A−2;2,B2;−6).

Ta có P+25=x+42+y+32

⇒P+25=x+42+y+32=NJ (với J(-4;-3) ) .

Bài toán trở thành tìm điểm N  thuộc miền (T)  sao cho NJ  đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta có IJ−r≤NJ≤JB⇔210−5≤P+25≤35⇔40−2010≤P≤20P đạt giá trị nhỏ nhất khi N là giao điểm của đường thẳng JI với đường tròn tâm I(2;-1)  bán kính r = 5 và NJ=210−5

P đạt giá trị lớn nhất khi N≡B

Vậy m+M=60−2010

Chọn A

z=a2+a−32=2a−322+92≥322

Đẳng thức xảy ra khi a=32. Hay z=32−32i

Chọn C

Gọi z=a+bi a,b∈ℝ

z−2−4i=z−2i⇔a−2+b−4i=a+b−2i⇔−a−b+4=0⇒z=4−b+bi⇒z=4−b2+b2=2b−22+8≥22

Suy ra minz=22⇔b=2⇒a=2⇒z=2+2i

Chọn C

Gọi z=a+biz≠2ia,b∈ℝ

z−1z−2i=1⇔z−1=z−2i⇔2a−4b+3=0⇒2a+3=4b⇒z+32−5i=2b2+b−52=5b−12+20≥25

Suy ra minz+32−5i=25⇔a=12b=1⇒z=12+i

Vậy z=52

Chọn D

Ta có 2z12+z22=z1+z22+z1−z22=52+32+42=50

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

z1+z2≤2z12+z22=50=52

Gọi z1=x+yi, z2=a+bi; a, b, x, y∈ℝ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1−z2=3+4iz1+z2=5z12+z22=25z1=z2

⇒x=72y=12 và a=12b=−72. Hay z1=72+12i; z2=12−72i

Thay z1,z2 vào giả thiết thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức z1+z2 bằng 52

Chọn A

Ta có P≤12+321+z2+1−z2=2012+z2=210

Đẳng thức xảy ra khi

z=11+z=1−z3⇔x2+y2=1x2+y2+1+5x2=0⇔x=−45y=±35⇒z=−45±35i

Vậy maxP=210

Chọn B

Ta có z+3−i=z−1+2i+4−3i≤z−1+2i+4−3i=7

Đẳng thức xảy ra khi z−1+2i=k4−3i,k>0z−1+2i=2⇒z=135−165i

Vậy giá trị lớn nhất của z+3−i bằng 7.

Chọn A

Ta có z=z−3+4i+3−4i≤z−3+4i+3−4i=4+5=9=M

Đẳng thức xảy ra khi z−3+4i=k3−4i,k>0z−3+4i=4⇒k=45z=275−365i

Mặt khác z=z−3+4i+3−4i≥z−3+4i−3−4i=4−5=1=m

Đẳng thức xảy ra khi z−3+4i=k3−4i,k<0z−3+4i=4⇒k=−45z=35−45i

Chọn C

Ta có z2+4=zz+2i⇔z+2iz−2i=zz+2i

 ⇔z+2i.z−2i=z.z+2i⇔z+2i=0z=z−2i⇔z=−2iz=z−2i⇔z=−2iz=a+i,a∈ℝ

Do đó z+i=−2i+i=1z+i=a+i+i=a2+4≥2⇒minz+1=1

Chọn D

Gọi z=a+bi; a, b∈ℝ

Ta có z−1z¯+2i=a−1a−b2−b+2a+b−2i

Do đó z−1z¯+2i là số thực ⇔2a+b−2=0⇔b=2−2a

Khi đó z=a2+2−2a2=5a−452+45≥255

Đẳng thức xảy ra khi a=45b=25

minz=255⇔a=45b=25. Vậy z=45+25i

Chọn B

Đặt z=x+yi x,y∈ℝ ta có

z−1=2⇔x−1+yi=2⇔x−12+y2=2

⇔x−12+y2=2⇔x2+y2=2x+1 (*).

Lại có

T=z+i+z−2−i=x+y+1i+x−2+y−1i=x2+y2+2y+1+x2+y2−4x−2y+5

Kết hợp với (*) ta được

T=2x+2y+2+6−2x−2y=2x+y+2+6−2x+y

Đặt T = x + y, khi đó T=ft=2t+2+6−2t với t∈−1;3

Cách 1:  Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có f't=12t+2−16−2t; f't=0⇔t=1

Mà f1=4,f−1=22,f3=22. Vậy maxft=f1=4

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

T=2t+2+6−2t≤1+1.8=4

Đẳng thức xảy ra khi t = 1

Chọn B

Đặt z=a+bia,b∈ℝ và t=z+1. Khi đó

t2=z+1z¯+1=z2+1+z+z¯=2+2a⇒a=t2−22

Ta có

z2+z+1=a2−b2+2abi+a+bi+1=a2+1−b2+a+b2a+1i=2a2+a2+b22a+12=a22a+12+1−a22a+12

=2a+1=t2−1

⇒z+1+z2+z+1=t+t2−1 (với 0≤t≤2, do a2≤1).

Xét hàm số ft=t+t2−1 với t∈0;2

Trường hợp 1: t∈0;1⇒ft=t+1−t2=−t2+t+1≤f12=54

và có f0=f1=1 nên max0;1ft=54min0;1ft=1

Trường hợp 2: t∈1;2⇒ft=t+t2−1=t2+t−1,f't=2t+1>0,∀t∈1;2

Do đó hàm số luôn đồng biến trên 1;2⇒M=max0;2ft=5m=min0;2ft=1⇒M+m=6

Vậy M=max0;2ft=5m=min0;2ft=1⇒M+m=6