34 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Các phép toán trên tập hợp số phức có đáp án

Chọn C.

Chọn C.

$w=1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+{\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^2=0.$

Chọn B.

Chọn C.

Chọn A.

Chọn C.

Chọn D.

Chọn C.

Chọn A.

Chọn C.

Chọn A.

Ta có

A là điểm biểu diễn của số phức 4 - 3i nên A(4;-3)

B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i nên B(-2;1)

C là điểm biểu diễn của số phức $\frac{1}{i}=-i$ nên C(0;-1)

Điều kiện để ABCD là hình bình hành là $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D-x_A=x_C-x_B\\ y_D-y_A=y_C-y_B\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=x_C+x_A-x_B=6\\ y_D=y_C+y_A-y_B=-5\end{array}\right.\Rightarrow D\left(6;-5\right)\Rightarrow z=6-5i.$

Ta có: A(2;-1), B(-1;6), C(8;1)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow G\left(3;2\right)\iff z_4=3+2i\Rightarrow \overline{z_4}=3-2i.$

Chọn B.

Đặt $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right).$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(x-1\right)}^2+y^2\\ x^2+{\left(y-2\right)}^2=x^2+y^2\end{array}\right.\Rightarrow x=y=1.$

Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn.

Chọn C.

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi $\left|z\right|$ cho ta duy nhất một số phức z

Đặt $\left|z\right|=a\ge 0,a\in ℝ$, khi đó ta có

$$\begin{gathered} \left|z\right|\left(z-6-i\right)+2i=\left(7-i\right)z \\ \iff a\left(z-6-i\right)+2i=\left(7-i\right)z \\ \iff \left(a-7+i\right)z=6\text{a}+ai-2i \\ \iff \left(a-7+i\right)z=6\text{a}+\left(a-2\right)i \\ \iff \left|\left(a-7+i\right)\right|\left|z\right|=\left|6\text{a}+\left(a-2\right)i\right| \\ \iff \left[{\left(a-7\right)}^2+1\right]a^2=36{\text{a}}^2+{\left(a-2\right)}^3 \\ \iff a^4-14{\text{a}}^3+13{\text{a}}^2+4\text{a}-4=0\iff \left(a-1\right)\left(a^3-13{\text{a}}^2+4\right)=0. \end{gathered}$$

Hàm số $f\left(a\right)=a^3-13{\text{a}}^2\left(a\ge 0\right)$ có bảng biến thiên:

Đường thẳng y = -4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình $a^3-13{\text{a}}^2+4=0$ có hai nghiệm khác 1 (do $f\left(1\right)\ne 0$). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

Ta có: $\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|=10\iff {\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|}^2=100$

$\iff {\left[x-\left(2m-1\right)\right]}^2+{\left(y-1\right)}^2=100.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m - 1;1)  bán kính R = 10

Lại có $\left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}-2+3i\right|\iff {\left|\left(x-1\right)+\left(y+1\right)i\right|}^2={\left|\left(x-2\right)+\left(3-y\right)i\right|}^2$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(3-y\right)}^2\iff 2\text{x}+8y-11=0.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  cũng nằm trên đường thẳng $\Delta :2x+8y-11=0$

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng $△$ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Tức là $d\left(I,\Delta \right)<10\iff \frac{\left|2\left(2m-1\right)+8-11\right|}{\sqrt{2^2+8^2}}<10\iff \frac{5-20\sqrt{17}}{4}<m<\frac{5+20\sqrt{17}}{4}.$

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt $z_1=x+yi,z_2=c+di\left(x,y,c,d\in ℝ\right).$

Ta có:

$$\begin{gathered} \left|z_1\right|=3\Rightarrow x^2+y^2=9; \\ \left|z_2\right|=4\Rightarrow c^2+d^2=16; \\ \left|z_1-z_2\right|=\sqrt{37}\Rightarrow x^2+y^2+c^2+d^2-2xc-2yd=37\iff xc+yd=-6. \end{gathered}$$

Lại có: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{x+yi}{c+di}=\frac{xc+yd}{c^2+d^2}+\frac{yc-xd}{c^2+d^2}i=-\frac{3}{8}+bi.$

Suy ra $a=-\frac{3}{8}.$

Mà $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}=\frac{3}{4}=\sqrt{a^2+b^2}\iff a^2+b^2=\frac{9}{16}\Rightarrow b^2=\frac{9}{16}-a^2=\frac{27}{64}\Rightarrow b=\pm \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Vậy có hai số phức z  thỏa mãn.

Dễ thấy m > 0

Đặt $z=a+bi;a,b\in ℝ$ ta có hệ phương trình.

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ {\left(a-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=m^2\end{array}\right.$

Phương trình $a^2+b^2=1$ là đường tròn tâm O, bán kính R = 1

Phương trình ${\left(a-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=m^2$ là đường tròn tâm $I\left(\sqrt{3};-1\right),$ bán kính R = m.

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

<=> Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ {\left(a-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=m^2\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất

<=> Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

$\iff OI=\left|m\pm 1\right|\iff \left|m\pm 1\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}\right.$ (thỏa mãn m > 0).

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.

Đặt $z=a+bi,\left(a,b\in ℝ\right).$  Ta có

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}=1\Rightarrow a^2+b^2=1.$

$\left|\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}\right|=\left|\frac{z^2+{\overline{z}}^2}{z.\overline{z}}\right|=\frac{\left|{\left(a+bi\right)}^2+{\left(a-bi\right)}^2\right|}{{\left|z\right|}^2}=\left|2a^2-2b^2\right|=1.$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ \left|2a^2-2b^2\right|=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ a^2-b^2=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ a^2-b^2=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=\frac{3}{4}\\ b^2=\frac{1}{4}\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{a}^2=\frac{1}{4}\\ b^2=\frac{3}{4}\end{array}\right..$

Suy ra $\left(a;b\right)\in \left\{\left(\frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right);\left(-\frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right);\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\pm \frac{1}{2}\right);\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\pm \frac{1}{2}\right)\right\}.$

Vậy có 8 cặp số (a;b) do đó có 8 số phức thỏa mãn.

Chọn B.

Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ thì $\left|z-3\right|+\left|z+3\right|=10\iff \left|\left(x-3\right)+yi\right|+\left|\left(x+3\right)+yi\right|=10(*)$

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm $F_1\left(3;0\right), F_2\left(-3;0\right).$ Dễ thấy $F_1{F}_2=6=2c$

Khi đó: $\left|z-3\right|+\left|z+3\right|=10\iff M{F}_1+M{F}_2=10=2a.$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z  là elip có hai tiêu điểm $F_1, F_2$, độ dài trục lớn là 2a = 10

Ta có

$$\begin{gathered} w=\left(6+8i\right)\overline{z}+{\left(1-2i\right)}^2 \\ \iff w-\left(-3-4i\right)=\left(6+8i\right)\overline{z} \\ \iff \left|w-\left(-3-4i\right)\right|=\sqrt{6^2+8^2}\left|\overline{z}\right| \\ \iff \left|w-\left(-3-4i\right)\right|=10.10\iff \left|w-\left(-3-4i\right)\right|=100 \end{gathered}$$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(-3;-4)

Chọn C

Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi.$

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z

Ta có:$\left|z-1+2i\right|=\left|\overline{z}+1+2i\right|$

$$\begin{gathered} \iff \left|x+yi-1+2i\right|=\left|z-yi+1+2i\right| \\ \iff \left|\left(x-1\right)+\left(y+2\right)i\right|=\left|\left(x+1\right)+\left(2-y\right)i\right| \\ \iff \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(2-y\right)}^2} \\ \iff x^2-2x+1+y^2+4y+4=x^2+2x+1+y^2-4y+4 \\ \iff x-2y=0. \end{gathered}$$

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z  thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x - 2y = 0

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi;\forall x;y\in ℝ.$

Khi đó

$$\begin{gathered} 3\left|z+i\right|=\left|2\overline{z}-z+3i\right|\iff 3\sqrt{x^2+{\left(y+1\right)}^2}=\sqrt{x^2+{\left(-3y+3\right)}^2} \\ \iff 9\left[x^2+{\left(y+1\right)}^2\right]=x^2+{\left(-3y+3\right)}^2\iff y=-\frac{2x^2}{9} \end{gathered}$$

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là một đường parabol.