34 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Các phép toán trên tập hợp số phức có đáp án
34 câu hỏi
Cho hai số phức z1=2+3i, z2=−4−5i. Số phức z=z1+z2 là
z = -2 - 2i
z = -2 + 2i
z = 2 + 2i
z = 2 - 2i
Chọn A
z=z1+z2=2+3i+−4−5i=−2−2i.
Cho hai số phức z1=1−2i, z2=2+3i. Số phức w=z1−2z2 là
w = -3 + 8i
w = -5 + i
w = -3 - 8i
w = -3 + i
Chọn C.
Ta có w=z1−2z2=1−2i−22+3i=−3−8i.
Cho hai số phức z=−12+32i. Số phức là w=1+z+z2
2−3i.
1
0
−12+32i.
Chọn C.
w=1+−12+32i+−12+32i2=0.
Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z - 3(1 + i) = iz + 7 - 3i là
z=85−45i.
z = 4 - 2i
z=85+45i.
z = 4 + 2i
Chọn D
Ta có: 2z−31+i=iz+7−3i⇔2−iz=10⇔z=102−i⇔z=4+2i.
Cho hai số phức z=1+i21+2i. Số phức z¯ là
-4 + 2i
-4 - 2i
4 - 2i
4 + 2i
Chọn B.
Ta có: z=1+i21+2i=2i1+2i=−4+2i.
Do đó: z¯=−4−2i.
Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn z+1+3i−zi=0. Giá trị của S = a - 3b là
S=−73.
S = 3
S = -3
S=73.
Chọn B
Ta có z+1+3i−zi=0
⇔a+1+b+3−a2+b2i=0⇔a+1=0b+3=a2+b2
⇔a=−1b≥−3b+32=1+b2⇔a=−1b=−43⇒S=3.
Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 14 - 2i. Tổng phần thực và phần ảo của z¯ bằng
14
2
-2
-14
Chọn A.
Ta có: 1+iz=14−2i⇔z=14−2i1+i⇔z=6−8i⇒z¯=6+8i.
Suy ra, z¯ có phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 8.
Do đó tổng phần thực và phần ảo của bằng 14.
Cho hai số phức z = 3 + 2i và z' = a + (a2 - 11)i. Tất cả các giá trị thực của a để z + z' là một số thực là
a = -3
a = 3
a = 3 hoặc a = -3
a=13 hoặc a=-13
Chọn C.
Ta có: z+z'=3+2i+a+a2−11i.=3+a+a2−9i.
z+z' là số thực khi và chỉ khi a2−9=0⇔a=−3a=3.
Cho số phức z=1+i21+2i. Số phức có phần ảo là
2
4
-2
2i
Chọn A.
Ta có: z=1+i21+2i=1+2i+i21+2i=2i1+2i=2i+4i2=2i−4
Vậy số phức z có phần ảo là 2.
Cho số phức z thỏa mãn z(2 - i) + 13i = 1. Mô đun của số phức z là
z=34.
z=5343.
z=34.
z=343.
Chọn C.
Ta có: z2−i+13i=1⇒z=1−13i2−i=3−5i.
Do đó z=32+−52=34.
Cho số phức z1=3+2i, z2=6+5i. Số phức liên hợp của số phức z=6z1+5z2 là
z¯=51+40i.
z¯=51−40i.
z¯=48+37i.
z¯=48−37i.
Chọn D.
Ta có: z=6z1+5z2=63+2i+56+5i=48+37i.
Suy ra z¯=48−37i.
Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên. Khi đó z1+z2 bằng
229.
20
25.
116
Chọn C.
Từ hình vẽ ta có điểm M(3;2) biểu diễn số phức
z1=3+2i, điểm N(1;-4) biểu diễn số phức z2=1−4i.
Ta có z1+z2=4−2i
⇒z1+z2=42+−22=25.
Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a + bi + 2i(a - bi) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của ω=1+z+z2 là
ω=229.
ω=13.
ω=229.
ω=13.
Chọn A.
Ta có a+bi+2ia−bi+4=i⇔a+2b=−4b+2a=1⇔a=2b=−3. Suy ra z=2−3i.
Do đó ω=1+z+z2=−2−15i. Vậy ω=−22+−152=229
Cho số phức z thỏa mãn z¯=1+3i1−i. Môđun của số phức w=i.z¯+z là
w=42.
w=2.
w=32.
w=22.
Chọn C.
Ta có: z¯=1+3i1−i=−1+2i.⇒z=−1−2i⇒w=i.−1+2i+−1−2i=−3−3i.⇒w=−32+−32=18=32.
Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn z1=z2=1 và z1−2z2=6. Giá trị của biểu thức P=2z1+z2 là
P = 2
P=3.
P = 3
P = 1
Chọn A.
Đặt z1=a1+b1i; a1,b1∈ℝ, z2=a2+b2i; a2,b2∈ℝ.
Suy ra a12+b12=a22+b22=1 và z1−2z2=6⇔a1.a2+b1.b2=−14.
Ta có: 2z1+z2=2a1+a2+2b1+b2i
⇒2z1+z2=2a1+a22+2b1+b22=2a12+b12+14.a22+b22+a1a2+b1b2
Suy ra P=2z1+z2=2.
Điểm biểu diễn của số phức z=12−3i là
(3;-2)
213;313.
(-2;3)
(4;-1)
Chọn B.z=12−3i=2+3i2−3i2+3i=213+313i.Suy ra điểm biểu diễn của số phức z=12−3i là: 213;313.
Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M, N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần ảo của số phức z1z2 là
1417.
−14.
−517.
12.
Chọn A.
Dựa vào hình vẽ ta có được z1=3+2i,z2=1−4i⇒z1z2=3+2i1−4i=−517+1417i.
Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 11 - 3i. Điểm M biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng tọa độ là
M(4;-7)
M(14;-14)
M(8;-14)
M(7;-7)
Chọn A.
Ta có: 1+iz=11−3i⇒z=11−3i1+i=4−7i.
Suy ra điểm biểu diễn cho số phức z là M(4,-7)
Cho lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4−3i, 1+2ii, 1i. Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là
z=−6−4i.
z=−6+3i.
z=6−5i.
z=4−2i.
Chọn C
Ta có
A là điểm biểu diễn của số phức 4 - 3i nên A(4;-3)
B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i nên B(-2;1)
C là điểm biểu diễn của số phức 1i=−i nên C(0;-1)
Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD→=BC→
⇔xD−xA=xC−xByD−yA=yC−yB⇔xD=xC+xA−xB=6yD=yC+yA−yB=−5⇒D6;−5⇒z=6−5i.
Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1=2−i, z2=−1+6i, z3=8+i. Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
z4=3−2i.
z4=5.
z42=13+12i.
z4¯=3−2i.
Chọn D
Ta có: A(2;-1), B(-1;6), C(8;1)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
⇒G3;2⇔z4=3+2i⇒z4¯=3−2i.
Cho các số phức z1,z2 thoả mãn z1=3, z2=4, z1−z2=5. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1,z2 trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của ΔOAB (với O là gốc toạ độ) là
S=52.
S = 6
S=252.
S = 12
Chọn B.
Ta có: z1−z2=AB=5, z1−z2=AB=5
⇒ΔOAB vuông tại O (vì OA2+OB2=AB2)
⇒SΔOAB=12OA.OB=12.3.4=6.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z−i=z−1z−2i=z?
1
2
3
4
Chọn A
Đặt z=x+yi,x,y∈ℝ.
Ta có hệ phương trình: x2+y−12=x−12+y2x2+y−22=x2+y2⇒x=y=1.
Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn.
Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện z.z¯+z=2 và z=2?
2
3
1
4
Chọn C.
Ta có: z.z¯+z=2⇔z2+z=2⇔z+4=2.
Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn C1:x2+y2=4 và C2:x+42+y2=4.
Vì I1I2=R1+R2 (I1,I2 là tâm của các đường tròn C1,C2) nên C1 và C2 tiếp xúc nhau).
Suy ra: Có một số phức thỏa mãn yêu cầu.
Có bao nhiêu số phức thỏa mãn zz−6−i+2i=7−iz?
2
3
1
4
Chọn B
Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z
Đặt z=a≥0,a∈ℝ, khi đó ta có
zz−6−i+2i=7−iz⇔az−6−i+2i=7−iz⇔a−7+iz=6a+ai−2i⇔a−7+iz=6a+a−2i⇔a−7+iz=6a+a−2i⇔a−72+1a2=36a2+a−23⇔a4−14a3+13a2+4a−4=0⇔a−1a3−13a2+4=0.
Hàm số fa=a3−13a2a≥0 có bảng biến thiên:
Đường thẳng y = -4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình a3−13a2+4=0 có hai nghiệm khác 1 (do f1≠0). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn z−2m−1−i=10 và z−1+i=z¯−2+3i?
40
41
165
164
Chọn B
Giả sử z=x+yix,y∈ℝ và M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z
Ta có: z−2m−1−i=10⇔z−2m−1−i2=100
⇔x−2m−12+y−12=100.
Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m - 1;1) bán kính R = 10
Lại có z−1+i=z¯−2+3i⇔x−1+y+1i2=x−2+3−yi2
⇔x−12+y+12=x−22+3−y2⇔2x+8y−11=0.
Khi đó điểm biểu diễn số phức z cũng nằm trên đường thẳng Δ:2x+8y−11=0
Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng △ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.
Tức là dI,Δ<10⇔22m−1+8−1122+82<10⇔5−20174<m<5+20174.
Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1=3,z2=4,z1−z2=37. Hỏi có bao nhiêu số z mà z=z1z2=a+bi?
1
2
3
4
Chọn B
Đặt z1=x+yi,z2=c+dix,y,c,d∈ℝ.
Ta có:
z1=3⇒x2+y2=9;z2=4⇒c2+d2=16;z1−z2=37⇒x2+y2+c2+d2−2xc−2yd=37⇔xc+yd=−6.
Lại có: z1z2=x+yic+di=xc+ydc2+d2+yc−xdc2+d2i=−38+bi.
Suy ra a=−38.
Mà z1z2=z1z2=34=a2+b2⇔a2+b2=916⇒b2=916−a2=2764⇒b=±338
Vậy có hai số phức z thỏa mãn.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z¯=1 và z−3+i=m. Số phần tử của S là
2
4
1
3
Chọn A
Dễ thấy m > 0
Đặt z=a+bi;a,b∈ℝ ta có hệ phương trình.
a2+b2=1a−32+b+12=m2
Phương trình a2+b2=1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1
Phương trình a−32+b+12=m2 là đường tròn tâm I3;−1, bán kính R = m.
Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài
<=> Hệ phương trình a2+b2=1a−32+b+12=m2 có nghiệm duy nhất
<=> Hai đường tròn này tiếp túc với nhau
⇔OI=m±1⇔m±1=2⇔m=1m=3 (thỏa mãn m > 0).
Vậy, có hai số thực thỏa mãn.
Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z=1 và zz¯+z¯z=1.
3
4
6
8
Chọn D
Đặt z=a+bi,a,b∈ℝ. Ta có
z=a2+b2=1⇒a2+b2=1.
zz¯+z¯z=z2+z¯2z.z¯=a+bi2+a−bi2z2=2a2−2b2=1.
Ta có hệ: a2+b2=12a2−2b2=1⇔a2+b2=1a2−b2=12 hoặc a2+b2=1a2−b2=−12
⇔a2=34b2=14 hoặc a2=14b2=34.
Suy ra a;b∈12;±32;−12;±32;32;±12;−32;±12.
Vậy có 8 cặp số (a;b) do đó có 8 số phức thỏa mãn.
Xét các số phức z thỏa mãn z−68+z¯.i là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I(a;b) và bán kính R. Giá trị a + b + R bằng
6
4
12
24
Chọn B.
Đặt z=x+yix,y∈ℝ.
Vì z−68+z¯.i=x−6+yiy+8+xi là số thực nên xx−6+yy+8=0⇔x−32+y+42=25.
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I(3;-4) bán kính R = 5
Vậy a + b + R = 4
Cho số phức z thỏa mãn z−3+z+3=10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
Một parabol.
Một đường tròn.
Một elip.
Một hypebol.
Chọn C
Gọi z=x+yix,y∈ℝ thì z−3+z+3=10⇔x−3+yi+x+3+yi=10(*)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F13;0, F2−3;0. Dễ thấy F1F2=6=2c
Khi đó: z−3+z+3=10⇔MF1+MF2=10=2a.
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F1, F2, độ dài trục lớn là 2a = 10
Cho số phức z thỏa mãn z=10 và w=6+8iz¯+1−2i2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là
I(-3;-4)
I(3;4)
I(1;-2)
I(6;8)
Chọn A
Ta có
w=6+8iz¯+1−2i2⇔w−−3−4i=6+8iz¯⇔w−−3−4i=62+82z¯⇔w−−3−4i=10.10⇔w−−3−4i=100
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(-3;-4)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn z−1+2i=z¯+1+2i là đường thẳng có phương trình
x - 2y + 1 = 0
x + 2y = 0
x - 2y = 0
x + 2y + 1 = 0
Chọn C
Đặt z=x+yix,y∈ℝ⇒z¯=x−yi.
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z
Ta có:z−1+2i=z¯+1+2i
⇔x+yi−1+2i=z−yi+1+2i⇔x−1+y+2i=x+1+2−yi⇔x−12+y+22=x+12+2−y2⇔x2−2x+1+y2+4y+4=x2+2x+1+y2−4y+4⇔x−2y=0.
Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x - 2y = 0
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3z+i=2z¯−z+3i. Tập hợp tất cả các điểm M như vậy là
Một parabol.
Một đường thẳng.
Một đường tròn.
Một elip.
Chọn A
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z=x+yi;∀x;y∈ℝ.
Khi đó
3z+i=2z¯−z+3i⇔3x2+y+12=x2+−3y+32⇔9x2+y+12=x2+−3y+32⇔y=−2x29
Vậy tập hợp tất cả các điểm M là một đường parabol.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3≤z−3i+1≤5. Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó là
S=25π.
S=8π.
S=4π.
S=16π.
Chọn D.
Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z và A(-1;3) là điểm biểu diễn số phức -1 + 3i
Khi đó AM=z−3i+1=a+12+b−32.
Suy ra 32≤a+12+b−32≤52⇔32≤AM≤52. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (A;3) và (A;5), kể cả các điểm nằm trên hai đường tròn này.
S=25π−9π=16π.
