17 câu Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = 1.( 1+1)2 = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k3k+1=kk+12 2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k3k+1+k+13k+4=k+1k+22

Thật vậy 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k3k+1⏟=kk+12+k+13k+4=kk+12+k+13k+4 

=(k+1).  [k.(k+1)​   +​3k+​   4]=(k​+​1).(k2+​​​4k+​4)  =k+1k+22(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có u1=91−1=8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử uk=9k−1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh uk+1=9k+1−1 chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có uk+1=9k+1−1=9.9k−1=99k−1+8=9uk+8.

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk+1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có 22+1>2.2+3⇔8>7 (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

 * Giả sử với n = k ,k≥2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+1 >  2k + 3(1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k+2>2(k+1)+3

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k+1>22k+3⇔2k+2>4k+6>2k+5.

 ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 )

Hay 2k+2 > 2 (k+1)+  3

Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương ≥2

Ta có:

u2=u1+2=3+2=5. 

u3=u2+2=5+2=7. 

u4=u3+2=7+2=9. 

u5=u4+2=9+2=11. 

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng:

un=2n+1   ∀n≥1∗ 

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.

Với n =1 ; u1 =2.1 +1 = 3 (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: uk = 2k +1 (2)

Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:

uk+1 = 2(k+1)+1= 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

uk+1 = uk +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k+1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B

Xét hiệu:  

un+1−un=1n+1−2−1n−2=1n+1−1n=−1n(n+1)<0  ∀n∈ℕ*

Kết luận dãy số (un) là dãy số giảm.

Chọn đáp án B

Xét hiệu: un+1−un=2n+1n+4−2n−1n+3

=2n2+7n+3−2n2−7n+4n+4n+3=7n+4n+3>0;∀n∈N*

Vậy: (un) là dãy số tăng.

Ta có un=2n−1n+3=2(n+3)−7n+3=2−7n+3

 Suy ra:∀n∈ℕ*,un<2 nên  (un) bị chặn trên.

 Vì (un) là dãy số tăng ∀n∈ℕ*,u1=14≤un nên (un) bị chặn dưới. Vậy (un) bị chặn.

Chọn đáp án C.

Giả sử un=16784⇔2n+1n+2=16784⇔84(2n+1)=167(n+2)

⇔168n+​84=  167n  +​334⇔n=250

Vậy 16784 là số hạng thứ 250 của dãy số (un).

Chọn đáp án C.

* Với n =1  ta có 13+11.1=12 chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì k3 +11k chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1  thì (k+1)3 + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

k+13+11k+1=k3+3k2+3k+1+11k+11=(k3+11k)+3k(k+1)+12 *

Ta có; k3 +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự  nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 ⇒3k(k+1)⋮6

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).

* Ta có: 

u2=2u1=2.2=4=22u3=2u2=2.4=8=23u4=2u3=2.8=16=24u5=2u4=2.16=32=25

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng:  un=2n     ∀n≥1∗ 

* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*)  đúng.

Với n=1 ; có: u1 = 21 = 2 (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1

Giả sử (*)  đúng với n= k , có nghĩa ta có: uk = 2k (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk+1 = 2k+ 1.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

uk+1 = 2uk = 2. 2k  = 2k+1

Vậy (*) đúng với n = k+1.  Kết luận (*)  đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B.

Ta có un=n−1n+1=1−2n+1

Xét hiệu un+1−un=1−2n+2−1−2n+1

=2n+1−2n+2=  2(​n+2)−2(n+1)(n+1).(n+2)=2(n+1)(n+2)>0  ∀n∈ℕ*

Kết luận dãy số (un)  là dãy số tăng.

Chọn đáp án D.

Công thức un được viết lại: un=75−2455n+7 

Xét hiệu số:un+1−un=75−2455n+1+7−75−2455n+7

=24515n+7−15n+1+7>0   ∀n≥1. 

⇒un+1>​un. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Ta có: 0<15n+7≤112    ∀n≥1

⇔0>−2455n+7≥−25 

 ⇔75>75−2455n+7≥75−25⇔1≤un<75. 

Suy ra (un) là một dãy số bị chặn.

Kết luận (un) là một dãy số tăng và bị chặn.

Chọn đáp án A.

Rõ ràng un>0,∀n∈ℕ* nên (un) bị chặn dưới.

Lại có: 1kk+1=1k−1k+1.

 Suy ra un=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1<1,∀n∈ℕ* nên (un) bị chặn trên.

Kết luận (un) bị chặn.

Chọn đáp án C.

Ta có: u1 =11 = 10 + 1

          u2 = 10.11 +1 – 9 =102 =100 +2= 102 +2

          u3 =10.102 +1 – 9.2 = 1003 = 1000 + 3 = 103 + 3

Từ đó dự đoán un=10n + n  (1).  Chứng minh:

Với n =1 ta có : u1 = 101 + 1 = 11 (đúng).

Giả công thức (1) đúng với n = k, ta có uk =10k + k   (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Có nghĩa chứng minh uk+1 =10k+1 + (k+1).

 Thật vậy : uk+1 =10. (10k + k) + 1 – 9k = 10k+1 + (k+1)

Kết luận : un = 10n + n.

Chọn đáp án B.

Dãy số (un)  với un=n2n 

Dễ thấy un>0   ∀n∈N∗.  Xét tỉ số: unun+1 

Ta có: unun+1=n2n.2n+1n+1=2nn+1>1  ∀n≥1 

Thật vậy: 2nn+1>1⇔4nn+1>1⇔4n>n+1⇔3n>1 ( đúng ∀n  ≥1 )

Do đó, un >  un+1 nên (un) là một dãy số giảm.

Chọn đáp án B.

Ta có un=5nn2>0,∀n∈ℕ*⇒un+1=5n+1n+12

Xét tỉ số 

un+1un=5n+1n+12.n25n=5n2n2+2n+1=n2+2n+1+4n2−2n−1n2+2n+1=1+2nn−1+2n2−1n2+2n+1>1, ∀n∈ℕ*

(n−1≥0⇒2n(n−1)≥0;  2n2−1 ≥2.1−1=1⇒2n(n−1)​+2n2−1>0     ∀n   ∈N​*)

Vậy (un) là dãy số tăng

Chọn đáp án A

Ta có: 1k2<1k−1k=1k−1−1k,∀k≥2

Suy ra  un<12+1−12+12−13+13−14+15−16+...+1n−1−1n=32−1n<32

⇒0<un<32,∀n∈ℕ*

Vậy (un) bị chặn

Chọn đáp án C.

Ta có: un+ 1=2(n+1)−133(n+1)−2= 2n−113n+1

Xét hiệu: 

un+1−un=2n−113n+1−2n−133n−2=(2n−11).(3n−2)−(2n−13).(3n+1)(3n+1)(3n−2)=6n2−4n−33n+​22−(6n2+​2n−​​39n  −13)(3n+1).(3n−2)=35(3n+1)(3n−2)>0

với mọi n≥1.

Suy ra un+1>un  ∀n≥1⇒ dãy (un ) là dãy tăng.

Mặt khác: un=23−353(3n−2)⇒un<23  ∀n≥1

Suy ra un bị chặn trên

∀n  ≥1  :​  3n−2  ≥1  ⇒353(3n−2)  ≤353.1=  353⇒un≥23−  353=  −11

Nên (un) bị chặn dưới.

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.