17 câu Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = $1.{( 1+1)}^2$ = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)=k{\left(k+1\right)}^2\left(2\right)$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

$1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$

Thật vậy $\underset{=k{\left(k+1\right)}^2}{\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)}}+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=k{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)$ 

$=(k+1).\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}[}k.(k+1)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}3k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4]=(k\text{}+\text{}1).(k^2+\text{}4k+\text{}4)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có $u_1=9^1-1=8$ chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử $u_k=9^k-1$ chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh $u_{k+1}=9^{k+1}-1$ chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có $u_{k+1}=9^{k+1}-1={9.9}^k-1=9\left(9^k-1\right)+8=9u_k+8$.

Vì $9u_k$ và 8 đều chia hết cho 8, nên $u_{k+1}$ cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_n$ chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có $2^{2+1}>2.2+3\iff 8>7$ (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

 * Giả sử với n = k $,k\ge 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k+1} > 2k + 3$(1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

$2^{k+2}>2(k+1)+3$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

${2.2}^{k+1}>2\left(2k+3\right)\iff 2^{k+2}>4k+6>2k+5$.

 ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 )

Hay $2^{k+2} > 2 (k+1)+ 3$

Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\ge 2$

Ta có:

$u_2=u_1+2=3+2=5.$ 

$u_3=u_2+2=5+2=7.$ 

$u_4=u_3+2=7+2=9.$ 

$u_5=u_4+2=9+2=11.$ 

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:

$u_n=2n+1\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ 

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.

Với n =1 ; $u_1 =2.1 +1 = 3$ (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: $u_k = 2k +1$ (2)

Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:

$u_{k+1}$ = 2(k+1)+1= 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k+1}$ = $u_k$ +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k+1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B

Xét hiệu:  

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\left(\frac{1}{n}-2\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}<0\forall n\in \mathbb{N}*$

Kết luận dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Chọn đáp án B

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3}$

$=\frac{2n^2+7n+3-2n^2-7n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}=\frac{7}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}>0;\forall n\in N*$

Vậy: $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$

 Suy ra:$\forall n\in \mathbb{N}*,u_n<2$ nên  $\left(u_n\right)$ bị chặn trên.

 Vì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng $\forall n\in \mathbb{N}*,u_1=\frac{1}{4}\le u_n$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới. Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn.

Chọn đáp án C.

Giả sử $u_n=\frac{167}{84}\iff \frac{2n+1}{n+2}=\frac{167}{84}\iff 84(2n+1)=167(n+2)$

$\iff 168n+\text{}84=167n+\text{}334\iff n=250$

Vậy $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ 250 của dãy số $\left(u_n\right)$.

Chọn đáp án C.

* Với n =1  ta có $1^3+11.1=12$ chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì $k^3 +11k$ chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1  thì ${(k+1)}^3$ + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

$$\begin{gathered} {\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11 \\ =(k^3+11k)+3k(k+1)+12\left(*\right) \end{gathered}$$

Ta có; $k^3$ +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự  nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 $\Rightarrow 3k(k+1)⋮6$

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).

* Ta có: 

$$\begin{gathered} u_2=2u_1=2.2=4=2^2 \\ {u}_3=2u_2=2.4=8=2^3 \\ {u}_4=2u_3=2.8=16=2^4 \\ {u}_5=2u_4=2.16=32=2^5 \end{gathered}$$

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:  $u_n=2^n\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ 

* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*)  đúng.

Với n=1 ; có: $u_1 = 2^1 = 2$ (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1

Giả sử (*)  đúng với n= k , có nghĩa ta có: $u_k = 2^k$ (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k+1} = 2^{k+ 1}$.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k+1} = 2u_k = 2. 2^k = 2^{k+1}$

Vậy (*) đúng với n = k+1.  Kết luận (*)  đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B.