15 câu Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án
15 câu hỏi
Cho ∆ABC nhọn có H là trực tâm. Trực tâm của ∆HAB là:
Điểm B;
Điểm H;
Điểm C;
Điểm A.
Đáp án đúng là: C
Vì H là trực tâm của ∆ABC nên ta có:
+) AH ⊥ BC;
+) BH ⊥ AC;
+) CH ⊥ AB.
∆HAB có CB ⊥ AH và CA ⊥ BH.
Suy ra CB, CA là hai đường cao của ∆HAB.
Lại có CA cắt CB tại C.
Suy ra C là trực tâm của ∆HAB.
Vậy ta chọn phương án C.
Cho ∆ABC cân tại A có M là trung điểm BC, đường cao CN cắt AM tại H. Một tính chất của cặp đường thẳng BH và AC là:
BH // AC;
BH trùng AC;
BH cắt AC nhưng không vuông góc với AC;
BH ⊥ AC.
Đáp án đúng là: D
∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra M là trung điểm của BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).
Lại có AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Suy ra AMB^=AMC^=180°:2=90°.
Do đó AM ⊥ BC.
Vì vậy AM cũng là đường cao của ∆ABC.
∆ABC có AM, CN là hai đường cao.
Mà H là giao điểm của AM và CN.
Do đó H là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra BH ⊥ AC.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi H là trực tâm của ∆ABC và BAH^=30°. Xét hai khẳng định sau:
(I) ∆ABC là tam giác vuông cân;
(II) ∆ABC là tam giác đều.
Chọn câu trả lời đúng.
Chỉ (I) đúng;
Chỉ (II) đúng;
Cả (I) và (II) đều đúng;
Cả (I) và (II) đều sai.
Đáp án đúng là: B
Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.
Gọi I là giao điểm của AH và BC.
Suy ra AI ⊥ BC.
Xét ∆ABI và ∆ACI, có:
AI là cạnh chung,
AIB^=AIC^=90°,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A).
Do đó ∆ABI = ∆ACI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BAI^=CAI^ (cặp góc tương ứng)
Hay BAH^=CAH^.
Do đó BAC^=BAH^+CAH^=2BAH^=2.30°=60°.
Mà ∆ABC cân tại A.
Suy ra ∆ABC là tam giác đều.
Tam giác đều có cả ba góc đều bằng 60° nên tam giác đều không thể là tam giác vuông cân được.
Vì vậy (I) sai, (II) đúng.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC đều có G là trọng tâm của tam giác. Trực tâm của ∆GAB là:
Điểm G;
Điểm B;
Điểm A;
Điểm C.
Đáp án đúng là: D
∆ABC đều có G là trọng tâm.
Suy ra AG là đường trung tuyến của ∆ABC.
Gọi M là giao điểm của AG và BC.
Ta suy ra M là trung điểm BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).
Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Do đó AMB^=AMC^=180°:2=90°.
Vì vậy AM ⊥ BC hay AG ⊥ BC.
Chứng minh tương tự, ta được CG ⊥ AB.
∆GAB có BC, CG là hai đường cao.
Hơn nữa C là giao điểm của BC và CG.
Do đó C là trực tâm của ∆GAB.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC nhọn có AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên AH lấy điểm D sao cho HAB^=HCD^. Một tính chất của cặp đường thẳng BD và AC là:
BD trùng AC;
BD // AC;
BD ⊥ AC;
BD cắt AC nhưng không vuông góc với AC.
Đáp án đúng là: C
Gọi E là giao điểm của AB và CD.
Xét ∆EBC có: BEC^+EBC^+ECB^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra BEC^=180°−EBC^+ECB^ (1).
Xét ∆ABH có: AHB^+ABH^+BAH^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra AHB^=180°−ABH^+BAH^ (2).
Lại có HAB^=HCD^ (giả thiết) hay BAH^=ECB^ (3).
Từ (1), (2), (3), ta suy ra BEC^=AHB^.
Ta có AH ⊥ BC tại H (giả thiết).
Suy ra AHB^=90°.
Vì vậy BEC^=90°.
Khi đó CE ⊥ AB.
∆ABC có AH, CE là hai đường cao.
Mà D là giao điểm của AH, CE.
Suy ra D là trực tâm của ∆ABC.
Do đó BD ⊥ AC.
Vậy ta chọn phương án C.
Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và DE. Khẳng định nào sau đây đúng?
AD // KC;
AD trùng KC;
AD cắt KC nhưng không vuông góc với KC;
AD ⊥ KC.
Đáp án đúng là: D
∆AKC có CH, KE là hai đường cao.
Mà CH cắt KE tại D.
Suy ra D là trực tâm của ∆AKC.
Do đó AD ⊥ KC.
Vậy ta chọn phương án D.
Cho ∆ABC có A^=70°, AB < AC. Tia phân giác A^cắt BC tại D, kẻ BF ⊥ AC tại F, lấy điểm E thuộc AC sao cho AE = AB. Gọi H là giao điểm của AD và BF.
Cho các khẳng định sau:
(I) H là trực tâm của ∆ABE;
(II) FHD^=160°.
Chọn câu trả lời đúng nhất.
Chỉ (I) đúng;
Chỉ (II) đúng;
Cả (I), (II) đều đúng;
Cả (I), (II) đều sai.
Đáp án đúng là: C
Gọi I là giao điểm của AD và BE.
Xét ∆ABI và ∆AEI, có:
AI là cạnh chung,
AB = AE (giả thiết),
BAI^=EAI^ (do AI là đường phân giác của ∆ABE).
Do đó ∆ABI = ∆AEI (c.g.c).
Suy ra AIB^=AIE^ (cặp góc tương ứng).
Mà AIB^+AIE^=180° (hai góc kề bù).
Vì vậy AIB^=AIE^=180°:2=90°.
Do đó AI ⊥ BE.
Suy ra AI là đường cao của ∆ABE.
Mà H là giao điểm của hai đường cao AD và BF.
Suy ra H là trực tâm của ∆ABE.
Do đó (I) đúng.
Vì AI là đường phân giác của ∆ABE nên FAH^=BAC^2=70°2=35°.
∆AHF vuông tại F: FAH^+AHF^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra AHF^=90°−FAH^=90°−35°=55°.
Vì H thuộc AI nên ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Suy ra AHF^+FHD^=180° (hai góc kề bù)
Do đó FHD^=180°−AHF^=180°−55°=125°.
Vì vậy (II) sai.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC có A^>90°, AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Khẳng định nào sau đây đúng?
AB ⊥ FC;
AB // FC;
AB cắt FC nhưng không vuông góc với FC;
AB trùng FC.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆FBC có CE và FD là hai đường cao.
Mà CE, FD cắt nhau tại A.
Suy ra A là trực tâm của ∆FBC.
Do đó BA ⊥ FC.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC cân tại A có A^=70°, đường cao BH cắt đường trung tuyến AM (M ∈ BC) tại K. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
K là trực tâm của ∆ABC;
CK ⊥ AB;
HKM^=110°;
Cả A, B đều đúng.
Đáp án đúng là: D
• ∆ABC có AM là đường trung tuyến.
Suy ra M là trung điểm BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC),
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).
Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Vì vậy AMB^=AMC^=180°:2=90°.
Do đó AM ⊥ BC.
Suy ra AM là đường cao của ∆ABC.
∆ABC có AM, BH là hai đường cao.
Mà AM cắt BH ở K.
Suy ra K là trực tâm của ∆ABC.
Do đó đáp án A đúng.
• Vì K là trực tâm của ∆ABC nên CK ⊥ AB.
Do đó đáp án B đúng.
• ∆ABC cân tại A nên ABC^=ACB^ (tính chất tam giác cân)
Mà BAC^+ABC^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Do đó ABC^=ACB^=180°−70°2=55°
Ta có AKH^=ACM^=55° (cùng phụ với CAM^).
Vì K thuộc AM nên ba điểm A, K, M thẳng hàng.
Suy ra AKH^+HKM^=180° (hai góc kề bù).
Do đó HKM^=180°−AKH^=180°−55°=125°.
Vì vậy đáp án C sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC có A^=100°, C^=30°, đường cao AH. Trên canh AC lấy điểm D sao cho CBD^=10°. Kẻ tia phân giác của BAD^ cắt BC tại E. Khẳng định nào sau đây sai?
∆ABD cân tại B;
ABD^=40°;
AE ⊥ BD;
ADB^=40°.
Đáp án đúng là: A
Cho ∆ABC có BD và CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C và BD = CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Khẳng định nào sau đây sai?
∆ABC cân tại A;
∆ABC cân tại B;
H là trực tâm của ∆ABC;
AH là đường phân giác của ∆ABC.
Đáp án đúng là: B
• Xét ∆DBA và ∆ECA, có:
BDA^=CEA^=90°,
BD = CE (giả thiết),
ABD^=ACE^ (cùng phụ với BAC^).
Do đó ∆DBA = ∆ECA (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).
Vì vậy ∆ABC cân tại A.
Do đó đáp án A đúng.
• Xét ∆ABC có BD, CE là hai đường cao.
Mà BD cắt CE tại H.
Suy ra H là trực tâm của ∆ABC.
Do đó đáp án C đúng.
• ∆ABC có H là trực tâm.
Suy ra AH là đường cao thứ ba của ∆ABC.
Gọi F là giao điểm của AH và BC.
Ta suy ra AF ⊥ BC.
Xét ∆ABF và ∆ACF, có:
AFB^=AFC^=90°,
AF là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A).,
Do đó ∆ABF = ∆ACF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BAF^=CAF^ (cặp góc tương ứng).
Suy ra AF là đường phân giác của ∆ABC hay AH là đường phân giác của ∆ABC.
Do đó đáp án D đúng.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Gọi D là giao điểm của AB và CP. Khẳng định nào sau đây sai?
M là trực tâm của ∆DBC;
DM ⊥ BC;
M, N, D thẳng hàng;
AB, MN, CP không đồng quy tại điểm D.
Đáp án đúng là: D
• Xét ∆DBC có CA, BP là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của CA và BP.
Do đó M là trực tâm của ∆DBC.
Vì vậy đáp án A đúng.
• Vì M là trực tâm của ∆DBC nên DM ⊥ BC.
Do đó đáp án B đúng.
• Ta có DM ⊥ BC (chứng minh trên).
Mà MN ⊥ BC (giả thiết).
Suy ra D, M, N thẳng hàng.
Do đó đáp án C đúng.
• Ta có:
+) D ∈ MN (chứng minh trên);
+) D ∈ AB (giả thiết);
+) D ∈ CP (giả thiết).
Suy ra AB, MN, CP cùng đồng quy tại điểm D.
Do đó đáp án D sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm DE. Cho các khẳng định sau:
(I) M là trực tâm của DBCD.
(II) AE // DC.
(III) AE ⊥ BM;
Số khẳng định đúng là:
0
1
2
3
Đáp án đúng là: D.
• Xét ∆DBC có CA, DM là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của CA và DM.
Do đó M là trực tâm của ∆DBC.
Suy ra BM ⊥ CD (1).
Do đó (I) đúng.
• Xét ∆MEA và ∆MDC, có:
MA = MC (do BM là đường trung tuyến của ∆ABC),
AME^=CMD^ (hai góc đối đỉnh),
ME = MD (do M là trung điểm DE).
Do đó ∆MEA = ∆MDC (c.g.c)
Suy ra MAE^=MCD^ (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Nên AE // CD (2).
Do đó (II) đúng.
Từ (1), (2), ta suy ra BM ⊥ AE.
Do đó (III) đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và CH. Một tính chất của cặp đường thẳng BM và AN là:
BM trùng AN;
BM cắt AN nhưng không vuông góc với AN;
BM ⊥ AN;
BM // AN.
Đáp án đúng là: C
Trên tia đối của tia NM, lấy điểm M' sao cho NM = NM'.
Xét ∆NMH và ∆NM'C, có:
NM = NM' (theo cách vẽ),
MNH^=CNM'^ (hai góc đối đỉnh),
HN = CN (do N là trung điểm CH).
Do đó ∆NMH = ∆NM'C (c.g.c)
Suy ra MH = M'C và HMN^=CM'N^ (các cặp cạnh và cặp góc tương ứng).
Ta có HMN^=CM'N^ (chứng minh trên).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Ta suy ra HM // CM’ hay AM // CM’.
Xét ∆AMM’ và ∆M’CA, có:
AM = CM’ (= MH).
MAM'^=AM'C^ (cặp góc so le trong của AM // CM’).
AM’ là cạnh chung.
Do đó ∆AMM’ = ∆M’CA (c.g.c)
Suy ra MM'A^=CAM'^ (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Ta suy ra AC // MM’.
Mà AC ⊥ AB (do ∆ABC vuông tại A).
Suy ra MM’ ⊥ AB hay MN ⊥ AB.
∆ABN có AH, MN là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của AH và MN.
Suy ra M là trực tâm của ∆ABN.
Do đó BM ⊥ AN.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ∆ABC cân tại A có A^=45°. Kẻ đường trung tuyến AM, đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = BD. Khẳng định nào sau đây sai?
BE vuông góc với AC;
CD vuông góc với AB;
Ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại một điểm;
Ba đường thẳng AM, BE, CD không đồng quy tại một điểm.
Đáp án đúng là: D
• Vì điểm D thuộc đường trung trực của cạnh AC nên DA = DC.
Do đó ∆ACD cân tại D.
Suy ra ACD^=CAD^=45° (tính chất tam giác cân)
• Xét ∆ACD cân tại D có ACD^=CAD^=45°
Nên ∆ACD vuông cân tại D.
Suy ra CD ⊥ AB.
Vì vậy đáp án B đúng.
• Xét ∆BCD và ∆CBE, có:
BC là cạnh chung.
CE = BD (giả thiết).
DBC^=ECB^ (do ∆ABC cân tại A).
Do đó ∆BCD = ∆CBE (c.g.c)
Suy ra BEC^=BDC^=90° (hai góc tương ứng)
Vì vậy BE ⊥ AC.
Do đó đáp án A đúng.
• Vì ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra M là trung điểm BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).
Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Suy ra AMB^=AMC^=180°:2=90°.
Do đó AM ⊥ BC.
Vì vậy AM là đường cao của ∆ABC.
∆ABC có AM, BE, CD là ba đường cao.
Suy ra AM, BE, CD đồng quy tại một điểm, điểm đó là trực tâm của ∆ABC.
Do đó đáp án C đúng, đáp án D sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
