15 câu Trắc nghiệm Toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án (Thông hiểu)

Đáp án A

Vì $\Delta ABC$ cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của  nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow BM=\frac{BC}{2}=24:2=12cm$

Xét $\Delta AMB$ vuông tại M có: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$ ( Định lí Pytago)

$\Rightarrow A{B}^2={12}^2+5^2=169\Rightarrow AB=\sqrt{169}=13cm$

Vậy $AB=AC=13cm$

Đáp án A

Vì $\Delta ABC$ cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của $\Delta ABC$ nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow BM=\frac{BC}{2}=6:2=3cm$

Xét $\Delta AMB$ vuông tại M có: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$ ( Định lí Pytago)

$\Rightarrow A{B}^2=4^2+3^2=25\Rightarrow AB=\sqrt{25}=5cm$

Vậy $AB=AC=5cm$

Đáp án A

Xét tam giác ABC đều cạnh $AB=AC=BC=a$ có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $AM\perp BC$ tại M

Ta có: $MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:

$A{M}^2=A{C}^2-M{C}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là $\frac{3a^2}{4}$

Đáp án B

Xét tam giác ABC đều cạnh $AB=AC=BC=4$ có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $AM\perp BC$ tại M

Ta có: $MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2$

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:

$A{M}^2=A{C}^2-M{C}^2=4^2-2^2=16-4=12$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh 4 là 12

Đáp án D

Xét $\Delta ABD$ có: $\widehat{A_1}+\widehat{B_1}={90}^o$ (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau )

Xét $\Delta AEC$ có: $\widehat{A_1}+\widehat{C_1}={90}^o$ (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau )

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (1)

Lại có: $\left\{\begin{array}{c}\widehat{B_1}+\widehat{B_2}={180}^o\\ \widehat{C_1}+\widehat{C_2}={180}^o\end{array}\right.$ (2) (hai góc kề bù)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{B_2}=\widehat{C_2}$

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta KCA$ có:

$\begin{array}{l}AB=CK\left(gt\right)\\ \widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\\ BI=AC\left(gt\right)\\ \Rightarrow \Delta ABI=\Delta KCA(c.g.c)\end{array}$

$\Rightarrow AI=AK$ (hai cạnh tương ứng)

Đáp án B

Ta có: $AI=AK\left(cmt\right)\Rightarrow \Delta AIK$ cân tại A (*)

$\Delta ABI=\Delta KCA\left(cmt\right)\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{CAK}$ (3) (hai góc tương ứng)

Xét ${\Delta }_{v}AID$ có: $\widehat{AID}+\widehat{IAD}={90}^o$ (4) (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau )

Từ (3),(4) $\Rightarrow \widehat{IAD}+\widehat{CAK}={90}^o\Rightarrow \Delta AIK$ vuông tại A (**)

Từ (*)(**) $\Rightarrow \Delta AIK$ vuông cân tại A 

Đáp án A

Gọi I là giao điểm của DH và AC

$\Delta ABC$ vuông cân tại B(gt) nên $\widehat{C}={45}^0$

$\Delta HBD$ có : $\widehat{HBD}={90}^0;BH=BD\left(gt\right)$ nên $\Delta HBD$ vuông cân tại B suy ra $\widehat{BDH}={45}^0$ hay $\widehat{CDI}={45}^0$

Xét $\Delta DCI$ có: $\widehat{C}=\widehat{CDI}={45}^0$ (cmt) suy ra $\widehat{DIC}={180}^0-(\widehat{C}+\widehat{CDI})={180}^0-({45}^0-{45}^0)={90}^0$

Vậy $DH\perp AC$

Đáp án D

Gọi I là giao điểm của DH và AC

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $DI\perp AC$

Xét $\Delta ADC$ có: $AB\perp DC;DI\perp AC$ nên H là trực tâm của $\Delta ADC$

Suy ra CK là đường cao thứ ba của $\Delta ADC$ hay $CK\perp AD$

Do đó $\widehat{CKA}={90}^0$

Đáp án D

Vì $Mx\perp AB\Rightarrow \widehat{AMx}={90}^o$

Xét $\Delta AMC$ có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{AMC}={90}^o\\ MA=MC\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}={45}^0$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{DCE}=\widehat{MCA}={45}^0$ (đối đỉnh)

Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{\begin{array}{c}\widehat{BMD}={90}^o\\ MB=MD\left(gt\right)\end{array}\Rightarrow \widehat{MBD}\right.=\widehat{MDB}={45}^0$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\Delta CDE$ có: $\widehat{CDE}=\widehat{DCE}={45}^0$

$\Rightarrow \widehat{CDE}+\widehat{DCE}={90}^o\Rightarrow \widehat{DEC}={90}^o$

Lại có: $\widehat{DEC}+\widehat{AEB}={180}^0$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{AEB}={180}^0-\widehat{DEC}={180}^0-{90}^o={90}^o$