12 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)
12 câu hỏi
Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm \({\rm{M}}(4;3;20)\) và \({\rm{N}}(4;1000;20)\).
Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(4;2;20)\) và nhận \(\vec a = \frac{1}{{997}}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{{997}}(0;997;0) = (0;1;0)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3 + t}\\{z = 20}\end{array}} \right.\)
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \({d^\prime }\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 5 + 5{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)
Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(1;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (0;0;1)\)
Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(10;20;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }} = (0;0;5) = 5\vec a\)
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 10}\\{1 = 20}\\{1 = 5 + 5{t^\prime }}\end{array}{\rm{ (vô lí)}}{\rm{. Suy ra }}M \notin d.} \right.\)Vậy d // d'.
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng \(d\) trên trụ cầu và đường thẳng \({d^\prime }\) trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = 50 + t}\end{array}{\rm{ và }}{d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20}\\{y = {t^\prime }}\\{z = 50.}\end{array}} \right.} \right.\)
Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\).
Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a_1}} = (0;0;1),\overrightarrow {{a_2}} = (0;1;0)\)
Ta có \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương với nhau nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.
Ta xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = 20}\\{0 = {t^\prime }}\\{50 + t = 50}\end{array}} \right.\) (vô nghiệm).
Vậy \(d\) và d' chéo nhau.
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \({d^\prime }\) có phương trình lần lượt là:
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 20}\\{z = 9}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 1 + 3{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\), chúng có vuông góc với nhau không?
Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;0;0),\overrightarrow {{a^\prime }} = (0;0;3)\)
Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0\). Do đó d và d' vuông góc với nhau.
Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là \(M(3;3;1,5),N(3;4;1,5)\). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = (0;1;0)\)
Đường thẳng MN đi qua \({\rm{M}}(3;3;1,5)\) và nhận \(\overrightarrow {MN} = (0;1;0)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 3 + t}\\{z = 1,5}\end{array}} \right.\)
(H.vẽ) Xét tình huống sau:
Trong không gian Oxyz , mắt một người quan sát ở điếm \({\rm{M}}(2\); 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điếm \({\rm{N}}( - 1;0;8)\). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm \({\rm{O}}(0;0;0)\), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phắng Oxy .
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN
b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng (Oxy) .
c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\) hay không?
a) Ta có \(\overrightarrow {MN} = ( - 3; - 3;12) = - 3(1;1; - 4)\)
Đường thắng MN đi qua điếm \({\rm{M}}(2;3; - 4)\) và có VTCP \(\vec u = (1;1; - 4)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 4 - 4t}\end{array}} \right.\)
b) Mặt phắng Oxy có phương trình là \({\rm{z}} = 0\).
Vi D là giao điếm của đường thắng MN với mặt phắng Oxy nên tọa độ điếm D là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 4 - 4t}\\{z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 0}\\{t = - 1}\end{array}} \right.} \right.\).Vậy \(D(1;2;0)\).
c) Ta có \(MD = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 4)}^2}} = \sqrt {18} ;MN = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {162} \) Vi \({\rm{MD}} < {\rm{MN}}\) nên D nằm giữa M và N .
Vậy tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điếm N .
Trên phần mềm mô phỏng 3 D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là:
\(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 3t}\end{array}{\rm{và}}b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4{t^\prime }}\\{y = 2 + 2{t^\prime }}\\{z = 6.}\end{array}} \right.} \right.\)
a) Chứng minh a và b vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm giao điểm của \(a\) và \(b\).
a) Đường thắng a đi qua \({\rm{M}}(1;2;0)\) và có vectơ chí phương là \(\vec a = (0;0;3)\) Đường thắng b đi qua \({\rm{N}}(1;2;6)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }} = (4;2;0)\) Có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\). Suy ra a \( \bot {\rm{b}}\).
Ta xét hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 1 + 4{t^\prime }}\\{2 = 2 + 2{t^\prime }}\\{3t = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0}\\{{t^\prime } = 0.{\rm{ }}}\\{t = 2}\end{array}} \right.} \right.\)Suy ra hệ có nghiệm duy nhất. Do đó a và b cắt nhau.
b) Thay \({\rm{t}} = 2\) vào phương trình đường thắng a ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 6}\end{array}} \right.\)
Vậy tọa độ giao điếm của hai đường thắng này là \((1;2;6)\).
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:
\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t,{\Delta _2}}\\{z = 0}\end{array}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2s}\\{y = 2s}\\{z = 1.}\end{array}} \right.} \right.\)
Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
Ta có \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = (1;1;0),\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = ( - 2;2;0)\). Vì \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} \cdot \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = - 2 + 2 = 0\) nên hai con đường trên vuông góc với nhau.
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ \(A(1;2;0)\) và \(B(3;5;0)\) với vận tốc không đổi tương ứng là \({\vec v_1} = (2;1;3),\overrightarrow {{v_2}} = (1;2;1)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Hai vật thế chuyến động trên hai đường thẳng
Vật 1 chuyến động trên đường thắng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_1}} \)
Vật 2 chuyến động trên đường thắng đi qua B và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_2}} \)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2;3;0)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = ( - 5;1;3)\)
Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = - 10 + 3 = - 7 \ne 0\). Do đó hai đường thắng này chéo nhau.
Vậy trong quá trình chuyến động, hai vật thế trên không va chạm vào nhau.
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
Δ1:x−12=y−1=z+13 và Δ2:x−3−1=y+11=z1.
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
a) Đường thắng \({\Delta _1}\) đi qua \({\rm{A}}(1;0; - 1)\) có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (2; - 1;3)\)
Đường thắng \({\Delta _2}\) đi qua \({\rm{B}}(3; - 1;0)\) có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;1;1)\) vi \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = - 2 - 1 + 3 = 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; - 1;1),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 4; - 5;1) \ne \vec 0\), và \(\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 8 + 5 + 1 = - 2 \ne 0\)
Do đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau. Vậy nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.
Trong không gian Oxyz , một viên đạn được bắn ra từ điểm \({\rm{A}}(1;3;4)\) và trong 3 giây, đằu đạn đì với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\vec v = (2;1,6)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mō̉i tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm \(M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)\).
b) Mục tiêu đặt tại điểm \(N( - 3;1; - 8)\).
Phương trình mô tả quȳ đạo chuyến động của viên đạn là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4 + 6t}\end{array}} \right.\)
a) Thay tọa độ điếm M vào phương trình chuyến động, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7 = 1 + 2t}\\{\frac{7}{2} = 3 + t}\\{21 = 4 + 6t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t = \frac{1}{2}}\\{t = \frac{{17}}{6}}\end{array}} \right.} \right.\)
Ta thấy các giá trị t này đều khác nhau do đó điếm M không nẳm trên quỹ đạo chuyến động của viên đạn nên viên đạn không bắn trúng mục tiêu đặt tại điếm M.
b) Thay tọa độ điếm N vào phương trình chuyến động của viên đạn ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 1 + 2t}\\{1 = 3 + t}\\{ - 8 = 4 + 6t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 2}\\{t = - 2}\\{t = - 2}\end{array}} \right.} \right.\)
Suy ra điếm N nằm trên quỹ đạo chuyến động của viên đạn.
Do đó viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu đặt tại điếm N .
Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí \(O\) trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° và tạo với hướng đông góc 30° (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.
Đế viết được phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điếm đang xét ta cần xác định tọa độ của A (đỉnh cột) và \({{\rm{A}}^\prime }\) (bóng của đỉnh cột).
Ta có \(A(0;0;6)\).
Hoành độ của điếm A' là x=3cos60°=12
Tung độ của điếm \({{\rm{A}}^\prime }\) là y=3cos30°=332
Do đó \({A^\prime }\left( {\frac{1}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).
Đường thắng chứa tia nắng mặt trời đi qua \({\rm{A}}(0;0;6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {A{A^\prime }} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2}; - 6} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{2}t}\\{y = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}t}\\{z = 6 - 6t}\end{array}} \right.\)
