109 câu Trắc nghiệm Toán 11 Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức có đáp án (Mới nhất)
85 câu hỏi
Hàm số \[y = \sin x\]có đạo hàm là:
\[y' = \cos x\].
\[y' = - \cos x\].
\[y' = - \sin x\].
\[y' = \frac{1}{{\cos x}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\sin x} \right)' = \cos x\].
Hàm số \[y = \cos x\] có đạo hàm là:
\[y' = \sin x\].
\[y' = - \sin x\].
\[y' = - \cos x\].
\[y' = \frac{1}{{\sin x}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\].
Hàm số \[y = \tan x\]có đạo hàm là:
\[y' = \cot x\].
\[y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
\[y' = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\].
\[y' = 1 - {\tan ^2}x\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
Hàm số\[y = \cot x\] có đạo hàm là:
\[y' = - \tan x\].
\[y' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
\[y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\].
\[y' = 1 + {\cot ^2}x\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: \[\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\].
Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?
Hàm số \(y = \cos x\) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
Hàm số \(y = \tan x\) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
Hàm số \(y = \cot x\) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Hàm số \(y = \tan x - \cot x\) có đạo hàm là:
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{4}{{{{\cos }^2}2x}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}\).
Đạo hàm của hàm số 
là:
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 
.
Hàm số 
có đạo hàm là:
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp 
:
Chọn B.
Đạo hàm của \[y = {\sin ^2}4x\] là
\[2\sin 8x\].
\[8\sin 8x\].
\[\sin 8x\].
\[4\sin 8x\].
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\[y' = 2.4.\sin 4x.\cos 4x = 4\sin 8x\].
Hàm số \(y = 2\cos {x^2}\) có đạo hàm là
\( - 2\sin {x^2}\).
\( - 4x\cos {x^2}\).
\( - 2x\sin {x^2}\).
\( - 4x\sin {x^2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = - 2.2x.\sin {x^2} = - 4x\sin {x^2}\).
Cho hàm số \(y = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\). Khi đó phương trình \(y' = 0\) có nghiệm là:
\(x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \).
\(x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = - 2.\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\)
Theo giả thiết \(y' = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Hàm số \(y = \cot 3x - \frac{1}{2}\tan 2x\) có đạo hàm là
\(\frac{{ - 3}}{{{{\sin }^2}3x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}} \cdot \)
\(\frac{{ - 3}}{{{{\sin }^2}3x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}} \cdot \)
\(\frac{{ - 3}}{{{{\sin }^2}3x}} - \frac{x}{{{{\cos }^2}2x}} \cdot \)
\(\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}} \cdot \)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y' = - \frac{3}{{{{\sin }^2}3x}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}} = - \frac{3}{{{{\sin }^2}3x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}\)
Đạo hàm của hàm số \[y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + x\] là
\[y' = 4\sin x + \sin 2x + 1.\]
\[y' = 4\sin 2x + 1.\]
\[y' = 1.\]
\[y' = 4\sin x - 2\sin 2x + 1.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \[y' = 4\sin x\cos x + 2\sin 2x + 1 = 4\sin 2x + 1\].
Hàm số 
có đạo hàm là:
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hàm số \(y = \frac{1}{2}\cot {x^2}\) có đạo hàm là:
\(\frac{{ - x}}{{2\sin {x^2}}} \cdot \)
\(\frac{x}{{{{\sin }^2}{x^2}}} \cdot \)
\(\frac{{ - x}}{{\sin {x^2}}} \cdot \)
\(\frac{{ - x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}} \cdot \)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \[y' = - \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}{x^2}}} = - \frac{x}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\]
Cho hàm số \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)\). Khi đó phương trình \(y' = 0\) có nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{3} - k\pi \).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C (vì \[x = - \frac{\pi }{3} - 2k\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + 2l\pi ,l \in \mathbb{Z}\])
Ta có: \[y' = - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} - 2k\pi ,k \in Z\]
Hàm số \[y = \frac{1}{2}{\left( {1 + \tan x} \right)^2}\]có đạo hàm là:
\[y' = 1 + \tan x\].
\[y' = {\left( {1 + \tan x} \right)^2}\].
\[y' = \left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\].
\[y' = 1 + {\tan ^2}x\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Sử dụng công thức đạo hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và đạo hàm của hàm số lượng giác.
Ta có: \[y' = \frac{1}{2}.2\left( {1 + \tan x} \right).{\left( {1 + \tan x} \right)^'}\]\[ = \left( {1 + \tan x} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]\[ = \left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\].
Hàm số 
có đạo hàm là:
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đạo hàm của \[y = \tan 7x\] bằng:
\[\frac{7}{{{{\cos }^2}7x}}\].
\[ - \frac{7}{{{{\cos }^2}7x}}\].
\[ - \frac{7}{{{{\sin }^2}7x}}\].
\[\frac{{7x}}{{{{\cos }^2}7x}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y' = {\left( {\tan 7x} \right)^\prime } = \frac{7}{{{{\cos }^2}7x}}\)
Đạo hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2\sin 2x + \cos 2x\] là
\[4\cos 2x + 2\sin 2x\].
\[2\cos 2x - 2\sin 2x\].
\[4\cos 2x - 2\sin 2x\].
\[ - 4\cos 2x - 2\sin 2x\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\[f'\left( x \right) = 4\cos 2x - 2\sin 2x\].
Đạo hàm của hàm số \[y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\] là \(y'\) bằng
\[ - 2\sin 2x\].
\[ - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\].
\[2\sin 2x\].
\[\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\[y' = - 2\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = - 2\sin \left( {2x} \right)\].
Đạo hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {\sin 3x} \] là
\[\frac{{3\cos 3x}}{{\sqrt {\sin 3x} }} \cdot \]
\[\frac{{3\cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }} \cdot \]
\[ - \frac{{3\cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }} \cdot \]
\[\frac{{\cos 3x}}{{2\sqrt {\sin 3x} }} \cdot \]
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\[f'\left( x \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\cos 3x}}{{\sqrt {\sin 3x} }} \cdot \]
Hàm số \(y = - \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right)\) có đạo hàm là:
\(x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right)\).
\(\frac{1}{2}{x^2}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\).
\(\frac{1}{2}x\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\).
\(\frac{1}{2}x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y' = - \frac{1}{2}.\left( { - 2x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right) = x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} \right)\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \cos \left( {\tan x} \right)\) bằng
\(\sin \left( {\tan x} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \cdot \)
\( - \sin \left( {\tan x} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \cdot \)
\[\sin \left( {\tan x} \right)\].
\[--\sin \left( {\tan x} \right)\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y' = - \sin \left( {\tan x} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(y = 2\sin \left( {{x^2} + 2} \right)\)
\(y' = x\cos ({x^2} + 2)\)
\(y' = 4\cos ({x^2} + 2)\)
\(y' = 2x\cos ({x^2} + 2)\)
\(y' = 4x\cos ({x^2} + 2)\)
Hướng dẫn giải:
\(y' = 4x\cos ({x^2} + 2)\)
Chọn D
Hàm số \(y = {\sin ^2}x.\cos x\) có đạo hàm là:
\[y' = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {3{{\cos }^2}x - 1} \right)\].
\[y' = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {3{{\cos }^2}x + 1} \right)\].
\[y' = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {{{\cos }^2}x + 1} \right)\].
\[y' = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {{{\cos }^2}x - 1} \right)\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(y' = \left( {{{\sin }^2}x} \right)'.\cos x + {\sin ^2}x.\left( {\cos x} \right)' = 2{\cos ^2}x\sin x - {\sin ^3}x\)
\( & = \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \sin x\left( {3{{\cos }^2}x - 1} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{x}\) có đạo hàm là:
\(y' = \frac{{x\cos x + \sin x}}{{{x^2}}}\).
\(y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}}\).
\(y' = \frac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\).
\(y' = \frac{{x\sin x - \cos x}}{{{x^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'.x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} .x'}}{{{x^2}}} = \frac{{x.\cos x - \sin x}}{{{x^2}}}\).
\(y = \frac{x}{{\sin x}}\)
\(y' = \frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
\(y' = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{\sin x}}\)
\(y' = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}\)
\(y' = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Hướng dẫn giải:
\(y' = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Chọn D
Hàm số \(y = {x^2}.\cos x\) có đạo hàm là:
\(y' = 2x.\cos x - {x^2}\sin x\).
\(y' = 2x.\cos x + {x^2}\sin x\).
\(y' = 2x.sinx - {x^2}\cos x\).
\(y' = 2x.\sin x + {x^2}\cos x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(y' = \left( {{x^2}} \right)'.\cos x + {x^2}.\left( {\cos x} \right)' = 2x.\cos x - {x^2}.\sin x\).
Hàm số\[y = \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\] có đạo hàm là:
\[y' = \cos x - \sin x + 1\].
\[y' = \cos x + \sin x + \cos 2x\].
\[y' = \cos x - \sin x + \cos 2x\].
\[y' = \cos x + \sin x + 1\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \[y = \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 1 + \sin x + \cos x + \sin x.\cos x = 1 + \sin x + \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x\].
Suy ra: \[y' = \cos x - \sin x + \cos 2x\].
Cho hàm số \[y = \frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}\]. Xét hai kết quả:
(I) \[y' = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\] (II) \[y' = \frac{{1 + \cos x + \sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\]
Kết quả nào đúng?
Cả hai đều sai.
Chỉ (II).
Chỉ (I).
Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y' = \frac{{\cos x(1 + \cos x) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x + \cos x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\)
Đạo hàm của hàm số\[y = \frac{{\cos 2x}}{{3x + 1}}\]là
\[y' = \frac{{ - 2\sin 2x\left( {3x + 1} \right) - 3\cos 2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}.\]
\[y' = \frac{{ - 2\sin 2x\left( {3x + 1} \right) - 3\cos 2x}}{{3x + 1}}.\]
\[y' = \frac{{ - \sin 2x\left( {3x + 1} \right) - 3\cos 2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}.\]
\[y' = \frac{{2\sin 2x\left( {3x + 1} \right) + 3\cos 2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:\(y' = \frac{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^\prime }\left( {3x + 1} \right) - {{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }.cos2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x\left( {3x + 1} \right) - 3\cos 2x}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}.\)
Hàm số \(y = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{\cos x + x\sin x}}\) có đạo hàm bằng
\(\frac{{ - {x^2}.\sin 2x}}{{{{(\cos x + x\sin x)}^2}}}\)
\(\frac{{ - {x^2}.{{\sin }^2}x}}{{{{(\cos x + x\sin x)}^2}}}\)
\(\frac{{ - {x^2}.\cos 2x}}{{{{(\cos x + x\sin x)}^2}}}\)
\({\left( {\frac{x}{{\cos x + x\sin x}}} \right)^2}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - x\cos x} \right)}^\prime }\left( {\cos x + x\sin x} \right) - {{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^\prime }\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) - x\cos x\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{x}{{\cos x + x\sin x}}} \right)^2}\end{array}\)
Cho hàm số \(y = {\cot ^2}\frac{x}{4}\). Khi đó nghiệm của phương trình \(y' = 0\) là:
\(\pi + k2\pi \).
\(2\pi + k4\pi \).
\(2\pi + k\pi \).
\(\pi + k\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y' = {\left( {{{\cot }^2}\frac{x}{4}} \right)^\prime } = 2\cot \frac{x}{4}{\left( {\cot \frac{x}{4}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}\cot \frac{x}{4}\left( {1 + {{\cot }^2}\frac{x}{4}} \right)\)
Mà: \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cot \frac{x}{4}\left( {1 + {{\cot }^2}\frac{x}{4}} \right) \Leftrightarrow \cot \frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = 2\pi + k4\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2\sin \sqrt x \). Đạo hàm của hàm số \(y\) là:
\(y' = 2\cos \sqrt x \).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x }}\cos \sqrt x \).
\(y' = 2\sqrt x .\cos \frac{1}{{\sqrt x }}\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x .\cos \sqrt x }}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y' = 2.\left( {\sqrt x } \right)'.\cos \sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}.\cos \sqrt x \).
Hàm số \(y = 2\sqrt {\sin x} - 2\sqrt {\cos x} \) có đạo hàm là:
\(y' = \frac{1}{{\sqrt {\sin x} }} - \frac{1}{{\sqrt {\cos x} }}\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt {\sin x} }} + \frac{1}{{\sqrt {\cos x} }}\).
\(y' = \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} - \frac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\).
\(y' = \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \frac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\[y' = 2\left( {\sqrt {\sin x} } \right)' - 2\left( {\sqrt {\cos x} } \right)' = 2.\cos x.\frac{1}{{2\sqrt {\sin x} }} + 2\sin x\frac{1}{{2\sqrt {\cos x} }}\].
\[ = \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \frac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\]
Hàm số \(y = {\tan ^2}\frac{x}{2}\) có đạo hàm là:
\(y' = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\).
\(y' = \frac{{2\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\).
\(y' = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\).
\[y' = {\tan ^3}\left( {\frac{x}{2}} \right)\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(y' = \left( {\tan \frac{x}{2}} \right)'.2\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}2\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}.\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\sin ^3}\left( {2x + 1} \right)\).
\({\sin ^2}\left( {2x + 1} \right)\cos \left( {2x + 1} \right).\)
\(12{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right)\cos \left( {2x + 1} \right).\)
\(3{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right)\cos \left( {2x + 1} \right).\)
\(6{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right)\cos \left( {2x + 1} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Bước đầu tiên áp dung công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \sin \left( {2x + 1} \right)\)
Vậy \(y' = {\left( {{{\sin }^3}\left( {2x + 1} \right)} \right)^/} = 3{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right).{\left( {\sin \left( {2x + 1} \right)} \right)^/}.\)
Tính \({\left( {\sin \left( {2x + 1} \right)} \right)^/}\): Áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/}\), với \(u = \left( {2x + 1} \right)\)
Ta được: \({\left( {\sin \left( {2x + 1} \right)} \right)^/} = \cos \left( {2x + 1} \right).{\left( {2x + 1} \right)^/} = 2\cos \left( {2x + 1} \right).\)
\( \Rightarrow y' = 3.{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right).2\cos \left( {2x + 1} \right) = 6{\sin ^2}\left( {2x + 1} \right)\cos \left( {2x + 1} \right).\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sin \sqrt {2 + {x^2}} \).
\(\cos \sqrt {2 + {x^2}} .\)
\(\frac{1}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {2 + {x^2}} .\)
\(\frac{1}{2}.\cos \sqrt {2 + {x^2}} .\)
\(\frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {2 + {x^2}} .\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng công thức \({\left( {\sin u} \right)^/}\) với \(u = \sqrt {2 + {x^2}} \)
\(y' = \cos \sqrt {2 + {x^2}} .{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)^/} = \cos \sqrt {2 + {x^2}} .\frac{{{{\left( {2 + {x^2}} \right)}^/}}}{{2\sqrt {2 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {2 + {x^2}} .\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt {\sin x + 2x} \).
\(\frac{{\cos x + 2}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}.\)
\(\frac{{\cos x + 2}}{{\sqrt {\sin x + 2x} }}.\)
\(\frac{2}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}.\)
\(\frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Áp dụng \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\), với \(u = \sin x + 2x\)
\(y' = \frac{{{{\left( {\sin x + 2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }} = \frac{{\cos x + 2}}{{2\sqrt {\sin x + 2x} }}.\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = 2{\sin ^2}4x - 3{\cos ^3}5x\).
\[y' = \sin 8x + \frac{{45}}{2}cos5x.\sin 10x\]
\(y' = 8\sin 8x + \frac{5}{2}cos5x.\sin 10x\)
\(y' = 8\sin x + \frac{{45}}{2}cos5x.\sin 10x\)
\(y' = 8\sin 8x + \frac{{45}}{2}cos5x.\sin 10x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Bước đầu tiên áp dụng \({\left( {u + v} \right)^/}\)
\(y' = {\left( {2{{\sin }^2}4x} \right)^/} - 3{\left( {{{\cos }^3}5x} \right)^/}\)
Tính \({\left( {{{\sin }^2}4x} \right)^/}\): Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = \sin 4x,\) ta được:
\({\left( {{{\sin }^2}4x} \right)^/} = 2\sin 4x.{\left( {\sin 4x} \right)^/} = 2\sin 4x.\cos 4x{\left( {4x} \right)^/} = 4\sin 8x.\)
Tương tự: \({\left( {{{\cos }^3}5x} \right)^/} = 3{\cos ^2}5x.{\left( {\cos 5x} \right)^/} = 3{\cos ^2}5x.\left( { - \sin 5x} \right).{\left( {5x} \right)^/}\)
\( = - 15{\cos ^2}5x.\sin 5x = \frac{{ - 15}}{2}cos5x.\sin 10x.\)
Kết luận: \(y' = 8\sin 8x + \frac{{45}}{2}cos5x.\sin 10x\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^3}\).
\(y' = 6\sin 4x{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^3}.\)
\(y' = 3\sin 4x{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.\)
\(y' = sin4x{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.\)
\(y' = 6\sin 4x{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = 2 + {\sin ^2}2x.\)
\(y' = 3{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^/} = 3{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^/}.\)
Tính \({\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^/},\) áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \sin 2x.\)
\({\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^/} = 2.\sin 2x{\left( {\sin 2x} \right)^/} = 2.\sin 2x.\cos 2x{\left( {2x} \right)^/} = 2\sin 4x.\)
\( \Rightarrow y' = 6\sin 4x{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.\)
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x.\cos x\), một học sinh tính theo hai cách sau:
(I) \(y' = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\) (II) \[y = \frac{1}{2}\sin 2x \Rightarrow y' = \cos 2x\]
Cách nào ĐÚNG?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không cách nào.
Cả hai cách.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Đạo hàm của \[y = \sqrt {\cos x} \] là
\[\frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\cos x} }} \cdot \]
\[\frac{{ - \sin x}}{{2\sqrt {\cos x} }} \cdot \]
\[\frac{{\sin x}}{{2\sqrt {\cos x} }} \cdot \]
\[\frac{{ - \sin x}}{{\sqrt {\cos x} }} \cdot \]
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có \(y' = \frac{{ - \sin x}}{{2\sqrt {\cos x} }}\).
Cho hàm số 
. Đạo hàm y' của hàm số là
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}\).
\(3{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\left( {\cos x + \sin x} \right).\)
\(3{\left( {\sin x - cosx} \right)^2}\left( {\cos x - \sin x} \right).\)
\({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\left( {\cos x - \sin x} \right).\)
\(3{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\left( {\cos x - \sin x} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \sin x + \cos x\)
\(y' = 3{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}.{\left( {\sin x + \cos x} \right)^/} = 3{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\left( {\cos x - \sin x} \right).\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\sin ^3}2x.{\cos ^3}2x\)
\({\sin ^2}4x.\cos 4x.\)
\(\frac{3}{2}{\sin ^2}x.\cos x.\)
\({\sin ^2}x.\cos 4x.\)
\(\frac{3}{2}{\sin ^2}4x.\cos 4x.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y = {\sin ^3}2x.{\cos ^3}2x = {\left( {\sin 2x.\cos 2x} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{2}\sin 4x} \right)^3} = \frac{1}{8}.{\sin ^3}4x\). Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},u = \sin 4x.\)
\(y' = \frac{1}{8}.3{\sin ^2}4x{\left( {\sin 4x} \right)^/} = \frac{1}{8}.3{\sin ^2}4x.\cos 4x.{\left( {4x} \right)^/} = \frac{3}{2}{\sin ^2}4x.\cos 4x.\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)^5}\)
\( - 10{\cos ^4}2x.\)
\( - {\cos ^4}2x.\sin 2x.\)
\( - 10{\cos ^4}2x.\sin x.\)
\( - 10{\cos ^4}2x.\sin 2x.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\( = {\left[ {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)} \right]^5} = {\left( {\cos 2x} \right)^5}.\)Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = \cos 2x\)
\(y' = 5.{\cos ^4}2x.{\left( {\cos 2x} \right)^/} = 5.{\cos ^4}2x.\left( { - \sin 2x} \right).{\left( {2x} \right)^/} = - 10{\cos ^4}2x.\sin 2x.\)
Hàm số \(y = \sqrt {\cot 2x} \) có đạo hàm là:
\(y' = \frac{{1 + {{\cot }^2}2x}}{{\sqrt {\cot 2x} }}\).
\(y' = \frac{{ - \left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)}}{{\sqrt {\cot 2x} }}\).
\(y' = \frac{{1 + {{\tan }^2}2x}}{{\sqrt {\cot 2x} }}\).
\[y' = \frac{{ - \left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)}}{{\sqrt {\cot 2x} }}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y' = \left( {\cot 2x} \right)'\frac{1}{{2\sqrt {\cot 2x} }} = - 2.\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}.\frac{1}{{2\sqrt {\cot 2x} }} = \frac{{ - \left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)}}{{\sqrt {\cot 2x} }}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\cos 2x}}\). Chọn đáp án sai:
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3.\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\).
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
\(3.{y^2}.y' + 2\sin 2x = 0\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt[3]{{\cos 2.\frac{\pi }{2}}} = - 1\).
\[y = \sqrt[3]{{\cos 2x}} \Rightarrow {y^3} = \cos 2x \Rightarrow y'3{y^2} = - 2\sin 2x \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}}\].
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
\(3.{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)^2}.\frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}} + 2\sin 2x = - 2\sin 2x + 2\sin 2x = 0\).
Hàm số 
có đạo hàm là:
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có 
.
Đạo hàm của 
là :
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\cos 2x}}\]. Hãy chọn khẳng định ĐÚNG.
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\).
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3\sqrt[3]{{\cos 2x}}}} \cdot \]
\[3y.y' + 2\sin 2x = 0\].
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \[y' = \frac{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^\prime }}}{{3\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}} = - \frac{{2\sin 2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\]\( \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Đạo hàm của hàm số \[y = {\sin ^2}2x.\cos x + \frac{2}{{\sqrt x }}\] là
\[y' = 2\sin 2x.\cos x - \sin x.{\sin ^2}2x - 2\sqrt x .\]
\[y' = 2\sin 2x.\cos x - \sin x.{\sin ^2}2x - 2\sqrt x .\]
\[y' = 2\sin 4x.\cos x + \sin x.{\sin ^2}2x - \frac{1}{{x\sqrt x }} \cdot \]
\[y' = 2\sin 4x.\cos x - \sin x.{\sin ^2}2x - \frac{1}{{x\sqrt x }} \cdot \]
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
\(y' = 2\sin 2x.\cos 2x.\cos x + {\sin ^2}2x.\left( { - \sin x} \right) - \frac{1}{{x\sqrt x }} = \sin 4x.\cos x - {\sin ^2}2x.\sin x - \frac{1}{{x\sqrt x }}\)
Đạo hàm của hàm số \[y = {\tan ^2}x - {\cot ^2}x\] là
\[y' = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\frac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}} \cdot \]
\[y' = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\frac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}} \cdot \]
\[y' = 2\frac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\frac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} \cdot \]
\[y' = 2\tan x - 2\cot x.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(y' = 2\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2\cot x.\left( { - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) = \frac{{2\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{2\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Cho hàm số \(y = f(x) - {\cos ^2}x\) với \[f\left( x \right)\] là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Trong bốn biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[y' = 1\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
\[x + \frac{1}{2}\cos 2x\].
\(x - \frac{1}{2}\cos 2x\).
\[x - \sin 2x\].
\[x + \;\sin 2x\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y' = f'\left( x \right) - 2.\cos x.\left( { - \sin x} \right) = f'\left( x \right) + 2.\cos x.\sin x = f'\left( x \right) + \sin 2x\)
\( \Rightarrow y' = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - \sin 2x \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + \frac{1}{2}\cos 2x\)
Đạo hàm của hàm số \(y = - \frac{2}{{\tan \left( {1 - 2x} \right)}}\) bằng:
\(\frac{{4x}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - 2x} \right)}}\)
\(\frac{{ - 4}}{{\sin \left( {1 - 2x} \right)}}\)
\(\frac{{ - 4x}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - 2x} \right)}}\)
\(\frac{{ - 4}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - 2x} \right)}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = - 2.\frac{{ - {{\left( {\tan \left( {1 - 2x} \right)} \right)}^\prime }}}{{{{\tan }^2}\left( {1 - 2x} \right)}} = 2 \cdot \frac{{ - 2 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\tan }^2}\left( {1 - 2x} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{{{\sin }^2}\left( {1 - 2x} \right)}}\)
Cho hàm số \[y = \sqrt {x\tan x} \]. Xét hai đẳng thức sau:
\[(I){\rm{ }}y' = \frac{{x\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right)}}{{2\sqrt {x\tan x} }}\] \[(II){\rm{ }}y' = \frac{{x{{\tan }^2}x + \tan x + 1}}{{2\sqrt {x\tan x} }}\]
Đẳng thức nào đúng?
Chỉ \[\left( {{\rm{II}}} \right)\].
Chỉ \[\left( {\rm{I}} \right)\].
Cả hai đều sai.
Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {x.\tan x} \right)}^\prime }}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }} = \frac{{x'.\tan x + x.{{\left( {\tan x} \right)}^\prime }}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }} = \frac{{\tan x + x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }} = \frac{{\tan x + x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}}{{2.\sqrt {x.\tan x} }}\)
Đạo hàm của hàm số \[y = {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{4}\] là
\[y' = - 2\sin \left( {\pi - 4x} \right) + \frac{\pi }{2} \cdot \]
\[y' = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \frac{\pi }{2}.\]
\[y' = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \frac{\pi }{2}x.\]
\[y' = - 2\sin \left( {\pi - 4x} \right).\]
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \[y = {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{4} = \frac{{1 - \cos \left( {\pi - 4x} \right)}}{2} + \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{4}\]
Suy ra: \[y' = - 2\sin \left( {\pi - 4x} \right) + \frac{\pi }{2} \cdot \]
Đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \] là
\[y' = \frac{1}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} \cdot \]
\[y' = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} \cdot \]
\[y' = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }}.\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right).\]
\[y' = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }}.\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right).\]
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \[y' = \frac{{{{\left[ {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \right]}^\prime }}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} \cdot {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^\prime } = \frac{{1 + {{\tan }^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{2\sqrt {2 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} }} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\].
Đạo hàm của hàm số\[y = {\cot ^2}\left( {\cos x} \right) + \sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} \]là
\[y' = - 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} }}.\]
\[y' = 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}}.\sin x + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} }}.\]
\[y' = - 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}} + \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} }}.\]
\[y' = 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}}.\sin x + \frac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y' = 2\cot \left( {\cos x} \right).{\left( {\cot \left( {\cos x} \right)} \right)^\prime } + \frac{{{{\left( {\sin x{\rm{ - }}\frac{\pi }{2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {s{\rm{in}}x - \frac{\pi }{2}} }} = 2\cot \left( {\cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\cos x} \right)}}.\sin x + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x - \frac{\pi }{2}} }}\)
Đạo hàm của hàm số\[y = {x^2}\tan x + \sqrt x \]là
\[y' = 2x\tan x + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\]
\[\frac{2}{3}\]
\[y' = 2x\tan x + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\]
\[y' = 2x\tan x + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:\(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }{\rm{tan}}x{\rm{ + }}{\left( {{\rm{tan}}x} \right)^\prime }.{x^2} + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } \Rightarrow y' = 2x\tan x + \frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Cho hàm số \[y{\rm{ = cos2}}x.{\sin ^2}\frac{x}{2}\]. Xét hai kết quả sau:
(I) \[y' = - 2\sin 2x{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x.{\rm{cos2}}x\] (II) \[y' = 2\sin 2x{\sin ^2}\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin x.\cos 2x\]
Cách nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không cách nào.
Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:\(y' = {\left( {\cos 2x} \right)^\prime }.{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)^\prime }.c{\rm{os2}}x{\rm{ = - 2sin2}}x{\rm{.}}{\sin ^2}\frac{x}{2} + \frac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x.cos2x.\)
Hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}\) có đạo hàm bằng:
\( - \frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{2{{\sin }^3}x}}\).
\( - \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2{{\sin }^3}x}}\).
\(\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{2{{\sin }^3}x}}\).
\(\frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2{{\sin }^3}x}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\sin }^2}x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime } - \left( {{{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{2{{\sin }^4}x}} = \frac{{ - {{\sin }^3}x - 2\sin x\cos x\cos x}}{{2{{\sin }^4}x}}\)
\( = - \frac{{{{\sin }^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^3}x}} = - \frac{{1 + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^3}x}}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = \sqrt {3x + 2\tan x} \)
\(\frac{{5 + 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}\)
\(\frac{{5 - 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}\)
\(\frac{{ - 5 + 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}\)
\(\frac{{ - 5 - 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y' = \frac{{(3x + 2\tan x)'}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }} = \frac{{3 + 2(1 + {{\tan }^2}x)}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }} = \frac{{5 + 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = {\sin ^2}(3x + 1)\)
\(3\sin (6x + 2)\)
\(\sin (6x + 2)\)
\( - 3\sin (6x + 2)\)
\(3\cos (6x + 2)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = 2\sin (3x + 1).{\left[ {\sin (3x + 1)} \right]^'} = 2\sin (3x + 1).3\cos (3x + 1)\)\( = 3\sin (6x + 2)\).
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = \sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} \)
\(y' = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) - (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{3\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}\)
\(y' = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) - (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{2\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}\)
\(y' = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) + (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}\)
\(y' = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) - (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = \frac{{3\tan x(1 + {{\tan }^2}x) - (1 + {{\cot }^2}2x)}}{{\sqrt {3{{\tan }^2}x + \cot 2x} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau\(y = \sqrt[3]{{{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})}}\)
\(y' = \frac{{3{x^2} + 8{{\cos }^3}(2x - \frac{\pi }{4})\sin (2x - \frac{\pi }{4})}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})} \right)}^3}}}}}\)
\(y' = \frac{{3{x^2} - 8{{\cos }^3}(2x - \frac{\pi }{4})\sin (2x - \frac{\pi }{4})}}{{4\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})} \right)}^3}}}}}\)
\(y' = \frac{{6{x^2} - 8{{\cos }^3}(2x - \frac{\pi }{4})\sin (2x - \frac{\pi }{4})}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})} \right)}^3}}}}}\)
\(y' = \frac{{3{x^2} - 8{{\cos }^3}(2x - \frac{\pi }{4})\sin (2x - \frac{\pi }{4})}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})} \right)}^3}}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = \frac{{3{x^2} - 8{{\cos }^3}(2x - \frac{\pi }{4})\sin (2x - \frac{\pi }{4})}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + {{\cos }^4}(2x - \frac{\pi }{3})} \right)}^3}}}}}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = {\cos ^2}\left( {{{\sin }^3}x} \right)\)
\(y' = - \sin (2{\sin ^3}x){\sin ^2}x\cos x\)
\(y' = - 6\sin (2{\sin ^3}x){\sin ^2}x\cos x\)
\(y' = - 7\sin (2{\sin ^3}x){\sin ^2}x\cos x\)
\(y' = - 3\sin (2{\sin ^3}x){\sin ^2}x\cos x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = - 3\sin (2{\sin ^3}x){\sin ^2}x\cos x\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^3}\).
\(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}\)
\(\frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Bước đầu tiên ta áp dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}\)
\(y' = 3{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{\sin }}{{1 + \cos x}}} \right)^/}\)
Tính :\({\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^/}\left( {1 + \cos x} \right) - {{\left( {1 + \cos x} \right)}^/}.\sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{\cos x\left( {1 + \cos x} \right) + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\cos x + {{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = \frac{1}{{1 + \cos x}}\).
Vậy \(y' = 3{\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\frac{1}{{1 + \cos x}} = \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\).
\(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\left( {\sin 2x{{\tan }^2}x + 2\tan x} \right)\)
\(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\left( {\sin 2x{{\tan }^2}x + \tan x} \right)\)
\(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\left( { - \sin 2x{{\tan }^2}x + \tan x} \right)\)
\(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\left( { - \sin 2x{{\tan }^2}x + 2\tan x} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/},\) với \(u = {\cos ^2}x{\tan ^2}x\)
\(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right).{\left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)^/}.\)
Tính \({\left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)^/},\) bước đầu sử dụng \({\left( {u.v} \right)^/},\) sau đó sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}.\)
\({\left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)^/} = {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^/}.{\tan ^2}x + {\left( {{{\tan }^2}x} \right)^/}.{\cos ^2}x\)
\( = 2\cos x{\left( {\cos x} \right)^/}{\tan ^2}x + 2\tan x{\left( {\tan x} \right)^/}{\cos ^2}x\)
\( = - 2\sin x\cos x{\tan ^2}x + 2\tan x\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\cos ^2}x = - \sin 2x{\tan ^2}x + 2\tan x.\)
Vậy \(y' = \cos \left( {{{\cos }^2}x.{{\tan }^2}x} \right)\left( { - \sin 2x{{\tan }^2}x + 2\tan x} \right)\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\cos ^2}\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\)
\[y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\cos \left( {2.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\]
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\sin \left( {2.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right).\)
\(y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\sin \left( {2.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\)
\(y' = 2.\cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).{\left[ {\cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)} \right]^/} = - 2.\cos \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\sin \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)^/}\)
\(y' = - \sin \left( {2\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)^/}.\)
Tính \({\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^/}.\left( {\sqrt x - 1} \right) - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^/}.\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\)
Vậy \(y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}.\sin \left( {2.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right).\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \frac{{\sin 2x + \cos 2x}}{{2\sin 2x - \cos 2x}}.\)
\(\frac{6}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{ - 6}}{{{{\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)
\(\frac{6}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos x} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{ - 6}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = \frac{{{{\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)}^/}.\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right) - {{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^/}.\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{\left( {2\cos 2x - 2\sin 2x} \right)\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right) - \left( {4\cos 2x + 2\sin 2x} \right)\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{ - 6{{\cos }^2}2x - 6{{\sin }^2}2x}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)}^2}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{\cos 2x}}\).
\(\frac{{\sin 2x}}{{{{\cos }^2}2x}}.\)
\(\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}2x}}.\)
\[\frac{{2\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}.\]
\(\frac{{2\sin 2x}}{{{{\cos }^2}2x}}.\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\sin ^2}\left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)\)
\(y' = \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^3}3x} \right).3\)
\(y' = \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^3}3x} \right).\)
\(y' = \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^3}3x} \right)\)
\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^3}3x} \right).3\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Đầu tiên áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)\)
\(y' = 2\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\left[ {\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)} \right]^/}\)
Sau đó áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/},\) với \(u = \cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)\)
\(y' = 2\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\cos \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)^/}\)
Áp dụng \({\left( {\cos u} \right)^/},\) với \(u = {\tan ^4}3x.\)
\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).{\left( {{{\tan }^4}3x} \right)^/}.\)
Áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \tan 3x\)
\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.{\left( {\tan 3x} \right)^/}.\)
\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right).{\left( {3x} \right)^/}.\)
\(y' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {1 + {{\tan }^3}3x} \right).3\).
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = - \frac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \frac{4}{3}\cot x\)
\(y' = {\cot ^3}x - 1\)
\(y' = 3{\cot ^4}x - 1\)
\(y' = {\cot ^4}x - 1\)
\(y' = {\cot ^4}x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(y = - \frac{1}{3}\cot x(1 + {\cot ^2}x) + \frac{4}{3}\cot x = - \frac{1}{3}{\cot ^3}x + \cot x\)
Suy ra \(y' = {\cot ^2}x(1 + {\cot ^2}x) - 1 - {\cot ^2}x = {\cot ^4}x - 1\)
Tính đạo hàm của hàm số sau\(y = 2{\sin ^3}2x + {\tan ^2}3x + x\cos 4x\)
\(y' = 12{\sin ^2}2x\cos 2x + 6\tan 3x\left( {1 + 2{{\tan }^2}3x} \right) + \cos 4x - 4x\sin 4x\)
\(y' = 12{\sin ^2}2x\cos 2x + 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + \cos 4x - x\sin 4x\)
\(y' = 12{\sin ^2}2x\cos 2x + \tan 3x\left( {1 - {{\tan }^2}3x} \right) + \cos 4x - 4x\sin 4x\)
\(y' = 12{\sin ^2}2x\cos 2x + 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + \cos 4x - 4x\sin 4x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = 12{\sin ^2}2x\cos 2x + 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + \cos 4x - 4x\sin 4x\)
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = \frac{{\sin 2x}}{x} - \frac{x}{{\cos 3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x + \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x + \sin 2x}}{{{x^2}}} + \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} + \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({\left( {\frac{{\sin 2x}}{x}} \right)^'} = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}}\), \({\left( {\frac{x}{{\cos 3x}}} \right)^'} = \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
Nên \(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\).
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = \frac{{\sin 2x}}{x} - \frac{x}{{\cos 3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x + \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x + \sin 2x}}{{{x^2}}} + \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
\(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} + \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({\left( {\frac{{\sin 2x}}{x}} \right)^'} = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}}\), \({\left( {\frac{x}{{\cos 3x}}} \right)^'} = \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\)
Nên \(y' = \frac{{2x\cos 2x - \sin 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos 3x + 3x\sin 3x}}{{{{\cos }^2}3x}}\).
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = x\sin 2x + \sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} \)
\(y' = \sin 2x - 2x\cos 2x + \frac{{3{x^2} + 2x}}{{2\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} }}\)
\(y' = \sin 2x + 2x\cos 2x + \frac{{3{x^2} + 2x}}{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} }}\)
\(y' = \sin 2x + 2x\cos 2x - \frac{{3{x^2} + 2x}}{{2\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} }}\)
\(y' = \sin 2x + 2x\cos 2x + \frac{{3{x^2} + 2x}}{{2\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = \sin 2x + 2x\cos 2x + \frac{{3{x^2} + 2x}}{{2\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau\(y = \sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} \)
\(y' = \frac{{2\sin 2x + 3{x^2}}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} }}\)
\(y' = \frac{{2\sin 2x + 3{x^2}}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} }}\)
\(y' = \frac{{\sin 2x + 3{x^2}}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} }}\)
\(y' = \frac{{2\sin 2x - 3{x^2}}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y' = \frac{{2\sin 2x + 3{x^2}}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}x + {x^3} + 1} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau\(y = x\tan 2x + \frac{{x + 1}}{{\cot x}}\)
\(y' = \tan 2x - 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)
\(y' = \tan 2x + x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)
\(y' = \tan 2x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \tan x + 2(x + 1)({\tan ^2} + 1)\)
\(y' = \tan 2x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \({\left( {x\tan 2x} \right)^'} = \tan 2x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)\)
\({\left( {\frac{{x + 1}}{{\cot x}}} \right)^'} = {\left[ {(x + 1)\tan x} \right]^'} = \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)
Nên \(y' = \tan 2x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \tan x + (x + 1)({\tan ^2} + 1)\)
Tính đạo hàm của hàm số sau\(y = \sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} \)
\(y' = \frac{{3{{\sin }^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{2\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} }}\)
\(y' = \frac{{{{\sin }^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{2\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} }}\)
\(y' = \frac{{{{\sin }^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} }}\)
\(y' = \frac{{3{{\sin }^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = \frac{{3{{\sin }^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sqrt {{{\sin }^3}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 1} }}\).
Chohàm số y=f(x)={sinxkhix≥0sin(-x)khix<0. Tìm khẳng định SAI?
Hàm số \[f\] không có đạo hàm tại \[{x_0} = 0\].
Hàm số \[f\] không liên tục tại \[{x_0} = 0\].
\[f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\].
\[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = \sin 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin ( - x) = \sin 0 = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\)
Tính đạo hàm của hàm số sau\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3}\sin \frac{1}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\0{\rm{ khi }}x = 0{\rm{ }}\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x}{\rm{khi }}x \ne 0\\{\rm{0khi}}x = 0\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x}{\rm{khi }}x \ne 0\\0{\rm{khi}}x = 0\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\sin \frac{1}{x} + x\cos \frac{1}{x}{\rm{khi }}x \ne 0\\0{\rm{khi}}x = 0\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}{\rm{khi }}x \ne 0\\0{\rm{khi}}x = 0\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(x \ne 0 \Rightarrow f'(x) = 3{x^2}\sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x}\)
Với \(x = 0 \Rightarrow f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = 0\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\sin \frac{1}{x} - x\cos \frac{1}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\0{\rm{ khi }}x = 0\end{array} \right.\).
