1000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán cao cấp có đáp án - Phần 19
25 câu hỏi
Cần và đủ để hàm \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x - \sin x(x \ne 0)\\a(x = 0)\end{array} \right.\] liên tục tại x = 0 là:
\[a = \frac{1}{3}\]
\[a = - \frac{1}{6}\]
\[a = \frac{1}{6}\]
Một giá trị khác
Chọn đáp án C
Cho bài toán: Xét tính liên tục của hàm \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\ln (1 + 2x).{\sin ^2}x(x \ne 0)\\2(x = 0)\end{array} \right.\]
Một sinh viên giải bài toán này theo các bước dưới đây: Bước 1: Khi \[x \ne 0\], f(x) là hàm số sơ cấp. Do đó hàm số này liên tục tại mọi R
Bước 2: Xét hàm số trong lân cận của điểm x = 0. Áp dụng quy tắc thay vô cùng bé tương đương, ta tính được \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 2x).{{\sin }^2}x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x.{x^2}}}{{{x^3}}} = 2\]
Bước 3: Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)\] nên f(x) liên tục tại x = 0. Vậy hàm số đã cho liên tục trên R.
Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
Lời giải đúng
Lời giải sai từ bước 1
Lời giải sai từ bước 2
Lời giải sai từ bước 3
Đáp án
Chọn đáp án A
Đạo hàm của hàm \[y = {x^{\cos x}}\]là:
\[y' = \;(\frac{1}{x}lnx + sinxlnx){x^{cosx}}\]
\[y' = \;(\frac{1}{x}lnx - sinxlnx){x^{cosx}}\]
\[y' = \;( - \frac{1}{x}lnx + sinxlnx){x^{cosx}}\]
Một hàm khác
Chọn đáp án D
Xét ẩn hàm y=y(x) cho bởi phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = t{e^t}\\y = ({t^2} + t)\end{array} \right.{e^t};t \in (0, + \infty )\] Các đạo hàm cấp 1, 2 của y theo x là:
\[y'(x) = \frac{1}{{x + y + 1}};y'' = \frac{{x + y}}{{{{(x + y + 1)}^2}}}\]
\[y'(x) = \frac{1}{{x + y + 1}};y'' = - \frac{{x + y}}{{{{(x + y + 1)}^2}}}\]
\[y'(x) = - \frac{1}{{x + y + 1}};y'' = - \frac{{x + y}}{{{{(x + y + 1)}^2}}}\]
Hai hàm số khác
Chọn đáp án A
Cho hàm hai biến \[z = arctg(y - x)\]. Vi phân toàn phần cấp một của z là:
\[dz = \frac{{dx + dy}}{{1 + {{(x - y)}^2}}}\]
\[dz = \frac{{dx - dy}}{{1 + {{(x - y)}^2}}}\]
\[dz = \frac{{dy - dx}}{{1 + {{(x - y)}^2}}}\]
\[dz = \frac{{ - dx - dy}}{{1 + {{(x - y)}^2}}}\]
Chọn đáp án C
Cho hàm \[z = {x^2} - 2y + {y^2}\]. Chọn câu sai?
M(0,1) là điểm cực trị duy nhất của z
z đạt cực tiểu tại M(0,1)
z có một cực đại và một cực tiểu
Giá trị cực trị duy nhất của z là: z0=-1
Chọn đáp án C
Tính tích phân bất định \[I = \frac{{2x + 7}}{{{x^2} + x + 2}}dx\]
\[I = 3\ln |x - 1| - \ln |x + 2| + C\]
\[I = 3\ln |x - 1| + \ln |x + 2| + C\]
\[I = 3\ln |x + 2| + \ln |x - 1| + C\]
Một kết quả khác
Chọn đáp án A
Tính tích phân bất định \[I = \frac{{(2x + 3)dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}\]
\[I = ln({x^2} + 2x + 2) + arctg(2x + 2) + C\]
\[I = ln({x^2} + 2x + 2) + arctg(x + 1) + C\]
\[I = ln({x^2} + 2x + 2) + arctg(2x + 1) + C\]
Môt kết quả khác
Chọn đáp án B
Giá trị của tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} t{g^3}xdx\] là:
\[I = \frac{1}{2}(1 + \ln 2)\]
\[I = \frac{1}{2}(2 - \ln 2)\]
\[I = \frac{1}{2}(1 - \ln 2)\]
Một giá trị khác
Chọn đáp án C
Giá trị của tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^5 \frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{1 + 3x}}}}\]là:
\[\frac{{28}}{3}\]
\[\frac{7}{3}\]
\[\frac{{28}}{9}\]
Một giá trị khác
Chọn đáp án C
Cho hai tích phân: \[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{{{\ln }^2}x}}{{2x}}dx\,(1)\,\]và \[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{{e^{4\sqrt x }} - 1}}dx\,(x)\]. Phát biểu đúng?
Cả hai tích phân đều hội tụ
Cả hai tích phân đều phân kỳ
Tích phân (1) hội tụ, tích phân (2) phân kỳ
Tích phân (1) phân kỳ, tích phân (2) hội tụ
Chọn đáp án D
Cho hàm số \[y = x{e^{\frac{2}{x}}} + 5\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số tăng trên \[( - \infty ;0) \cup (2; + \infty )\]
Hàm số tăng trên \[( - \infty ;0)\]
Hàm số tăng trên \[(2; + \infty )\]
Hàm số tăng trên \[(0,2)\]
Chọn đáp án A
Tính \[I = \mathop \smallint \limits_3^{ + \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^6} - 2}}dx\]
\[\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln |\frac{{8 - \sqrt 2 }}{{8 + \sqrt 2 }}|\]
\[\frac{5}{{6\sqrt 2 }}\ln |\frac{{8 + \sqrt 2 }}{{8 - \sqrt 2 }}|\]
\[\frac{{ - 1}}{{3\sqrt 2 }}\ln |\frac{{8 + \sqrt 2 }}{{8 - \sqrt 2 }}|\]
\[\frac{{ - 1}}{{6\sqrt 2 }}\ln |\frac{{27 - \sqrt 2 }}{{27 + \sqrt 2 }}|\]
Chọn đáp án D
Cho hàm số \[y = {x^{\sqrt {{x^2} - 9} }}\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
y tăng trên \[(3, + \infty )\]giảm trên \[( - \infty ,3)\]
y luôn tăng
y đạt cực tiểu tại x = 0
y đạt cực đại tại x = 0
Chọn đáp án A
Cho hàm số \[y = \frac{1}{2}{x^2} - 4\ln 2x\]. Đồ thị của hàm số?
Lồi trên (0;2), lõm trên (2;+∞)
Lõm trên (0;2), lồi trên (2;+∞)
Lồi trên tập xác định của nó
Lõm trên tập xác định của nó
Chọn đáp án D
Định nghĩa nào sau đây đúng về tích phân suy rộng?
\[\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } } \int\limits_a^b {f(x)dx} \]
\[\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } } \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx} \]
\[\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } } \int\limits_a^{ + \infty } {f(a)} \]
\[\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} } \int\limits_a^{b + \varepsilon } {f(x)dx} \]
Chọn đáp án A
Cho hàm số \[y = \sqrt[3]{{1 - {x^3}}}\]Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số có tiệm cận xiên y = x
Hàm số có tiệm cận xiên y = x + 1
Hàm số có tiệm cận xiên y = -x
Hàm số có tiệm cận xiên y = -x + 1
Chọn đáp án C
Cho tích phân: \[\mathop \smallint \limits_0^3 \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}dx\,(x)\,va\,\,\mathop \smallint \limits_1^{ + \infty } \frac{{{e^{ - {x^3}}}}}{{{x^3}}}dx\,(2)\]. Phát biểu đúng:
Cả hai tích phân đều hội tụ
Cả hai tích phân đều phân kỳ
Tích phân (1) hội tụ, tích phân (2) phân kỳ
Tích phân (1) phân kỳ, tích phân (2) hội tụ
Chọn đáp án D
Tính \[\mathop \smallint \limits_0^{ + \infty } \frac{{x\ln x}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}dx\].
1
0
1/2
¾
Chọn đáp án B
Tính diện tích phẳng giới hạn bởi: \[y = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {x^2}}},y = 0\]
\[\pi a\]
\[\pi {a^2}\]
\[\pi {a^3}\]
\[\frac{{\pi {a^3}}}{2}\]
Chọn đáp án B
Tính tích phân \[\smallint \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 2x + 2}}dx\]
\[\frac{1}{2}\ln |{x^2} - 2x + 2| - 2\arctan (x - 1) + C\]
\[\frac{1}{2}\ln |{x^2} - 2x + 2| - 4\arctan (x - 1) + C\]
\[\frac{1}{2}\ln |{x^2} + 2x + 2| - 4\arctan (x - 1) + C\]
\[\frac{1}{2}\ln |{x^2} + 2x + 2| - 4\arctan (x + 1) + C\]
Chọn đáp án A
Tính diện tích phẳng giới hạn bởi: \[y = 2x,y = 2x + {\sin ^2}x\,(0 \le x \le \pi )\]
\[\frac{\pi }{2}\]
\[\frac{2}{\pi }\]
\[\frac{2}{\pi } + \frac{1}{2}\]
\[\frac{\pi }{2} + \frac{1}{3}\]
Chọn đáp án A
Tính thể tích tròn xoay do \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] quay quanh Oy.
\[\frac{4}{3}\pi b{a^2}\]
\[\pi b{a^2}\]
\[\frac{2}{3}\pi b{a^2}\]
\[\frac{1}{3}\pi b{a^2}\]
Chọn đáp án A
Tính tích phân \[\smallint \frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}} }}\]
\[ln|\frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + x + 1} | + C\]
\[ln|x + \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + x + 1} | + C\]
\[ln|x + \sqrt {{x^2} + x + 1} | + C\]
\[ln|x + \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} + x + 1} | + C\]
Chọn đáp án B
Tính thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: \[y = 2x - 2{x^2},y = 0\] quay quanh Ox
\[\frac{\pi }{3}\]
\[\frac{{2\pi }}{{15}}\]
\[\frac{\pi }{{15}}\]
\[\frac{\pi }{{20}}\]
Chọn đáp án B
