1000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán cao cấp có đáp án - Phần 15
20 câu hỏi
Cho dạng toàn phương Q: R3 -> R xác định bởi \[Q\left( {x,y,z} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4xy + 4xz + 2yz\]. Tìm một cơ sở \[\left\{ {v1,v2,v3} \right\}\]của R3 sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc:\[\left( {x,y,z} \right) = X{v_1} + Y{v_2} + Z{v_3};Q\left( {x,y,z} \right) = \alpha {x^2} + \beta {y^2} + \gamma {z^2}\]
\[{v_1} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }},0} \right),{v_3} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 2}}{{\sqrt 6 }}} \right),\alpha = - 5,\beta = 1,\gamma = 1,p = 1,q = 2\]
\[{v_1} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},0} \right),{v_3} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 2}}{{\sqrt 6 }}} \right),\alpha = - 5,\beta = - 1,\gamma = - 1\]
\[{v_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),{v_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right),\alpha = - 3,\beta = - 1,\gamma = - 1\]
\[{v_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),{v_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right),\alpha = 5,\beta = 5,\gamma = - 1\]
Chọn đáp án B
Cho dạng toàn phương Q: R3 -> R có ma trận trong cơ sở chính tắc \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{17}&2&{ - 2}\\{ - 2}&{14}&{ - 4}\\{ - 2}&{ - 4}&{14}\end{array}} \right)\]. Tìm một cơ sở \[\{ {v_1},{v_2},{v_3}\} \]của R3 sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc \[\left( {x,y,z} \right) = X{v_1} + Y{v_2} + Z{v_3};Q\left( {x,y,z} \right) = \alpha {x^2} + \beta {y^2} + \gamma {z^2}\]
\[{v_1} = \left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right),{v_2} = \left( {0,\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right),{v_3} = \left( {\frac{{ - 4}}{{\sqrt {18} }},\frac{1}{{\sqrt {18} }},\frac{1}{{\sqrt {18} }}} \right),\alpha = 9,\beta = 18,\gamma = 18\]
\[{v_1} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }},0} \right),{v_3} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 2}}{{\sqrt 6 }}} \right),\alpha = 5,\beta = 10,\gamma = 10\]
\[{v_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),{v_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right),\alpha = 3,\beta = 5,\gamma = - 1,p = 1,q = 2\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l} - 6\\1\end{array}\end{array}} \right)\]
\[{v_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{v_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{2}{3}} \right),{v_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right),\alpha = 1,\beta = 1,\gamma = 2\]
Chọn đáp án A
Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q: R3 -> R, \[Q\left( {x,y,z} \right) = 2{x^2} + {y^2} + 3{z^2} + 2mxy + 2xz\]xác định dương:
m = 1
\[m < \sqrt {\frac{5}{3}} \]
>
m≠0
m>0
Chọn đáp án B
Cho dạng toàn phương Q: R3 -> R có ma trận trong cơ sở chính tắc \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&m&{ - 1}\\m&1&2\\{ - 1}&2&5\end{array}} \right)\]Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q , xác định dương:
m > 1
\[m < \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
>
\[m \ne 0\]
\[ - \frac{4}{5} < m < 0\]
>
Chọn đáp án D
Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q: R3-> R, \[Q\left( {x,y,z} \right) = - 4{x^2} - {y^2} + 4m{z^2} + 2mxy - 4mxz + 4yz\] xác định âm:
m > -1
|m| < 2
>
-2
m ≥ −2
Chọn đáp án C
Tìm k để dạng song tuyến tính xác định như sau \[\forall \left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right) \in {R^2},\eta (\left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right) = {x_1},{x_2} - 3{x_1}{y_2} - 3{x_2}{y_1} + k{y_1}{y_2}\] là một tích vô hướng của không gian véc tơ R2
k > 9
k > 0
0<9
9
k≠0
Chọn đáp án A
Tìm điều kiện a,b,c,d để dạng song tuyến tính xác định như sau \[\forall \left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right) \in {R^2},\eta (\left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right) = a{x_1},{x_2} + b{x_1}{y_2} + c{x_2}{y_1} + d{y_1}{y_2}\] là một tích vô hướng của không gian véc tơ R2:
a>0, b>0, c>0, d>0
a>0, d>0, ad-bc>0
a>0, b=c, ad-bc>0
a>0, d>0, ad-bc>0
Chọn đáp án C
Cho ma trận trực giao
Điều nào sau đây không đúng?
Hệ các véc tơ cột của A là một hệ trực chuẩn
Hệ các véc tơ hàng của A là một hệ trực chuẩn
Định thức của A luôn bằng 1
Tồn tại ma trận nghịch đảo A-1=At
Chọn đáp án C
Xác định xem cơ sở nào sau đây là cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ R3
\[\left\{ {\left( {1,1,1} \right),\left( {0,1,1} \right),\left( {2,0,1} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {\left( {1,2,2} \right),\left( {2,0,1} \right),\left( { - 1,0,1} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {\left( {\frac{2}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{1}{3}} \right),\left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),\left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right),\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)} \right\}\]
Chọn đáp án C
Ma trận nào sau đây không phải là ma trận trực giao:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \varphi }&{ - \sin \varphi }&0\\{\sin \varphi }&{\cos \varphi }&0\\0&0&{ - 1}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}&\begin{array}{l}\frac{4}{5}\\\frac{{ - 3}}{5}\end{array}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}}&{\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{{ - 2}}{3}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{1}{3}}\\{\frac{{ - 1}}{3}}&{\frac{{ - 2}}{3}}&{\frac{2}{3}}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&0&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&0\end{array}} \right)\]
Chọn đáp án D
\[\forall \left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right) \in {R^2},\eta (\left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right) = {x_1},{x_2} - 2{x_1}{y_2} - 2{x_2}{y_1} + 5{y_1}{y_2}\] xác định một tích vô hướng của không gian véc tơ R2 .Trực chuẩn hoá GramSchmidt cơ sở \[\{ {e_1} = (1,0),{e_2} = (0,1)\} \] của R2.
\[{v_1} = {e_1} = \left( {1,0} \right),{v_2} = {e_2} = \left( {0,1} \right)\]
\[{v_1} = {e_1} = \left( {1,0} \right),{v_2} = \left( {2,1} \right)\]
\[{v_1} = \left( {1,2} \right),{v_2} = {e_2}\left( {2,1} \right)\]
Chọn đáp án B
Trong không gian véc tơ R4 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của không gian W gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ: \[{u_1} = \left( {1, - 2,3,4} \right),{v_2} = \left( {3, - 5,7,8} \right)\]
\[{v_1} = \left( {3,1,0, - 4} \right),{v_2} = \left( {1, - 3,5,4} \right)\]
\[{v_1} = \left( {4,1,0,6} \right),{v_2} = \left( {2, - 1,3,0} \right),{v_3} = \left( {1, - 1,3,2} \right)\]
\[{v_1} = \left( {1,2,0} \right),{v_2} = \left( {4,4,0,1} \right)\]
\[{v_1} = \left( {2,4,2,0} \right),{v_2} = \left( {5,6,1,2} \right)\]
Chọn đáp án C
Trong không gian véc tơ R5 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của phần bù trực giao W⊥ của không gian: \[W = span\{ {u_1} = (1,2,3, - 1,2),{u_1} = (2,4,7,2, - 1)\} \]
\[\left\{ {{v_1} = \left( {2, - 1,0,0,0} \right),{v_2} = \left( { - 17,0,5,0,1} \right),{v_3} = \left( {13,0, - 4,1,0} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {{v_1} = \left( {2, - 1,0,0,0} \right),{v_2} = \left( { - 17,0,5,0,1} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {{v_1} = \left( {2, - 1,0,0,0} \right),{v_2} = \left( {7,0,5,0,1} \right),{v_3} = \left( {13,0, - 4,1,0} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {{v_1} = \left( {2, - 1,0,0,0} \right),{v_2} = \left( { - 17,0,5,0,1} \right),{v_3} = \left( {15,1, - 5,0, - 1} \right)} \right\}\]
Chọn đáp án A
Giả sử W1, W2 là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ Euclide V . Điều nào sau đây không đúng?
\[{\left( {{W_1} + {W_2}} \right)^ \bot } = {W_1}^ \bot \cap {W_2}^ \bot \]
\[{\left( {{W_1} \cap {W_2}} \right)^ \bot } = {W_1}^ \bot + {W_2}^ \bot \]
\[{\left( {{W_1} \cap {W_2}} \right)^ \bot } = {W_1}^ \bot \cup {W_2}^ \bot \]
\[{\left( {{W_1} \subset {W_2}} \right)^ \bot } = {W_1}^ \bot \supset {W_2}^ \bot \]
Chọn đáp án C
Trường hợp nào sau đây không đúng?
Định thức của ma trận vuông có một hàng là các số 0 thì bằng không
Định thức của ma trận vuông có hai hàng tỉ lệ thì bằng không
Định thức của ma trận vuông có một hàng tỉ lệ với một cột thì bằng không
Nếu thay đổi vị trí hai hàng của định thức thì định thức đổi dấu
Chọn đáp án C
Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n≥2. Trường hợp nào sau đây luôn đúng?
\[det\left( {kA} \right) = kdet\left( A \right)\]
\[det\left( {A + B} \right) = det\left( A \right) + det\left( B \right)\]
\[det\left( {AB} \right) = det\left( A \right)det\left( B \right)\]
\[det\left( { - A} \right) = - det\left( A \right)\]
Chọn đáp án C
Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: \[\left\{ \begin{array}{l}5{x_1} - 3{x_2} + 2{x_3} + 4{x_4} = 3\\7{x_1} - 3{x_2} + 7{x_3} + 17{x_4} = m\\4{x_1} - 2{x_2} + 3{x_3} + 7{x_4} = 1\\18{x_1} - 6{x_2} - {x_3} - 5{x_4} = 9\end{array} \right.\]
Hệ vô nghiệm
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - 5{x_2} - 13{x_4} - 3}}{2};{x_1} = \frac{{ - 7{x_3} - 19{x_4} - 7}}{2}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = 9\\m \ne 9\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = \frac{{2{x_1} + 11{x_2} - 3}}{2};{x_1} = \frac{{ - 5{x_1} + 21{x_2} - 7}}{2}\]
Đáp án
Chọn đáp án A
Tìm x, y, z sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau \[\left( {2, - 5,3} \right) = x\left( {1, - 3,2} \right) + y\left( {2, - 4, - 1} \right) + z\left( {1, - 5,7} \right)\]
x=−2,y=1,z=−5
x=−1,y=4,z=−6
Không tồn tại x, y, z
x=3,y=11,z=−4
Chọn đáp án B
Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau \[\left( {7, - 2,m} \right) = x\left( {2,3,5} \right) + y\left( {2,3,5} \right) + z\left( {1, - 6,1} \right)\]
m = 11
m = 15
m≠−11
m = -21
Chọn đáp án A
Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau: \[\left( {1,3,5} \right) = x\left( {2,3,5} \right) + y\left( {2,4,7} \right) + z\left( {5,6,m} \right)\]
m = -10
m = 25
m≠11
m≠10
Chọn đáp án D
