100 câu trắc nghiệm Đường thẳng - Mặt phẳng trong không gian (P3)

Đáp án C

Xét (SAD) và (SBC) có:

S là điểm chung

AD // BC

$\Rightarrow$giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

Đáp án C

Xét tam giác A’B’C’:

Gọi N là trung điểm B’C’

J là trọng tâm A’B’C’

Xét tam giác ABC:

Gọi M là trung điểm BC

I là trọng tâm ABC

Từ (1), (2), ta có IJ // MN

Xét (AIJ) và (B’C’CB) có:

M là điểm chung

IJ // MN

$\Rightarrow$giao tuyến của (AIJ) và (B’C’CB) là MN

$\Rightarrow$thiết diện cần tìm là mặt phẳng (A’NMA)

Xét (A’NMA) có: A’A // MN và A’A = MN ( // = BB’)

A’NMA là hình hình hành

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB.

Xét tam giác HCD có:

$\Rightarrow$EG // CD ( định lí ta- let)

Đáp án B

* Vì ABCD là hình vuông nên:  AD // BC

Mà$BC \subset \left(CBE\right)$ nên AD// mp (CBE)  (1)

* Vì  ABEF là hình vuông nên: AF// BE

Mà $BE \subset \left(CBE\right)$ nên AF // mp ( CBE)  (2)

* Vì hai đường thẳng AD; AF cắt nhau tại A và cùng nằm trong  (DAF)   (3)

từ (1);(2);  (3) suy ra: (DAF)//(CBE)

Đáp án A

Xét (BCD) có: RQ$\cap$BD = $\left\{K\right\}$

$\Rightarrow$K$\in$(ABD)

Xét (ABD) có: PK$\cap$AD = $\left\{S\right\}$

Gọi E là trung điểm BR

$\Rightarrow$R là trung điểm đoạn EC

Mà Q là trung điểm CD

$\Rightarrow$RQ là đường trung bình tam giác DEC

$\Rightarrow$RQ // DE$\Rightarrow$RK // DE

Xét tam giác BRK có: RK // DE và E là trung điểm BR

$\Rightarrow$D là trung điểm BK

Xét tam giác ABK có: AD là đường trung tuyến cạnh BK

      và KP là đường trung tuyến cạnh AB

      PK$\cap$AD = $\left\{S\right\}$

$\Rightarrow$S là trọng tâm tam giác ABK

$\Rightarrow \frac{SA}{SD}=2$

Đáp án D

Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng d đi qua O và song song với AB

d cắt AD tại J

d cắt BC tại G

Trong mặt phẳng (SBC), kẻ đường thẳng  Gx đi qua G và song song với SC; đường thẳng này  cắt SB tại H

Trong mặt phẳng (SAB), kẻ đường thẳng y đi qua H và song song với AB

y cắt SA tại I

$\Rightarrow$IHGJ là thiết diện cần tìm

Xét tứ giác IHGJ có: IH // JG ( // AB )

$\Rightarrow$IHGJ là hình thang

Đáp án D

Trong (ABCD), kẻ đường thẳng d đi qua F và song song với BD

d cắt AD tại G

d  cắt AC tại K $\Rightarrow FG\cap AC=\left\{K\right\}$

Trong (SAD), kẻ đường thẳng x đi qua G và song song với SA

x cắt SD tại H

Trong (SAB), kẻ đường thẳng y đi qua F và song song với SA

y cắt SB tại J

Trong (SAC), kẻ đường thẳng z đi qua K và song song với SA

z cắt AC tại I

$\Rightarrow$FGHIK là thiết diện cần tìm

$\Rightarrow$thiết diện là ngũ giác

Đáp án D

Trên Bx lấy điểm B’ sao cho BB’ = 4

Trên Dz lấy điểm D’ sao cho DD’ = 2

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa tia Bx và Dz

Xét (AB’D’) và $\left(\alpha \right)$ có:

B’ là điểm chung

AD’ // $\left(\alpha \right)$

$\Rightarrow$giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và (AB’D’) là đường thẳng d đi qua B’ và song song với AD’

Trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ , ta có: d cắt Cz tại C’

 Gọi $\left\{O\right\}=AC\cap BD,\left\{O\text{'}\right\}=AC\text{'}\cap B\text{'}D\text{'}$

Xét hình thang BB’D’D có: OO’ là đường trung bình

Xét tam giác ACC’ có: OO’ là đường trung bình

Đáp án A

Trong mặt phẳng (BCD), $FG\cap BD=\left\{H\right\}$

H$\in$BD$\Rightarrow$H$\in$(ABD)

Trong (ABD), $EH\cap AD=\left\{I\right\}$

$\Rightarrow$tứ giác EFGI là thiết diện cần tìm

Đáp án C

Xét (MNE) và (BCD) có:

E là điểm chung

BC // MN$\Rightarrow$BC // (MNE)

$\Rightarrow$Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d đi qua E và song song BC

d cắt BD tại H

$\Rightarrow$MNEH là thiết diện cần tìm

Xét tứ giác MNEH có MN // EH ( // BC)

$\Rightarrow$MNEH là hình thang

Đáp án B

Xét (MNK) và (ABD) có:

N là điểm chung

AB // MK ( vì MK là đường trung bình của tam giác ABC)$\Rightarrow AB⫽\left(MNK\right)$

$\Rightarrow$Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d đi qua N và song song AB

d cắt AB tại điểm F cần tìm

Vì FN // AB ( cách dựng)

Đáp án D

Xét (DMN) và (DBC) có:

D là điểm chung

BC // MN ( vì MN là đường trung bình của tam giác ABC)$\Rightarrow BC⫽\left(DMN\right)$

Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d đi qua D và song song với AB

$\Rightarrow$d // mp(ABC)

Đáp án C

Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra:MN // BC

 Mà BC $\subset mp \left(BCD\right)$ nên MN // mp(BCD)

Đáp án B

Trong (ABC), kẻ đường thẳng d đi qua M song song CI

d cắt AC tại H

Trong (SAB) kẻ đường thẳng x đi qua M và song song SI

X cắt SA tại J

$\Rightarrow$(MHJ) là thiết diện cần tìm

Gọi tứ diện đều cạnh 2a$\Rightarrow$AI = a

Ta có AM = x và $\frac{MJ}{SI}=\frac{AM}{AI}$ (MJ // SI theo cách dựng)

 $\frac{AM}{AI}=\frac{MH}{CI}$(MH // CI theo cách dựng)

$\frac{JH}{SC}=\frac{AH}{AC}=\frac{AM}{AI}$

$\Rightarrow$MJ = $\frac{x}{a}.\sqrt{3}a$ = $x\sqrt{3}$

       MH = $\frac{x}{a}.\sqrt{3}a$  = $x\sqrt{3}$

       JH = $\frac{x}{a}.2a$ = 2x

Chu vi thiết diện MHJ là: x$\sqrt{3}$+ x$\sqrt{3}$+ 2x = 2x ($\sqrt{3}$ + 1 )

Đáp án C

Gọi I là trọng tâm tam giác ACD

H là trung điểm CD

Nối BI cắt AA’, ta được trọng tâm G của tứ diện

Xét mặt phẳng (ABH)

Ta có: $\frac{IH}{AH}=\frac{A\text{'}H}{BH}=\frac{1}{3}$

( A’ và I lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD)

$\Rightarrow$A’I // AB

Ta lại có: $\frac{A\text{'}I}{AB}=\frac{GA\text{'}}{GA}=\frac{IH}{AH}=\frac{1}{3}$ ( áp dụng định lý ta lét)

$\Rightarrow$GA = 3GA’

Đáp án C

(Dễ dàng chứng minh định lý: trong hình bình hành, tổng bình phương 2 đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh bằng định lý hàm cos)

Ta có: $AC{\text{'}}^2=AA{\text{'}}^2+A\text{'}C{\text{'}}^2$

= $AA{\text{'}}^2+A\text{'}D{\text{'}}^2+A\text{'}B{\text{'}}^2$

= 50

Tương tự $BD{\text{'}}^2 = AC{\text{'}}^2= DB{\text{'}}^2 = CA{\text{'}}^2= 50$

Đáp án C

Trong (SAC) có SO cắt MC tại I

I$\in$MC$\Rightarrow$I$\in$(MNC)

Mà I$\in$SO

$\Rightarrow$I là giao điểm của SO và (MNC)

Đáp án B

Xét (A’B’C’) và (A’BC) có:

A’ là điểm chung

B’C’ // BC

 giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d qua A’ song song với B’C’

$\Rightarrow$d và B’C’ đồng phẳng

Mà d chứa A’

$\Rightarrow$d thuộc mặt phẳng (A’B’C’)

Mà H$\in$A’B’$\Rightarrow$H$\in$(A’B’C’)

$\Rightarrow$Mặt phẳng đi qua d và H, cắt tứ diện ABC. A’B’C’ là (A’B’C’)

Đáp án C

Trên Ax lấy điểm A’ sao cho AA’= x

Trên By lấy điểm B’ sao cho BB’ = y

Trên Cz lấy điểm C’ sao cho CC’ = z

Hai mp (AA'B'B) // ( DD'C'C) vì AA'// DD'  và AB// DC

Mặt phẳng (P) cắt 2 mp song song (AA'B'B)và (DD'C'C) theo 2 giao tuyến là A'B'và C'D'

Suy ra: A'B' // C'D' ( định lí giao tuyến).

 Gọi $\left\{O\text{'}\right\}=AC\cap BD,\left\{O\right\}=A\text{'}C\text{'}\cap B\text{'}D\text{'}$

Xét hình thang AA’C’C có: OO’ là đường trung bình

 $\Rightarrow OO\text{'}=\frac{AA\text{'}+CC\text{'}}{2}=\frac{x+z}{2}$ (1)

Xét tam giác BDD’D có: OO’ là đường trung bình

$\Rightarrow OO\text{'}=\frac{DD\text{'}+BB\text{'}}{2} = \frac{DD\text{'} +\hspace{0.17em}y}{2}$  (2)

 Từ (1) và (2) suy ra:  x + z =DD' +y 

Nên: DD’ = x + z – y

Đáp án A

(SAC)$\cap$(SAD)=SA

Đáp án D

Đáp án B

Phương án B sai vì có thể xảy ra trường hợp :  b nằm trên mp (P).

Đáp án D

Phương án D cần sửa lại thành:

Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì hoặc nó song song hoặc nó nằm trong mặt phẳng còn lại

Đáp án D

Đáp án C

Ta chứng minh phương án C đúng:
 + trong  mp (ABC) có M và N lần lượt là trung điểm của AB; BC nên MN là đường trung bình của tam giác

Suy ra: MN // AC  (1)
 + Trong mp( ACD) có P và Q lần lượt là trung điểm của CD và AD nên PQ là đường trung bình của tam giác 

Suy ra: PQ// AC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  MN// PQ