10 bài tập Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 1), B(1; 1; 0) và C(3; 4; −1). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3 + t\\z = 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\z = 4 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3 + t\\z = 4 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành nhận \(\overrightarrow u = - \overrightarrow i = \left( { - 1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 2; 2). Đường thẳng đi qua M và song song với Oy có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = t\\z = 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua M và song song với Oy nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ở đáp án B thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(1; 0; 1), C(3; 1; 0). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là:
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\);
\(\frac{{z + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\);
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua A(1; 1; 0) song song với BC nên nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương do đó có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −1; 3), B(1; 0; 1), C(−1; 1; 2). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC.
\(x - 2y + z = 0\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\);
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; −3), B(−1; 4; 1) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d?
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Trung điểm của AB là I(0; 1; −1).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên đường thẳng cần tìm cũng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Suy ra phương trình \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; −1) và mặt phẳng (P): x + y – 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t\\z = - 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1\\z = - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = - t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (Oxy) và (P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;0} \right)\).
Có \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = - \left( {1; - 1;0} \right)\).
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t\\z = - 1\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y + z – 1 = 0, (β): 2x + y – z = 0 và điểm A(1; 2; −1). Đường thẳng đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là:
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1;3;5} \right)\).
Phương trình của đường thẳng : \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z – 2 = 0 và (Q): x – y – 5 = 0. Đường thẳng (d) song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 1 = 0, (Q): x – 2y + z – 5 = 0. Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a; - 3;b} \right)\). Tính a + b.
6;
−6;
9;
−9.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\).
Suy ra a = −1; b = −5. Do đó a + b = −6.
