10 bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\); \({d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.
Chéo nhau;
Trùng nhau;
Song song;
Cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2; - 1;2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = - \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \).
Do đó d1 song song hoặc trùng với d2.
Lấy điểm M(1; 0; −2) d1. Thay M vào d2 ta được: \(\frac{{1 + 2}}{{ - 2}} = \frac{{0 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2}\) (vô lí).
Vậy d1 // d2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\). Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?
Vuông góc nhưng không cắt nhau;
Cắt nhau nhưng không vuông góc;
Vừa cắt nhau vừa vuông góc;
Không vuông góc và không cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Chọn M(1; 2; 3), N(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d1 và d2.
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Do \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\) nên d1 d2.
Mặt khác \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 0\) nên d1 cắt d2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{1 - z}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = 1 + 6t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
d và d' trùng nhau;
d và d' chéo nhau;
d và d' song song với nhau;
d và d' cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;3;2} \right)\) và đi qua điểm M(2; −4; 1).
Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {4;6;4} \right)\) và đi qua điểm M'(0; 1; −1).
Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương và M d' nên d và d' song song với nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(d':\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
d và d' trùng nhau;
d và d' chéo nhau;
d và d' song song với nhau;
d và d' cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4; - 2;4} \right)\).
Chọn M(1; −3; 4) d.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_2}} = - 2\overrightarrow {{u_1}} \\M \notin d'\end{array} \right. \Rightarrow d//d'\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 3t\\y = 8 + 4t\\z = 11 + 6t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t'\\y = 10 + 6t'\\z = 6 + t'\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
d và d' trùng nhau;
d và d' chéo nhau;
d và d' song song với nhau;
d và d' cắt nhau.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d đi qua M(6; 8; 11) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;6} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(7; 10; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {4;6;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 32;21;2} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;2; - 5} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right].\overrightarrow {MN} = - 32 + 42 - 10 = 0\).
Vậy d và d' cắt nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = 1\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\\z = t'\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;0;1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Do đó d1 và d2 chéo nhau hoặc cắt nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0\\ - t = 2\\1 = t'\end{array} \right.\) vô nghiệm. Do đó d1 và d2 chéo nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t'\\y = - 1 + 2t'\\z = 2 - 2t'\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
Ta có \(\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \) nên đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Lấy M(1; 2; 3) d1, thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d2 ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 = - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right.\) vô nghiệm. Vậy M d2 nên hai đường thẳng này song song.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t'\\y = 5 + 6t'\\z = 7 + 8t'\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;4} \right)\).
Đường thẳng d2 đi qua điểm B(3; 5; 7) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;6;8} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \\A \in {d_2}\end{array} \right.\) nên d1 ≡ d2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d1 đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;3} \right)\).
Đường thẳng d2 đi qua N(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;0} \right) \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 4 \ne 0\).
Nên suy ra d1 và d2 chéo nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z - 7}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 vuông góc d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d1 đi qua A(1; 3; 7) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4;1} \right)\).
Đường thẳng d2 đi qua B(6; −2; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương
Có \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{u_2}} \right] = 0\) nên d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng.
Mà \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 8 \ne 0\). Do đó d1 và d2 cắt nhau.
