10 bài tập Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế có lời giải
10 câu hỏi
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng có phương trình \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\) và hồng tâm A(8; −19; 6m + 4). Hỏi m bằng bao nhiêu để vận động viên đó bắn trúng hồng tâm.
m = 6;
m = −6;
m = 3;
m = −3.
Đáp án đúng là: B
Để vận động viên đó bắn trúng hồng tâm thì trục d phải đi qua hồng tâm.
Thay điểm A(8; −19; 6m + 4) vào phương trình trục d ta được:
\(\frac{{8 - 1}}{1} = \frac{{ - 19 - 2}}{{ - 3}} = \frac{{6m + 4 - 3}}{{ - 5}}\) 6m = −36 m = −6.
Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm A(−2; 1; 5) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0; - 2;6} \right)\) với tốc độ là 4 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M. Gọi tọa độ M(a; b; c). Tính a + 3b + c.
6;
−6;
3;
−3.
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường cáp là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\).
Sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M thì AM = 4.5 = 20 (m).
Vì M d M(−2; 1 – 2k; 5 + 6k) nên suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)\).
Do 2 vectơ \(\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u \) cùng hướng nên k > 0.
Mà AM = 20 \(\sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20\) 40k2 = 400 \( \Leftrightarrow k = \pm \sqrt {10} \).
Vì k > 0 \(k = \sqrt {10} \).
Vậy tọa độ \(M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\).
Khi đó a + 3b + c = \( - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một Cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) kết thúc tại điểm B có hoành độ xB = 550 chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\). Tính độ dài đường cáp AB.
840;
830;
820;
810.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng AB đi qua điểm A(10; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).
Ta có \(B\left( {550;{y_B};{z_B}} \right)\) nằm trên đường thẳng AB.
Theo giải thiết ta có xB = 550 nên \(\frac{{550 - 10}}{2} = \frac{{{y_B} - 3}}{{ - 2}} = \frac{{{z_B}}}{1}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} = - 537\\{z_B} = 270\end{array} \right.\).
Vậy B(550; −537; 270).
Do đó \(AB = \sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{\left( {270 - 0} \right)}^2}} = 810\).
Trong không gian Oxyz, một quả tên lửa được phóng ra từ bệ phóng đặt tại điểm A(2; 1; 3) và trong 5 giây, tên lửa chuyển động với vận tốc không đổi, vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {2;4;5} \right)\). Mục tiêu nào sau đây nằm trên quỹ đạo chuyển động của tên lửa?
M(4; 5; 8);
N(4; 5; −8);
P(2; 1; 0);
Q(−4; 5; 2).
Đáp án đúng là: A
Phương trình quỹ đạo chuyển động của tên lửa là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\).
Vì M(4; 5; 8) thuộc phương trình đường thẳng nên mục tiêu nằm trên quỹ đạo chuyển động của tên lửa.
Anh Hùng là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Hùng đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ (200; 685; 436) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ (640; 550; 474). Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là (420; 617,5; 450). Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Hùng có ngắm thấy con gà lôi tía này không?
Điểm C không thuộc, anh Hùng nhìn thấy con gà;
Điểm C thuộc, anh Hùng nhìn thấy con gà;
Điểm C không thuộc, anh Hùng không nhìn thấy con gà;
Điểm C thuộc, anh Hùng nhìn thấy con gà.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng AB đi qua điểm A(200; 685; 436) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {440; - 135;38} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 200 + 440t\\y = 685 - 135t\\z = 436 + 38t\end{array} \right.\).
Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AB ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}420 = 200 + 440t\\617,5 = 685 - 135t\\450 = 436 + 38t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{2}\\t = \frac{7}{{19}}\end{array} \right.\).
Hệ này vô nghiệm nên điểm C không thuộc đường ngắm AB, anh Hùng ngắm thấy con gà lôi tía này.
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(2; 1; −1) và trong 3 giây đầu đạn đi với vận tốc không đổi, vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {1;3; - 2} \right)\). Hỏi viên đạn bắn trúng mục tiêu nằm ở điểm nào sau đây?
M(4; 0; −2);
N(−1; 1; −3);
P(4; 7; −5);
Q(3; 9; −6).
Đáp án đúng là: C
Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm M, N, Q không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.
Thay tọa độ điểm P vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\). Vậy viên đạn bắn trúng mục tiêu đặt ở điểm P.
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz cho biết phương trình trục d của mũi khoan và một đường rãnh d' trên vật cần khoan (tham khảo hình) lần lượt là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4k\\y = 2 + 2k\\z = 6\end{array} \right.\). Tọa độ giao điểm của d và d' là M(a; b; c). Tính S = a + b + c.
3;
6;
9;
10.
Đáp án đúng là: C
Vì M là giao điểm của d và d' nên ta có \(d':\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4k\\2 = 2 + 2k\\3t = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\k = 0\end{array} \right.\) M(1; 2; 6).
Vậy S = 1 + 2 + 6 = 9.
Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 0; 3) và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\). Hai cột trục cáp treo đặt tại điểm B, C biết xB = 20; yC = 120. Thời gian cabin đi từ điểm B đến điểm C là 55 giây. Hỏi vận tốc của cabin bằng bao nhiêu m/s?
3;
6;
9;
10.
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường cáp treo là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\).
Với xB = 20 B(20; 10; 8); yC = 120 C(130; 120; 63).
Do đó \(BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165\).
Vậy vận tốc của cabin đi là v = 165 : 55 = 3 (m/s).
Trong không gian Oxyz một cabin cáp trên được đặt xuất phát tại điểm A(3; 4; 20) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2;2} \right)\) với tốc độ 5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Sau 30 giây di chuyển cáp treo dừng lại tại điểm M(a; b; c). Tính a + b + c.
53;
104;
120;
277.
Đáp án đúng là: D
Phương trình tham số của đường cáp là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + 2t\\z = 20 + 2t\end{array} \right.\).
Sau 30 giây cáp treo đến điểm M(3 + t; 4 + 2t; 20 + 2t).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {t;2t;2t} \right)\)cùng hướng với \(\overrightarrow u \) và AM = 5.30 = 150 nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}t > 0\\\sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 150\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 0\\3t = 150\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = 50\).
Do đó M(53; 104; 120). Suy ra a + b + c = 277.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với tốc độ là 4,5 m/s. Sau thời gian 180 giây, Cabin dừng ở điểm B. Tung độ của điểm B là
550;
270;
207;
−537.
Đáp án đúng là: D
Phương trình tham số của đường cáp là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\).
Sau 180 giây, ta có AB = 4,5.180 = 810 mét.
Gọi B(10 + 2t; 3 – 2t; t).
Ta có AB = 810 \( \Leftrightarrow \sqrt {4{t^2} + 4{t^2} + {t^2}} = 810 \Leftrightarrow 3t = 810 \Leftrightarrow t = 270\).
Tung độ của điểm B là 3 – 2.270 = −537.
