10 Bài tập Tính độ dài của tổng và hiệu hai hay nhiều vectơ (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD tâm I, có cạnh bằng a. Tính AB→+AD→.
a2;
a;
2a;
a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: AB→+AD→=AC→⇒AB→+AD→=AC→=AC.
Xét tam giác ADC vuông tại D (do ABCD là hình vuông) có:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ACD, ta có:
AC2 = AD2 + CD2 = a2 + a2 = 2a2 ⇔ AC = a2
Vậy AB→+AD→=a2.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a. Độ dài của vectơ a→=AB→+AC→ là:
a2;
a22;
2a;
a
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vẽ hình bình hành ABEC, theo quy tắc hình bình hành, ta có: AB→+AC→=AE→.
Do ABC là tam giác vuông cân cạnh AB = a nên ABEC là hình vuông cạnh a.
Xét tam giác ABE vuông tại B
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
AE2 = AB2 + BE2 = a2 + a2 = 2a2 ⇔ AE = a2
Vậy a→=AB→+AC→=a2.
Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB = 2. Tính AB→−AC→.
3
1
2
4
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: AB→−AC→=CB→⇒AB→−AC→=CB→=CB.
Xét tam giác ABC vuông tại C
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
AB2 = BC2 + CA2
Mà BC = CA nên BC2 = CA2 = AB22=222=1
⇔ CB = CA = 1
Vậy AB→−AC→ = 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ u→=CA→+AB→ bằng:
2
213;
5
13.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Xét tam giác ABC vuông tại A
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25 ⇔ BC = 5
Ta có: CA→+AB→=CB→⇒CA→+AB→=CB→=CB=5.
Vậy u→=5.
Cho tam giác ABC có: AB = AC = a và BAC^=120°. Ta có AB→+AC→ = ?
a3;
a;
a2;
2a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Dựng hình bình hành ABDC.
Do tam giác ABC cân có: AB = AC = a nên ABDC là hình thoi cạnh a.
Gọi E là giao điểm hai đường chéo AD và BC của hình thoi.
Có BAC^=120°⇒CAE^=60° (đường chéo của hình thoi cũng là tia phân giác của các góc ở đỉnh).
Xét tam giác AEC vuông tại E (do trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau) có:
cosCAE^=AEAC⇒AE=AC.cosCAE^=a.cos60°=a2.
Lại có: AD = 2AE = 2.a2=a.
Theo quy tắc hình bình hành ta có: AB→+AC→=AD→⇒AB→+AC→=AD→=AD=a.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính CA→−HC→.
a2
3a2
23a3
a72
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có: CA→−HC→=CA→+CH→
Dựng hình bình hành CAEH.
Do tam giác ABC đều nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Do đó, AH vuông góc với BC ⇒AHB^=90°.
Mà AE // CH (do CAEH là hình bình hành)
Do đó, AH vuông góc với AE ⇒HAE^=90°.
Vậy AEBH là hình chữ nhật.
Ta có: CH = BH = BC2=a2.
Xét tam giác CHA vuông tại H
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
AC2 = AH2 + CH2 ⇔ AH2 = AC2 – CH2 = a2−a22=3a24 ⇒ AH=a32.
⇒ EB=AH=a32 (do AEBH là hình chữ nhật)
Xét tam giác CBE vuông tại B
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
CE2 = BC2 + BE2= a2+a322=74a2 ⇒ CE=a72.
Theo quy tắc hình bình hành: CA→+CH→=CE→.
⇒CA→−HC→=CA→+CH→=CE→=CE=a72.
Độ dài của vectơ x→=IA→−IB→ với I là trung điểm của đoạn thẳng AB = 4 là:
2
4
3
6
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: IA→−IB→=IA→+BI→=BI→+IA→=BA→
⇒IA→−IB→=BA→=AB=4.
Vậy x→=4.
Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB→−DA→.
a2;
a;
2a2;
2a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: AB→−DA→=AB→+AD→=AC→ (áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông ABCD).
Xét tam giác ADC vuông tại D
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = (2a)2 + (2a)2 = 8a2 ⇒ AC = 2a2
Vậy AB→−DA→=2a2.
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2, có tâm O. Khi đó ta tính được BO→−BC→=a2. Tính giá trị biểu thức A = 2a2 – 5a.
2;
22;
– 3;
0
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: BO→−BC→=CO→.
Xét tam giác ADC vuông tại D
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = 22 + 22 = 8 ⇒ AC = 22
Do ABCD là hình vuông nên ta có: OA = OB = OC = OD = AC2=222=2
⇒BO→−BC→=CO→=CO=2.
Theo bài ra ta có BO→−BC→=a2.
Do đó, a2=2⇔a=1.
Vậy A = 2a2 – 5a = 2 . 12 – 5 . 1 = 2 – 5 = – 3.
Cho hình vuông ABCD cạnh 2, tâm O. Tính độ dài của vectơ y→ với y→=BO→−BC→+OC→. Khẳng định nào sau đây là đúng?
y→= 2;
y→= 22;
y→= 2;
y→= 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có: BO→−BC→+OC→=BO→+CB→+OC→=BO→+OC→+CB→=BO→+OB→=0→.
Do đó, BO→−BC→+OC→ = 0.
Vậy y→ = 0.
