10 bài tập Tính diện tích mặt ngoài, thể tích của hình hỗn hợp có liên quan đến hình trụ, hình nón có lời giải
10 câu hỏi
Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15 cm, người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 640π cm3.
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
136π cm2.
120π cm2.
272π cm2.
163π cm2.
Đáp án đúng là: A
Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr2h.
Thể tích hình nón là: V1 = \[\frac{1}{3}\]πr2h.
Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V1 = πr2h – \[\frac{1}{3}\]πr2h = \[\frac{2}{3}\]πr2h.
Mà thể tích phần còn lại là 640π cm3 và chiều cao là 15 cm.
Suy ra \[\frac{2}{3}\]πr2.15 = 640π suy ra r = 8 (cm).
Độ dài đường sinh là: l = \[\sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {{{15}^2} + {8^2}} = 17\]
Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = πrl = 8.17.π = 136π (cm2).
Tính diện tích xung quanh của khúc gỗ hình nón.
4π cm2.
\[4\sqrt {2385} \] cm2.
\[4\sqrt {2385} \pi \] cm2.
2385π cm2.
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr2h.
Thể tích hình nón là: V1 = \[\frac{1}{3}\]πr2h.
Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V1 = πr2h – \[\frac{1}{3}\]πr2h = \[\frac{2}{3}\]πr2h.
Mà thể tích phần còn lại là 960π cm3 và chiều cao là 24 cm.
Suy ra \[\frac{2}{3}\]πr2.24 = 960π suy ra r = \[2\sqrt {15} \] (cm).
Độ dài đường sinh của hình nón là: l = \[\sqrt {60 + {{24}^2}} = \sqrt {636} \] (cm)
Diện tích xung quanh của khúc gỗ hình nón là:
Sxq = πrl = π. \[2\sqrt {15} \].\[\sqrt {636} \] = 4π\[\sqrt {2385} \] (cm2).
Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
960π cm3.
720π cm3.
1920π cm3.
1440π cm3.
Đáp án đúng là: D
Nhận thấy hình nón có bán kính đáy và chiều cao bằng bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Do đó, thể tích hình trụ là: V = πr2h.
Thể tích hình nón là: V1 = \[\frac{1}{3}\]πr2h.
Suy ra thể tích phần gỗ bỏ đi là: V – V1 = πr2h – \[\frac{1}{3}\]πr2h = \[\frac{2}{3}\]πr2h.
Mà thể tích phần còn lại là 960π cm3 và chiều cao là 24 cm.
Suy ra \[\frac{2}{3}\]πr2.h = 960π hay πr2.h = 960π : \[\frac{3}{2} = 1440\pi \] (cm3).
Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1, h1, r2, h2 thỏa mãn r2 = 2r1, h1 = 2h2 (hình vẽ). Biết rằng thể tích của hình nón (N) bằng 20 cm3.
Tính thể tích của toàn bộ khối đồ chơi.
30 cm3.
50 cm3.
60 cm3.
90 cm3.
Đáp án đúng là: B
Ta có, thể tích khối nón là: Vnón = \[\frac{1}{3}\pi .r_2^2.{h_2} = 20\] suy ra \[\pi .r_2^2.{h_2} = 60\].
Mà , ta có: r2 = 2r1, h1 = 2h2 nên \[\pi .r_2^2.{h_2} = \pi {\left( {2{r_1}} \right)^2}.\frac{{{h_1}}}{2} = 2\pi r_1^2{h_1} = 60\].
Do đó, thể tích khối hình trụ là Vtrụ = \[\pi r_1^2{h_1}\] = 60 : 2 = 30 (cm3).
Do đó, thể tích toàn bộ khối đồ chơi là 30 + 20 = 50 (cm3).
Tính thể tích phần bị gọt bỏ đi.
36π cm3.
12π cm3.
20π cm3.
24π cm3.
Đáp án đúng là: D
Thể tích khối trụ (T) là: VT = πr2.h = π.32.4 = 36π (cm3).
Thể tích khối xốp hình nón là Vn = \[\frac{1}{3}\]πr2h = \[\frac{1}{3}\].π.32.4 = 12π (cm3).
Vậy thể tích phần xốp bị gọt bỏ là: 36π − 12π =24π (cm3).
Nếu tăng gấp đôi bán kính R thì thể tích hình trụ (T) và hình nón (N) thay đổi như thế nào?
Thể tích hình nón và hình trụ đều tăng lên 4 lần.
Thể tích hình nón và hình trụ đều tăng lên 2 lần.
Thể tích hình nón tăng 2 lần và thể tích hình trụ tăng 4 lần.
Thể tích hình nón tăng 4 lần và thể tích hình nón tăng 2 lần.
Đáp án đúng là: A
Thể tích hình trụ với bán kính R là: VT = OO'.π.R2 .
Thể tích hình trụ với bán kính R' là VT' = OO'.π.(2R)2 = 4VT.
Do đó, khi tăng gấp đôi bán kính R thì thể tích hình trụ tăng lên 4 lần.
Thể tích hình nón với bán kính R là: Vn = \[\frac{1}{3}\] OO'.π.R2
Thể tích hình nón với bán kính R' là: Vn' = \[\frac{1}{3}\] OO'.π.(2R)2 = 4Vn.
Do đó, khi tăng gấp đôi bán kính R thì diện tích hình nón cũng tăng 4 lần.
Thể tích của hình nón là
405 cm3.
405π cm3.
324 cm3.
\[324\]π cm3.
Đáp án đúng là: D
Bán kính đáy của hình nón là: 18 : 2 = 9 cm.
Ta có độ dài đường sinh là 15 cm.
Do đó, đường cao của hình nón là: h = \[\sqrt {{l^{\rm{?}}} - {r^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = 12\] (cm).
Thể tích của hình nón là: \[\frac{1}{3}\].π.r2.h = 324π (cm3)
Thể tích khối nón bị cắt là
\[\frac{{81}}{2}\] cm3.
162π cm3.
162 cm3.
\[\frac{{81\pi }}{2}\] cm3.
Đáp án đúng là: D
Chiều cao của hình nón bị cắt là: 12 : 2 = 6 (cm).
Bán kính của hình nón bị cắt cũng bằng \[\frac{1}{2}\] bán kính hình nón ban đầu và bằng:
9 : 2 = 4,5 (cm)
Thể tích của hình nón bị cắt là \[\frac{1}{3}\].π.4,52.6 = \[\frac{{81\pi }}{2}\] cm3.
Khối trụ có đáy là hình tròn (I, IB) chiều cao IO nên có thể tích là
\[\frac{{81\pi }}{2}\] cm3.
\[\frac{{243}}{2}\] cm3.
486π cm3.
\[\frac{{243\pi }}{2}\] cm3.
Đáp án đúng là: D
Khối trụ có đáy là hình tròn (I, IB) chiều cao IO có bán kính là r = 4,5 cm.
Chiều cao IO = 12 – 6 = 6 (cm).
Do đó, diện tích hình trụ đó là: V = πr2h = π.4,52.6 = \[\frac{{243\pi }}{2}\] cm3.
Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lặp đặt như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng \[\frac{1}{{24}}\] chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất.
Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h.
h.
\[\frac{h}{3}\].
\[\frac{h}{2}\].
2h.
Đáp án đúng là: C
Thể tích chất lỏng V = πr2.\[\frac{1}{{24}}\].h = \[\frac{1}{{24}}\]πr2h.
Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là V' = \[\frac{1}{3}\]πr'2h'.
Mà \[\frac{{r'}}{r} = \frac{{h'}}{h}\] nên \[r' = \frac{{h'}}{h}.r\].
Do đó, \[V' = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{{h'}}{h}.r} \right)^2}.h' = \frac{1}{3}\pi {r^2}\frac{{{{h'}^3}}}{{{h^2}}}\].
Theo đề bài, ta có: V' = V.
Do đó, \[\frac{1}{{24}}\]πr2h = \[\frac{1}{3}\pi {r^2}\frac{{{{h'}^3}}}{{{h^2}}}\] hay h' = \[\frac{h}{2}\].
