10 Bài tập Tìm và chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh từ đó chứng minh tính chất khác (có lời giải)

+ Xét tam giác ABO và tam giác CBO có:

AO = CO, \(\widehat {AOB} = \widehat {COB}\left( { = 90^\circ } \right),\) BO là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ABO = \(\Delta\)CBO (c.g.c)

+ Xét \(\Delta\)AOD và \(\Delta\)COD có:

AO = CO, \(\widehat {AOD} = \widehat {COD}\left( { = 90^\circ } \right),\) OD là cạnh chung

Do đó \(\Delta\) AOD = \(\Delta\)COD (c.g.c)

+ Vì \(\Delta\)ABO = \(\Delta\)CBO (chứng minh trên)

Nên \(\widehat {ABO} = \widehat {CBO}\) (hai góc tương ứng) và AB = CB (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)CBD có:

AB = CB (chứng minh trên);

\(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (do \(\widehat {ABO} = \widehat {CBO}\))

BD là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)CBD (c.g.c)

Vậy có 3 cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)MNP có:

AB = NP (giả thiết),

\(\widehat B = \widehat N\left( { = 55^\circ } \right)\) (giả thiết),

BC = NM (giả thiết),

Do đó \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)PNM (c.g.c)

Suy ra \(\widehat A = \widehat P = 50^\circ \) (hai góc tương ứng)

Vậy \(\widehat P = 50^\circ .\)

Vì tia Ot là tia phân giác của góc xOy nên \(\widehat {xOt} = \widehat {yOt}\) (tính chất tia phân giác của một góc)

Mà \(\widehat {xOt} + \widehat {xOC} = 180^\circ \) (tính chất hai góc kề bù) và \[\widehat {yOt} + \widehat {yOC} = 180^\circ \] (tính chất hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {xOC} = \widehat {yOC}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\)

Xét tam giác AOC và tam giác BOC có:

OA = OB (giả thiết),

\(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\) (chứng minh trên),

OC là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)OAC = \(\Delta\)OBC (c.g.c)

Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {OCA} = \widehat {OCB}\) (hai góc tương ứng)

Nên tia CO là tia phân giác của \(\widehat {ACB}.\)

Vậy ta chọn phương án D.

Tam giác ABC có AB = AC = BC (giả thiết) nên là tam giác đều

Do đó \(\widehat A = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

CE là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) (giả thiết)

Nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\) (tính chất tia phân giác)           (1)

Xét tam giác ACE và tam giác BCE có:

AC = BC (giả thiết),

\(\widehat {ACE} = \widehat {ECB}\) (chứng minh trên),

CE là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ACE = \(\Delta\)BCE (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AEC} = \widehat {BEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AEC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (tính chất hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AEC} = \widehat {BEC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Do đó CE \(\bot\) AB. Nên A là khẳng định đúng.

Mà BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)

Nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\) (tính chất tia phân giác)          (2)

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

AB = BC (giả thiết),

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}\) (chứng minh trên),

BD là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)CBD (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 180^\circ \) (tính chất hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Do đó BD \(\bot\) AC. Nên B là khẳng định sai và C là khẳng định đúng.

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\). Nên D là khẳng định đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OH là cạnh chung,

\(\widehat {OHA} = \widehat {OHB}\left( { = 90^\circ } \right),\)

AH = BH (giả thiết)

Do đó \(\Delta\)OAH = \(\Delta\)OBH (c.g.c)

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng)           (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta\)OKA = \(\Delta\)OKC (c.g.c)

Suy ra OA = OC (hai cạnh tương ứng)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC. Do đó A là khẳng định đúng.

Vì \(\Delta\)OAH = \(\Delta\)OBH (c.g.c) (chứng minh trên)

Nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra OH là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\)

Do đó \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\)   (3)

Tương tự ta cũng có OK là tia phân giác của \(\widehat {COA}\)

Do đó \(\widehat {KOA} = \widehat {COK} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\)   (4)

Từ (3) và (4) ta có: \(\widehat {KOA} + \widehat {AOH} = \frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {AOB}\)

Hay \(\widehat {HOK} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {AOB}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {COB}\). Do đó B là khẳng định đúng

Vậy ta chọn phương án C.

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) nên AB = BC (tính chất hình vuông)

Do đó AM + MB = BN + NC

Mà AM = BN (giả thiết) nên MB = NC.

Xét tam giác MBN và tam giác NCP có:

BN = CP (giả thiết),

\(\widehat B = \widehat C\) (\( = 90^\circ ,\) tính chất hình vuông),

MB = NC (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)NCP (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BMN} = \widehat {CNP}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BMN} + \widehat {BNM} = 90^\circ \) (trong tam giác BMN vuông tại B, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó \(\widehat {BNM} + \widehat {CNP} = 90^\circ \)

Mặt khác \(\widehat {BNM} + \widehat {MNP} + \widehat {CNP} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MNP} = 180^\circ - \left( {\widehat {BNM} + \widehat {CNP}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Vậy \(\widehat {MNP} = 90^\circ .\)