10 Bài tập Chứng minh các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau, tính độ dài cạnh và số đo góc (có lời giải)

Để $∆$ABC = $∆$DEF theo trường hợp góc – cạnh – góc mà \(\widehat A = \widehat D,\widehat B = \widehat E\) nên điều kiện còn thiếu là điều kiện về cạnh, sao cho hai cặp góc bằng nhau là hai cặp góc kề với cặp cạnh này, đó là AB = DE.

Vậy ta chọn phương án A.

Xét tam giác MNP và tam giác GHK có:

\(\widehat M = \widehat G\) (giả thiết),

MN = GH (giả thiết),

\(\widehat N = \widehat H\) (giả thiết),

Do đó $∆$MNP = $∆$GHK (g.c.g)

Suy ra \(\widehat P = \widehat K\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat P = 50^\circ \) (giả thiết), do đó \(\widehat K = 50^\circ .\)

Vậy ta chọn phương án B.

Xét $∆$DEG và $∆$HKI có:

\(\widehat D = \widehat K\) (giả thiết),

DE = KI (giả thiết),

\(\widehat E = \widehat I\)(giả thiết),

Do đó $∆$DEG và $∆$KIH (g.c.g)

Suy ra \(\widehat G = \widehat H\) (hai góc tương ứng)

Ta lại có: \(\widehat D + \widehat E + \widehat G = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác DEG)

Suy ra \(\widehat G = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat E} \right) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)

Vậy \(\widehat H = 80^\circ .\)

Vì AB // DK nên \(\widehat {BAD} = \widehat {KDA}\)(hai góc so le trong)

Vì DB // AK nên \(\widehat {KAD} = \widehat {BDA}\) (hai góc so le trong)

Xét $∆$ABD và $∆$DKA có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {KDA}\)(chứng minh trên),

AD là cạnh chung,

\(\widehat {BDA} = \widehat {KAD}\) (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABD = $∆$DKA (g.c.g)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DKA}\) (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự ta cũng có: DABK = DDKB (g.c.g)

Suy ra \(\widehat {BAK} = \widehat {KDB}\) (hai góc tương ứng)

Vậy ta chọn phương án C.

Xét $∆$OMG và $∆$OMH có:

\[\widehat {GOM} = \widehat {HOM}\] (OM là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\)),

OM là cạnh chung,

\(\widehat {OMG} = \widehat {OMH}\left( { = 90^\circ } \right),\)

Do đó $∆$OMG = $∆$OMH (g.c.g)

Suy ra:

+) OG = OH, MG = MH (các cặp cạnh tương ứng)

+) \(\widehat {MGO} = \widehat {MHO}\) (hai góc tương ứng)

Vậy ta chọn phương án D.

Vì AB // CD (giả thiết) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) và \(\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (các cặp góc so le trong)

Xét $∆$OAB và $∆$OCD có:

\[\widehat {BAO} = \widehat {DCO}\] (do \[\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\]),

AB = CD (giả thiết),

\(\widehat {ABO} = \widehat {CDO}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\))

Do đó $∆$OAB = $∆$OCD (g.c.g)

Suy ra OA = OC và OB = OD (các cặp cạnh tương ứng)

Xét $∆$AOD và $∆$COB có:

OA = OC (chứng minh trên),

\(\widehat {AOD} = \widehat {COB}\) (hai góc đối đỉnh),

OD = OB (chứng minh trên)

Do đó $∆$AOD = $∆$COB (g.c.g)

Suy ra AD = CB (hai cạnh tương ứng)

Vậy ta chọn phương án C.