10 bài tập Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng có lời giải

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ – 3x² – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] , ta có: f'(x) = 3x² – 6x – 9.

Có f'(x) = 0 3x² – 6x – 9 = 0 x = −1 [−2; 2] hoặc x = 3 [−2; 2]

Có f(−2) = 8; f(−1) = 15; f(2) = −12.

Suy ra \[\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]\,} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 15\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2\) (vì x (1; 5)).

Khi đó y(1) = 5; y(2) = 4 và \(y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4\) tại x = 2.

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho liên tục trên [0; 3]

Ta có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với ∀x [0; 3] .

Có y (0) = −1; \(y\left( 3 \right) = \frac{1}{2}\). Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y(0) = - 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: y' = −2sin2x; y' = 0 sin2x = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì x [0; π] \(x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2};\pi } \right\}\).

Do đó: y(0) = −2; \(y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 4;y\left( \pi \right) = - 2\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = - 4\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: f'(x) = (2x – 5)e^2x; f'(x) = 0 \(x = \frac{5}{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

\(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất là \[\frac{1}{2}\] khi x = 1.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 2^xln2 – 4ln2; y' = 0 2^xln2 – 4ln2 = 0 x = 2.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] bằng 4 – 8ln2 tại x = 2.

Khi đó: a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14 .

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = [−1; 1].

Ta có: \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}\).

Có y' = 0 \(\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow x = 0\).

Khi đó: \(y\left( { - 1} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = \sqrt 2 \).

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x – 1)² + (x + 3)² = 2x² + 4x + 10.

Ta có y' = 4x + 4 ; y' = 0 x = −1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8.

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞).

Có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); f'(x) = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3\).