10 Bài tập Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho ∆ABC vuông tại A và ∆MNP vuông tại M có AB = MN, CB = PN. Biết AC = 5 cm. Tính độ dài MP.
4 cm;
5 cm;
6 cm;
7 cm.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ABC và ∆MNP, có:
\[\widehat {BAC} = \widehat {NMP} = 90^\circ \].
AB = MN (giả thiết).
CB = PN (giả thiết).
Do đó ∆ABC = ∆MNP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Ta suy ra AC = MP (hai cạnh tương ứng).
Khi đó ta có MP = AC = 5 cm.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC có AB = AC, đường cao AH. Kết luận nào sau đây sai?
∆AHB = ∆AHC theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn;
AH là phân giác \[\widehat {BAC}\];
BH = CH;
\[\widehat {ABH} = \widehat {ACH}\].
Đáp án đúng là: A
Ta xét từng đáp án:
Đáp án A:
Xét ∆AHB và ∆AHC, có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \].
AH là cạnh chung.
AB = AC (giả thiết).
Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Ta suy ra đáp án A sai.
Đến đây ta có thể chọn đáp án A.
Đáp án B:
Ta có ∆AHB = ∆AHC (chứng minh trên).
Ta suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\] (cặp góc tương ứng).
Do đó AH là phân giác \[\widehat {BAC}\].
Vậy đáp án B đúng.
Đáp án C:
Ta có ∆AHB = ∆AHC (chứng minh trên).
Ta suy ra BH = CH (cặp cạnh tương ứng).
Do đó đáp án C đúng.
Đáp án D:
Ta có ∆AHB = ∆AHC (chứng minh trên).
Ta suy ra \[\widehat {ABH} = \widehat {ACH}\] (cặp góc tương ứng).
Do đó đáp án D đúng.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC có AI, BH, CK là các đường cao (I ∈ BC, K ∈ AB, H ∈ AC). Biết ∆ABH = ∆ACK. Kết luận nào sau đây đúng?
\[\widehat {HBA} \ne \widehat {KCA}\];
HB ≠ KC;
\[\widehat {ABH} = \widehat {KAC}\];
CH = BK.
Đáp án đúng là: D
Ta có ∆ABH = ∆ACK (giả thiết).
Ta suy ra \[\widehat {HBA} = \widehat {KCA}\]; HB = KC (cặp góc, cặp cạnh tương ứng).
Do đó đáp án A, B sai.
Ta có: ∆ABH = ∆ACK (giả thiết).
Mà \[\widehat {ABH},\,\,\widehat {KAC}\] không phải cặp góc tương ứng.
Do đó \[\widehat {ABH} \ne \widehat {KAC}\].
Suy ra đáp án C sai.
Ta có: ∆ABH = ∆ACK (giả thiết).
Ta suy ra AH = AK và AB = AC (các cặp góc tương ứng).
Do đó AB – AK = AC – AH.
Suy ra BK = CH (vì K ∈ AB, H ∈ AC).
Do đó đáp án D đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA = 5 cm. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại H. Gọi E là giao điểm của DH và AB. Biết CD = 3 cm. Độ dài cạnh BE bằng
3 cm;
5 cm;
8 cm;
10 cm.
Đáp án đúng là: C
Xét ∆BAH và ∆BDH, có:
\[\widehat {BAH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \].
BH là cạnh chung.
BA = BD (giả thiết).
Do đó ∆BAH = ∆BDH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Ta suy ra AH = DH (cặp cạnh tương ứng).
Xét ∆AHE và ∆DHC, có:
\[\widehat {HAE} = \widehat {HDC} = 90^\circ \].
AH = DH (chứng minh trên).
\[\widehat {AHE} = \widehat {DHC}\] (2 góc đối đỉnh).
Do đó ∆AHE = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Ta suy ra AE = DC.
Ta có BA = BD (giả thiết) và AE = DC (chứng minh trên).
Suy ra BA + AE = BD + DC.
Do đó BE = BD + DC = 5 + 3 = 8 (cm).
Vậy ta chọn đáp án C.
Tìm x trong hình bên.
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆EFG và ∆MNP, có:
\[\widehat {{\rm{GEF}}} = \widehat {PMN} = 90^\circ \].
GE = PM (giả thiết).
GF = PN (giả thiết).
Do đó ∆EFG = ∆MNP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Ta suy ra \[\widehat {{\rm{EGF}}} = \widehat {MPN}\] (cặp góc tương ứng).
Hay \[\widehat {{\rm{EGF}}} = x\].
∆EFG vuông tại E: \[\widehat {{\rm{EGF}}} + \widehat {EFG} = 90^\circ \] (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra \[\widehat {EGF} = 90^\circ - \widehat {EFG} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].
Do đó x = 30°.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC nhọn và ∆ABC = ∆DEF. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) và DK ⊥ EF (K ∈ EF). Kết luận nào sau đây là đúng?
AH = DK;
BH = EK;
\[\widehat {BAH} = \widehat {EDK}\];
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Xét ∆ABH và ∆DEK, có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \].
AB = DE (vì ∆ABC = ∆DEF).
\[\widehat {ABH} = \widehat {DEK}\] (vì ∆ABC = ∆DEF).
Do đó ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).
Ta suy ra AH = DK; BH = EK và \[\widehat {BAH} = \widehat {EDK}\] (các cặp cạnh và cặp góc tương ứng).
Do đó cả A, B, C đều đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC vuông tại A, tia phân giác \[\widehat B\] cắt AC tại D. Kẻ DE ⊥ BC tại E. Gọi H là giao điểm của BD và AE. Đường thẳng BH vuông góc với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.
AD;
AE;
AB;
Không có đường thẳng nào vuông góc với BH.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ABD và ∆EBD, có:
\[\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \].
BD là cạnh chung.
\[\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\] (BD là phân giác của \[\widehat {BAC}\]).
Do đó ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AB = BE (cặp cạnh tương ứng).
Xét ∆ABH và ∆EBH, có:
AB = BE (chứng minh trên).
BH là cạnh chung.
\[\widehat {ABH} = \widehat {EBH}\] (BD là phân giác của \[\widehat {BAC}\]).
Do đó ∆ABH = ∆EBH (cạnh – góc – cạnh).
Suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {BHE}\] (hai góc tương ứng)
Mà \[\widehat {AHB} + \widehat {BHE} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {BHE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].
Do đó BH ⊥ AE.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hình vẽ:
Kết luận nào sau đây sai?
E là trung điểm MN;
E là trung điểm AB;
\[\widehat {ANE} = \widehat {BME}\];
AE = ME.
Đáp án đúng là: D
Vì trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên ta có:
∆AEN vuông tại A: \[\widehat {AEN} + \widehat {ANE} = 90^\circ \] (1).
∆BEM vuông tại B: \[\widehat {BEM} + \widehat {BME} = 90^\circ \] (2).
Ta có \[\widehat {AEN} = \widehat {BEM}\] (2 góc đối đỉnh) (3).
Từ (1), (2), (3), ta suy ra \[\widehat {ANE} = \widehat {BME}\].
Do đó đáp án C đúng.
Xét ∆AEN và ∆BEM, có:
\[\widehat {NAE} = \widehat {MBE} = 90^\circ \].
AN = BM (giả thiết).
\[\widehat {ANE} = \widehat {BME}\] (chứng minh trên).
Do đó ∆AEN = ∆BEM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Ta có ∆AEN = ∆BEM (chứng minh trên).
Suy ra EN = EM (hai cạnh tương ứng).
Khi đó E là trung điểm MN.
Do đó đáp án A đúng.
Ta có ∆AEN = ∆BEM (chứng minh trên).
Suy ra AE = BE (hai cạnh tương ứng).
Khi đó E là trung điểm AB.
Do đó đáp án B đúng.
Đáp án D sai vì AE, ME không phải là cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác bằng nhau ∆AEN và ∆BEM.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC có M là trung điểm BC. Kẻ BE và CF lần lượt cùng vuông góc với AM ở E và F. Khi đó ta có BF song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.
CE;
MC;
AC;
AE.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆BME và ∆CMF, có:
BM = CM (M là trung điểm BC).
\[\widehat {BEM} = \widehat {CFM} = 90^\circ \].
\[\widehat {BME} = \widehat {CMF}\] (hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn).
Ta suy ra ME = MF (cặp cạnh tương ứng).
Xét ∆BMF và ∆CME, có:
MF = ME (chứng minh trên).
BM = CM (M là trung điểm BC).
\[\widehat {BMF} = \widehat {CME}\] (hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆BMF = ∆CME (cạnh – góc – cạnh).
Ta suy ra \[\widehat {MBF} = \widehat {MCE}\].
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Do đó ta có BF // CE.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC, \[\widehat B = 60^\circ \]. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Gọi D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Kẻ DE ⊥ BC (E ∈ BC) và DK ⊥ AH (K ∈ AH). Cho các khẳng định sau:
(I) BH = AK;
(II) HA = KD = HE.
Chọn phương án đúng:
Chỉ (I) đúng;
Chỉ (II) đúng;
Cả (I), (II) đều đúng;
Cả (I), (II) đều sai.
Đáp án đúng là: C
Xét ∆HAB và ∆KDA, có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {DKA} = 90^\circ \].
AB = AD (giả thiết).
\[\widehat {BAH} = \widehat {ADK}\] (cùng phụ với \[\widehat {KAD}\]).
Do đó ∆HAB = ∆KDA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra HA = KD và BH = AK (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó (I) đúng.
Ta có: KD ⊥ AH (giả thiết) và HE ⊥ AH (giả thiết).
Suy ra KD // HE.
Có \[\widehat {KDH},\,\,\widehat {EHD}\] ở vị trí so le trong.
Do đó \[\widehat {KDH} = \widehat {EHD}\].
Xét ∆KDH và ∆EHD, có:
\[\widehat {DKH} = \widehat {HED} = 90^\circ \].
HD là cạnh chung.
\[\widehat {KDH} = \widehat {EHD}\] (chứng minh trên).
Do đó ∆KDH = ∆EHD (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra KD = EH (hai cạnh tương ứng)
Mà HA = KD (chứng minh trên).
Do đó HA = KD = HE. Suy ra (II) đúng.
Vậy ta chọn đáp án C.
