10 bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm có lời giải
10 câu hỏi
Một chất điểm chuyển động theo quy luật S(t) = 1 + 3t2 – t3. Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu:
t = 2;
t = 1;
t = 3;
t = 4.
Đáp án đúng là: B
Ta có v(t) = S'(t) = −3t2 + 6t = −3(t2 – 2t + 1) + 3 = −3(t – 1)2 + 3 ≤ 3.
Dấu “=” xảy ra khi t = 1.
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi t = 1.
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
243 (m/s);
27 (m/s);
144 (m/s);
36 (m/s).
Đáp án đúng là: D
Ta có: v = s' = −t2 + 12t; v' = −2t + 12; v' = 0 t = 6.
Bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 6.
Giá trị lớn nhất là v(6) = 36 m/s.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S = - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?
88 m/s;
25 m/s;
100 m/s;
11 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có v = S' = −t2 + 8t + 9, t ∈ (0; 10).
Có v' = −2t + 8; v' = 0 t = 4 ∈ (0; 10).
Bảng biến thiên:
Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là 25 m/s tại t = 4.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng:
\(16\sqrt 3 \) cm;
\(4\sqrt 3 \)cm;
24 cm;
\(8\sqrt 3 \)cm.
Đáp án đúng là: A
Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 < a, b 
48>
Ta có: \(ab = 48 \Leftrightarrow b = \frac{{48}}{a}\). Chu vi: \(P\left( a \right) = 2\left( {a + \frac{{48}}{a}} \right)\).
Có \[P'\left( a \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{a^2}}}} \right);P'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4\sqrt 3 \].
Bảng biến thiên:
Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là \(16\sqrt 3 \).
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 15 cm × 24 cm. Người ta cắt bỏ 4 góc của tấm tôn 4 miếng hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Để thể tích của hình hộp đó lớn nhất thì độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng
3 cm;
4 cm;
5 cm;
2 cm.
Đáp án đúng là: A
Giả sử độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng
x (\[0 < x < \frac{{15}}{2}\]).
Khi đó hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x, chiều rộng bằng 15 – 2x và chiều dài bằng 24 – 2x.
Suy ra hình hộp chữ nhật có thể tích V = x(15 – 2x)(24 – 2x) = 4x3 – 78x2 + 360x.
Xét hàm f(x) = 4x3 – 78x2 + 360x trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\].
Có f'(x) = 12x2 – 156x + 360 = 0 x = 3 hoặc x = 10.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\] tại x = 3 hay hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất khi độ dài cạnh hình vuông của miếng tôn bị cắt bỏ bằng 3 cm.
Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều cao là 60 cm, thể tích 96000 cm3. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 đồng/m2. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá bằng
83200 đồng;
320000 đồng;
832000 đồng;
32000 đồng.
Đáp án đúng là: A
Gọi x (m), y (m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.
Theo giả thiết ta có 0,6xy = 0,096 \( \Rightarrow y = \frac{4}{{25x}}\).
Ta có diện tích mặt đáy là \(xy = x.\frac{4}{{25x}} = 0,16\).
Giá tiền làm kính mặt đáy là 0,16.100000 = 16000 đồng.
Diện tích xung quanh bể là 2x.0,6 + 2y.0,6 = \(1,2\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\).
Giá tiền làm kính các mặt xung quanh là \(1,2\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right).70000 = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right)\) (đồng).
Tổng chi phí là \(f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000 \ge 84000.2\sqrt {x.\frac{{0,16}}{x}} + 16000 = 83200\) đồng.
Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá bằng 83200 đồng.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân với nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức \(c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
4 giờ;
1 giờ;
3 giờ;
2 giờ.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = (0; +∞).
Có \(c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{t^2} + 1}}\); c'(t) = 0 t = 1 (vì t > 0).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua x điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là 6000 – 3x (nghìn đồng), x ∈ ℕ*, x < 2000 . Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?
100;
1000;
200;
2000.
Đáp án đúng là: B
Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập x chiếc điện thoại là f(x) = x(6000 – 3x).
Ta có: f'(x) = −6x + 6000. Khi đó, f'(x) = 0 x = 1000.
Bảng biến thiên của hàm số f(x) là:
Vậy đại lí nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với 3 000 000 (nghìn đồng).
Bạn Hoa cần gấp một hộp quà có dạng hình lăng trụ tứ giác đều với diện tích toàn phần là 200 cm2. Hộp quà mà bạn Hoa gấp được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu centimet khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
192;
129;
219;
291.
Đáp án đúng là: A
Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao hộp quà lần lượt là x (cm) và y (cm) (x > 0, y > 0).
Theo giả thiết, ta có: 2x2 + 4xy = 200 \( \Rightarrow y = \frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}\) và x < 10 (vì y > 0).</>
Xét hàm số \(V(x) = {x^2}\left( {\frac{{50}}{x} - \frac{x}{2}} \right) = 50x - \frac{1}{2}{x^3}\left( {0 < x < 10} \right)\)là thể tích của hộp quà mà bạn Hoa gấp được.
Ta có: \(V'\left( x \right) = 50 - \frac{3}{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{100}}{3}} \).
Bảng biến thiên của hàm số V(x) là:
Vậy bạn Hoa có thể gấp hộp quà có thể tích lớn nhất là \(V\left( {\sqrt {\frac{{100}}{3}} } \right) \approx 192(c{m^3}).\)
Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hàng một máy in trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho n máy in chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất.
5;
6;
7;
8.
Đáp án đúng là: A
Giả sử có n máy in thì chi phí cố định là 50n (n = {1; 2; 3; …; 8}).
Để in 50000 tờ cần \(\frac{{50000}}{{3600n}} = \frac{{125}}{{9n}}\) (giờ in).
Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n +10) nghìn đồng.
Khi đó tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:
\(f\left( n \right) = 50n + \frac{{10\left( {6n + 10} \right).125}}{{9n}} = \frac{{450{n^2} + 7500n + 12500}}{{9n}}\).
Để lãi là nhiều nhất thì tổng chi phí là thấp nhất, vậy ta tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí.
Thay các giá trị n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ta thấy giá trị nhỏ nhất là \(f\left( 5 \right) = \frac{{12250}}{9}\).
