10 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón có lời giải
10 câu hỏi
Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính khoảng 44 cm và cao 20 cm. Hỏi diện tích xung quanh của chiếc nón đó bằng bao nhiêu centimet vuông?
\[44\sqrt {221} \pi \] (cm2),
\[40\sqrt {221} \] (cm2).
\[44\sqrt {221} \] (cm2).
\[40\sqrt {221} \pi \] (cm2).
Đáp án đúng là: A
Bán kính đáy
của chiếc nón là: r = 44 : 2 = 22 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore,
ta có: BC2 = AB2 + CA2 = 202 + 222
suy ra BC = \[\sqrt {{{20}^2} + {{22}^2}} = 2\sqrt {221} \] (cm).
Độ dài đường sinh của hình nón là \[BC = 2\sqrt {221} \] cm.
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = πrl = π.22. \[2\sqrt {221} \] = \[44\pi \sqrt {221} \] (cm2) .
Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng muối thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng 0,9 m và đường kính đáy khoảng 1,6 m. Hỏi mỗi đống có bao nhiêu mét khối muối?
\[\frac{{24\pi }}{{25}}\] (cm3).
\[\frac{{24\pi }}{{125}}\] (m3).
\[\frac{{24\pi }}{5}\] (cm3).
\[\frac{{72\pi }}{{125}}\] (cm3).
Đáp án đúng là: B
Bán kính của mỗi đống muối này là: 1,6 : 2 = 0,8 (m).
Thể tích mỗi đống muối là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{\left( {0,8} \right)^2}.0,9 = \frac{{24\pi }}{{125}}\] (m3).
Để phủ kín mặt ngoài của chiếc mũ của chú Hề như hình b cần bao nhiêu centimet vuông giấy màu? (không tính phần mép dán và không phủ giấy lên phần vành mũ, kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
942,4 cm2.
942,5 cm2.
924, 4 cm2.
924,5 cm2.
Đáp án đúng là: B
Gọi h là chiều cao, r là bán kính đáy, l là đường sinh chiếc mũ.
Bán kính đáy chiếc mũ là: r = (26 – 3.2) : 2 = 10 (cm).
Mặt ngoài là diện tích xung quanh của chiếc mũ (không kể phần vành).
Do đó, Sxq = πrl = π.10.30 ≈ 942, 5 (cm2).
Hỏi thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề ở hình b bằng bao nhiêu centimet khối ?(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
3961,9 (cm3).
2961 cm3.
2962 cm3.
2961,9 cm3.
Đáp án đúng là: D
Chiều cao ở phần có dạng hình nón ở chiếc mũ chú hề là:
h = \[\sqrt {{{30}^2} - {{10}^2}} = 20\sqrt 2 \] (cm).
Thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề là:
V = \[\frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.10^2}.20\sqrt 2 \approx 2961,9\] (cm3).
Một chiếc nón có đường kính đáy bằng 28 cm và đường sinh bằng 30 cm. Tính diện tích lá dùng để làm nón, biết tỉ lệ hao hụt là 10% và lấy π = 3,14 cm2.
1 318,8 cm2.
1 450,68 cm2.
1 451 cm2.
1450 cm2.
Đáp án đúng là: B
Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy R = 28 : 2 = 14 (cm).
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = πrl = 3,14.14.30 = 1318,8 (cm2).
Vậy diện tích lá dùng để làm nón là:
110%.1318,8 = 1450,68 (cm2).
Một chiếc nón do một làng nghề ở Việt Nam sản xuất là hình nón có đường sinh bằng 30 cm, đường kính đáy bằng 40 cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón. Tính diện tích lá cần dùng làm 500 chiếc nón.
60 000π cm2.
600 000π cm2.
6 000π cm2.
300 000π cm2.
Đáp án đúng là: B
Bán kính đáy là: 40 : 2 = 20 (cm).
Diện tích xung quanh của chiếc nón là:
Sxq = πrl = π.20.30 = 600π (cm2).
Vì người ta cần dùng hai lớp lá để phủ mặt xung quanh nón nên diện tích lá cần dùng cho một chiếc nón là: 2.600π = 1200π (cm2).
Vậy diện tích lá cần dùng để làm 500 chiếc nón là:
1200π.500 = 600 000π (cm2).
Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1 kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là 6,13 m2. Hỏi nếu muốn làm ra 1 000 chiếc nón lá giống nhau có đường vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần bao nhiêu khối lượng lá? (coi mỗi chiếc nón có hình dạng là một hình nón, làm tròn đến hàng đơn vị).
50 kg.
51 kg.
49 kg.
52 kg.
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy là: R = 50 : 2 = 25 (cm) = 0,25 (m).
Đường cao của hình nón h = 30 cm = 0,3 m.
Gọi l là chiều cao của hình nón
Do đó, l = \[\sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {0,{{25}^2} + 0,{3^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\] (m).
Diện tích xung quanh của một chiếc nón lá là
Sxq = πrl = π.0,25. \[\frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\] = \[\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\] (m2).
Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là:
S = 1000. \[\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\] = \[\frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}\] (m2).
Do đó, khối lượng lá cần dùng là: \[\frac{S}{{6,13}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}:6,13 \approx 50\](kg).
Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu là 10 cm.
Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược lên thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
1 cm.
0,87 cm.
0,8 cm.
0,9 cm.
Đáp án đúng là: B
Gọi R là bán kính đáy của cái phễu ta có \[\frac{R}{2}\] là bán kính của đáy chứa cột nước.
Thể tích phần nón chứa nước là: \[\frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.10 = \frac{{5\pi {R^2}}}{6}\].
Thể tích cái phễu hình nón đó là: \[\frac{1}{3}\pi .{R^2}.20 = \frac{{20\pi {R^2}}}{3}\].
Do đó, thể tích phần phễu không chứa nước là:
V = \[\frac{{20\pi {R^2}}}{3} - \frac{{5\pi {R^2}}}{6} = \frac{{35\pi {R^2}}}{6}\].
Khi lật ngược phễu. Gọi h là chiều cao của cột nước trong phễu.
Chiều cao của phần phễu không chứa nước là: 20 – h (cm).
Áp dụng định lí Thalès, ta tính được bán kính R1 của phần nón không chứa nước.
\[\frac{{20 - h}}{{20}} = \frac{{{R_1}}}{R}\] nên R1 = \[\frac{{R.\left( {20 - h} \right)}}{{20}}\].
Phần thể tích nón không chứa nước là:
V = \[\frac{1}{3}\pi .\left( {20 - h} \right).{\left[ {\frac{{R.\left( {20 - h} \right)}}{{20}}} \right]^2} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}.{R^2}\].
Ta có: \[\frac{{35\pi {R^2}}}{6} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}.{R^2}\] hay (20 – h)3 = 7000.
Do đó, h = 20 – \[\sqrt[3]{{7000}}\] ≈ 0,87 (cm).
Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên.
Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
7.
\[\sqrt[3]{7}\].
\[\sqrt[3]{9}\].
9.
Đáp án đúng là: B
Gọi a là bán kính đáy hình tròn.
V1, V2 lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và chiều cao của nước bằng 1 dm.
h, V3 lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
Ta có: \[\frac{R}{a} = \frac{1}{2}\] nên \[R = \frac{a}{2}\].
Thể tích nước của hình nón khi chiều cao bằng 1 là:
V2 = \[\frac{1}{3}.h.\pi .{\left( {\frac{h}{2}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}\].
Mặt khác, \[\frac{r}{a} = \frac{h}{2}\] nên r = \[\frac{{ah}}{2}\].
Do đó, thể tích nước hình nón dưới là V3 = \[\frac{1}{3}.2.\pi {a^2}\].
Ta có: V3 = V1 – V2 hay \[\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \frac{{2\pi {a^2}}}{3} - \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}\] suy ra h3 + 1 = 8 nên h = \[\sqrt[3]{7}\].
Bác Bình có một đống cát dạng hình nón cao 2 m và đường kính đáy là 6 m. Bác tính rằng sửa xong ngôi nhà của mình cần 30 m3 cát. Hỏi bác Bình cần bổ sung bao nhiêu m3 cát nữa để đủ cát sửa nhà. (Lấy π ≈ 3,14 m3).
16,11 m3.
12 m3.
6 m3.
11,16 m3.
Đáp án đúng là: D
Thể tích đống cát của bác Bình là: \[\frac{1}{3}.\pi .2.{\left( {6:2} \right)^2} = 6\pi \approx 18,84\] (m3).
Số mét khối cát bác Bình cần bổ sung là: 30 – 18,84 = 11,16 (m3).
