10 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón có lời giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đáy

của chiếc nón là: r = 44 : 2 = 22 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore,

ta có: BC² = AB² + CA² = 20² + 22²

suy ra BC = \[\sqrt {{{20}^2} + {{22}^2}} = 2\sqrt {221} \] (cm).

Độ dài đường sinh của hình nón là \[BC = 2\sqrt {221} \] cm.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.22. \[2\sqrt {221} \] = \[44\pi \sqrt {221} \] (cm²) .

Đáp án đúng là: B

Bán kính của mỗi đống muối này là: 1,6 : 2 = 0,8 (m).

Thể tích mỗi đống muối là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{\left( {0,8} \right)^2}.0,9 = \frac{{24\pi }}{{125}}\] (m³).

Đáp án đúng là: B

Gọi h là chiều cao, r là bán kính đáy, l là đường sinh chiếc mũ.

Bán kính đáy chiếc mũ là: r = (26 – 3.2) : 2 = 10 (cm).

Mặt ngoài là diện tích xung quanh của chiếc mũ (không kể phần vành).

Do đó, S_xq = πrl = π.10.30 ≈ 942, 5 (cm²).

Đáp án đúng là: D

Chiều cao ở phần có dạng hình nón ở chiếc mũ chú hề là:

h = \[\sqrt {{{30}^2} - {{10}^2}} = 20\sqrt 2 \] (cm).

Thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề là:

V = \[\frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.10^2}.20\sqrt 2 \approx 2961,9\] (cm³).

Đáp án đúng là: B

Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy R = 28 : 2 = 14 (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = 3,14.14.30 = 1318,8 (cm²).

Vậy diện tích lá dùng để làm nón là:

110%.1318,8 = 1450,68 (cm²).

Đáp án đúng là: B

Bán kính đáy là: 40 : 2 = 20 (cm).

Diện tích xung quanh của chiếc nón là:

S_xq = πrl = π.20.30 = 600π (cm²).

Vì người ta cần dùng hai lớp lá để phủ mặt xung quanh nón nên diện tích lá cần dùng cho một chiếc nón là: 2.600π = 1200π (cm²).

Vậy diện tích lá cần dùng để làm 500 chiếc nón là:

1200π.500 = 600 000π (cm²).

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy là: R = 50 : 2 = 25 (cm) = 0,25 (m).

Đường cao của hình nón h = 30 cm = 0,3 m.

Gọi l là chiều cao của hình nón

Do đó, l = \[\sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {0,{{25}^2} + 0,{3^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\] (m).

Diện tích xung quanh của một chiếc nón lá là

S_xq = πrl = π.0,25. \[\frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\] = \[\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\] (m²).

Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là:

S = 1000. \[\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\] = \[\frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}\] (m²).

Do đó, khối lượng lá cần dùng là: \[\frac{S}{{6,13}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}:6,13 \approx 50\](kg).

Đáp án đúng là: B

Gọi R là bán kính đáy của cái phễu ta có \[\frac{R}{2}\] là bán kính của đáy chứa cột nước.

Thể tích phần nón chứa nước là: \[\frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.10 = \frac{{5\pi {R^2}}}{6}\].

Thể tích cái phễu hình nón đó là: \[\frac{1}{3}\pi .{R^2}.20 = \frac{{20\pi {R^2}}}{3}\].

Do đó, thể tích phần phễu không chứa nước là:

V = \[\frac{{20\pi {R^2}}}{3} - \frac{{5\pi {R^2}}}{6} = \frac{{35\pi {R^2}}}{6}\].

Khi lật ngược phễu. Gọi h là chiều cao của cột nước trong phễu.

Chiều cao của phần phễu không chứa nước là: 20 – h (cm).

Áp dụng định lí Thalès, ta tính được bán kính R₁ của phần nón không chứa nước.

\[\frac{{20 - h}}{{20}} = \frac{{{R_1}}}{R}\] nên R₁ = \[\frac{{R.\left( {20 - h} \right)}}{{20}}\].

Phần thể tích nón không chứa nước là:

V = \[\frac{1}{3}\pi .\left( {20 - h} \right).{\left[ {\frac{{R.\left( {20 - h} \right)}}{{20}}} \right]^2} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}.{R^2}\].

Ta có: \[\frac{{35\pi {R^2}}}{6} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}.{R^2}\] hay (20 – h)³ = 7000.

Do đó, h = 20 – \[\sqrt[3]{{7000}}\] ≈ 0,87 (cm).

Đáp án đúng là: B

Gọi a là bán kính đáy hình tròn.

V₁, V₂ lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và chiều cao của nước bằng 1 dm.

h, V₃ lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có: \[\frac{R}{a} = \frac{1}{2}\] nên \[R = \frac{a}{2}\].

Thể tích nước của hình nón khi chiều cao bằng 1 là:

V₂ = \[\frac{1}{3}.h.\pi .{\left( {\frac{h}{2}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}\].

Mặt khác, \[\frac{r}{a} = \frac{h}{2}\] nên r = \[\frac{{ah}}{2}\].

Do đó, thể tích nước hình nón dưới là V₃ = \[\frac{1}{3}.2.\pi {a^2}\].

Ta có: V₃ = V₁ – V₂ hay \[\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \frac{{2\pi {a^2}}}{3} - \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}\] suy ra h³ + 1 = 8 nên h = \[\sqrt[3]{7}\].