10 bài tập Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp có lời giải
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O), đường kính AM. Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O). Chọn khẳng định sai.
MN // BC.
BM > CN.
BM = CN.
\[\widehat {ANM} = 90^\circ \].
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ABH và ∆AMC, có:
\[\widehat {BHA} = \widehat {MCA} = 90^\circ \],
\[\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC (gg)
Suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\].
Do đó, .
Suy ra, \[\widehat {MNC} = \widehat {NCB}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên MN // BC.
Do đó, NMCB là hình thang.
Lại có nên BN = MC hay NMBC là hình thang cân.
Suy ra NC = BM.
Có \[\widehat {ANM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó, khẳng định B sai.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H Vẽ đường kính AF. Gọi M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
AH ⊥ BC.
OM // AH.
\[HM = \frac{{HF}}{2}.\]
OM ⊥ BF.
Đáp án đúng là: D
Có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.
Do đó AH ⊥ BC.
Có M là trung điểm BC nên OM ⊥ BC.
Suy ra OM // AH.
Có BF // EC (cùng vuông với AB)
BD // FC (cùng vuông với AC)
Do đó, BHCF là hình bình hành, có M là trung điểm BC, nên M cũng là trung điểm của đường chép HF.
Mà OM // AH nên OM là đường trung bình của tam giác HAF.
Suy ra \[HM = \frac{{HF}}{2}.\]
Do đó, ý D sai.
Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chọn khẳng định sai?
OD // EB.
OD ⊥ AK.
AK ⊥ BE.
OD ⊥ AE.
Đáp án đúng là: D
Ta có: O là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE.
Do đó OD là đường trung bình của ∆ABE.
Suy ra OD // EB.
Ta có: \[\widehat {AKB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AK ⊥ BE.
Mà OD // EB nên OD ⊥ AK.
Do đó, ý D sai.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong với nhau tại A và R > R'. Qua điểm B bất kì trên (O') vẽ tiếp tuyến với (O') cắt (O) tại hai điểm M và N, AB cắt (O) tại C. Khi đó:
(I). MN ⊥ OC.
(II) AC là phân giác của \[\widehat {MAN}\].
(III). MN ⊥ AB.
Các phát biểu đúng là:
(I) và (III).
(II) và (III).
(I) và (II).
(I), (II) và (III).
Đáp án đúng là: C
Vì ∆O
'AB cân tại O' nên \[\widehat {O'AB} = \widehat {O'BA}\].
∆OAC cân tại O nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\].
Suy ra \[\widehat {OCA} = \widehat {O'BA}\], mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó, O'B // OC.
Mặt khác MN là tiếp tuyến của (O') tại B.
Do đó, O'B ⊥MN. Suy ra OC ⊥ MN.
Trong đường tròn (O), có ON là đường trung trực của MN.
Suy ra CM = CN từ đó .
Do đó, \[\widehat {MAC} = \widehat {NAC}\].
Hay AC là phân giác của góc MAN.
Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AM có số đo bằng 90°. Vẽ các dây MC ⊥ AB, MD // AB. Khi đó,
(I). MC ⊥ MD.
(II). C, O, D thẳng hàng.
Chọn khẳng định đúng.
Chỉ (I) đúng.
Chỉ (II) đúng.
Cả (I), (II) đều đúng.
Cả (I), (II) đều sai.
Đáp án đúng là: C
Ta có MD
// AB mà AB ⊥ MC nên MC ⊥ MD.
Suy ra \[\widehat {DMC} = 90^\circ \].
Có góc DMC là góc nội tiếp lại có số đo bằng 90° nên CD là đường kính.
Suy ra ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Vậy cả hai phát biểu (I), (II) đều đúng.
Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 45^\circ \] nội tiếp đường tròn (O), Các đường cao BH, CK cắt đường tròn (O) lần lượt tại E và D. Khi đó,
(I). \[\widehat {KCA} = 90^\circ \].
(II). DE là đường kính.
(III). D, O, E thẳng hàng.
Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có BH ⊥ AC nên tam giác ABH vuông tại H.
Mà \[\widehat {BAH} = 45^\circ \] nên \[\widehat {ABH} = 45^\circ \] hay \[\widehat {EBA} = 45^\circ \] (1)
Mặt khác, có CK ⊥ AB suy ra tam giác ACK vuông tại K.
Mà \[\widehat {KAC} = 45^\circ \] nên \[\widehat {KCA} = 45^\circ \].
Có \[\widehat {DBA} = \widehat {DCA}\] (cùng chắn cung AD) nên \[\widehat {ABD} = 45^\circ \](2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {EBD} = \widehat {DBA} + \widehat {ABE} = 90^\circ \] nên DE là đường kính của (O) hay D, O, E thẳng hàng.
Do đó, phát biểu (II) và (III) là đúng.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Aa cắt BC ở D và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M; MB), K là tiếp điểm. Khi đó,
(I). ∆MBD ᔕ ∆MAB.
(II). ∆DMK ᔕ ∆KAM.
(III). DK ⊥ AM.
Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là
3.
2.
1.
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\] mà \[\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}\] (góc nội tiếp)
Nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\].
Do đó, ∆MBD ᔕ ∆MAB (g.g)
Suy ra \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MB}}{{MA}}\] suy ra \[\frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MK}}{{MA}}\].
Kết hợp với \[\widehat {DMK} = \widehat {KMA}\] nên ∆DMK ᔕ ∆KMA (g.g)
Suy ra \[\widehat {MDK} = \widehat {MKA}\] = 90°.
Vậy DK ⊥ AM.
Vậy phát biểu (I) và (III) là các phát biểu đúng.
Trong đường tròn (O) có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó,
(I). MI = MB.
(II). \[\widehat {MBI} = \widehat {NID}\].
(III). MI ⊥ AD.
Các phát biểu đúng là
Chỉ (I) đúng.
Chỉ (I), (II) đúng.
Chỉ (II), (III) đúng.
Cả (I), (II), (III) đúng.
Đáp án đúng là: D
Gọi E là giao điểm của IM và AD.
Ta có: AC ⊥ BD tại I nên ∆BCI vuông tại I.
Mà MB = MC nên MI = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Do đó, ∆MBI cân.
Suy ra \[\widehat {MIB} = \widehat {MBI}\] mà \[\widehat {NID} = \widehat {BIM}\] đối đỉnh do đó \[\widehat {MBI} = \widehat {NID}\].
Ta có: \[\widehat {BDA} = \widehat {BCA}\](góc nội tiếp chắn cung AB)
Mà \[\widehat {BCA} + \widehat {MBI} = 90^\circ \] (tam giác BIC vuông tại I).
Suy ra \[\widehat {NID} + \widehat {BDA} = 90^\circ \] hay \[\widehat {AEI} = 90^\circ \] hay MI ⊥ AD.
Cho hình vuông ABCD, M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Khi đó,
(I). I, N, C thẳng hàng .
(II). ∆CDK = ∆MIC.
(III). AC ⊥ KM.
Số phát biểu đúng là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: D
Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD.
Do đó, \[\widehat {AIM} = 90^\circ \].
Tứ giác DAIM là hình chữ nhật
(vì \[\widehat {AIM} = \widehat {IAD} = \widehat {ADM} = 90^\circ \])
Do đó, \[\widehat {IMD} = 90^\circ \] nên DI là đường kính của (O).
Suy ra \[\widehat {DNC} = 90^\circ \].
Ta có: \[\widehat {IND} + \widehat {DNC} = 90^\circ + 90^\circ \] hay \[\widehat {INC} = 180^\circ \].
Do đó, I, N, C thẳng hàng.
Xét ∆CDK và ∆MIC có:
\[\widehat {DCK} = \widehat {IMC} = 90^\circ \],
DC = MI = AD
\[\widehat {KDC} = \widehat {CIM}\] (cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc)
Do đó, ∆CDK = ∆MIC, suy ra CK = MC.
Suy ra ∆CMK cân tại C.
CA là tia phân giác \[\widehat {MCK}\] (vì ABCD là hình vuông)
Suy ra AC ⊥ KM.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B, O nằm trên đường tròn (O'). Dây AC của (O) cắt (O') ở D, dây OE của (O') cắt (O) ở F như hình bên. Chọn khẳng định sai.
\[\widehat {BOD} = \widehat {BOC}\].
\[\widehat {BOD} = \widehat {DOC}\].
OD là đường trung tuyến trong ∆BOC.
OD ⊥ BC.
Đáp án đúng là: A
Dựng hai bán kính OB, OC của (O).
Xét đường tròn (O') ta có .
Mà suy ra (1)
Xét đường tròn (O) ta có: (2).
Từ (1) và (2) ta được \[\widehat {BOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\] suy ra \[\widehat {BOD} = \widehat {DOC}\] hay OD là tia phân giác \[\widehat {BOC}\].
Ta lại có ∆BOC cân tại O nên OD vừa là phân giác vừa là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác BOC.
Do đó, OD ⊥ BC.
