10 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
HB→+HC→=−HD→
HB→+HC→=HD→
HB→+HC→=HA→
HB→+HC→=−HA→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Có: ABD^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, BD vuông góc với AB.
Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.
Do đó, BD // CH.
Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
Do đó, HBDC là hình bình hành
⇒HB→+HC→=HD→ (quy tắc hình bình hành).
Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
HA→+HB→+HC→=HA→+HB→
HA→+HB→+HC→=HA→−HD→
HA→+HB→+HC→=HA→+HD→
HA→+HB→+HC→=HA→−HB→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Có: ABD^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, BD vuông góc với AB.
Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.
Do đó, BD // CH.
Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
Do đó, HBDC là hình bình hành
⇒HB→+HC→=HD→ (quy tắc hình bình hành)
Vậy HA→+HB→+HC→=HA→+HB→+HC→=HA→+HD→.
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Biểu thức AD→+BE→+CF→ bằng biểu thức nào sau đây ?
AE→+BF→+CD→
AE→+BD→+CD→
AE→+BE→+CD→
AD→+BF→+CD→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
AD→+BE→+CF→
=AE→+ED→+BF→+FE→+CD→+DF→
=AE→+BF→+CD→+DF→+FE→+ED→
=AE→+BF→+CD→+DD→
=AE→+BF→+CD→.
Cho 4 điểm A, B, C, D. Biết AB→=CD→. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?
AC→=AD→;
AC→=BD→;
AB→=BD→;
AC→=CD→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
AB→=CD→
⇔AC→+CB→=CB→+BD→
⇔AC→=BD→.
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
RC→+IQ→+PS→=0→
RJ→+IA→+PS→=0→
RJ→+IQ→+PB→=0→
RJ→+IQ→+PS→=0→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có, ABIJ, BCPQ, CARS là các hình bình hành nên:
RA→=SC→, AJ→=BI→, PC→=QB→
Mặt khác, có:
RJ→+IQ→+PS→
=RA→+AJ→+IB→+BQ→+PC→+CS→
=SC→+BI→+IB→+BQ→+QB→+CS→
=SC→+CS→+BI→+IB→+BQ→+QB→
=0→.
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
AB→+CD→=0→
AB→+AD→=BD→
AD→+DC→=AB→
AD→+AB→=DA→+DC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do ABCD là hình bình hành nên: BA→=CD→
Do đó, ta có: AB→+CD→=AB→+BA→=AA→=0→.
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
AD→+AB→=DA→+DC→
AB→+AD→=BD→
AD→+DC→=AB→
BA→+BC→=BD→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Do ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, ta có:
BA→+BC→=BD→.
Cho hình vuông ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
OA→+OB→=AB→
OA→+OC→=AC→
OC→+OD→=DC→+BD→
AD→+AB→=BA→+BC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Hình vuông ABCD tâm O nên O là trung điểm của AC và BD, do đó ta có: OD→=BO→.
Ta có:
OC→+OD→=DC→+BD→
⇔OC→+BO→=DC→+BD→
⇔BO→+OC→=BD→+DC→
⇔BC→=BC→ (luôn đúng).
Vậy đẳng thức C đúng.
Cho hình vuông ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
OA→+OB→=AB→
OA→+OC→=AC→
OC→+OD→=BO→+AO→
AD→+AB→=BA→+BC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Hình vuông ABCD tâm O nên O là trung điểm của AC và BD, do đó ta có: OC→=AO→.
Ta có:
OC→+OD→=BO→+AO→
⇔AO→+OD→=BO→+OC→
⇔AD→=BC→
(luôn đúng do ABCD là hình vuông)
Cho hình thoi ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
OA→+OB→=AB→
OA→+OC→=AC→
AD→+AB→=BA→+BC→
OA→+OC→+2OD→=BD→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Hình thoi ABCD tâm O nên O là trung điểm của AC và BD, do đó ta có: OA→+OC→ và BD→=2OD→
Ta có: OA→+OC→+2OD→=0→+BD→=BD→.
