Trắc nghiệm Bài tập cuối chương IX lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Tìm đạo hàm của hàm số y = x7.
y' = 7x6.
y' = 6x7.
y' = x6.
y' = 7x8.
A
Ta có y' = 7x6.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số f(x) = x3 – 2x có đồ thị (C).
a) Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là k = f'(x0).
b) f'(x) = 3x2 – 2.
c) f'(2) = 14.
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là y = 10x + 16.
a) Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là k = f'(x0).
b) f'(x) = 3x2 – 2.
c) f'(2) = 3.22 – 2 = 10.
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 10(x – 2) + 4 = 10x – 16.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 8x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
B
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 7x + 2\) có đồ thị (C) và điểm A(0; 2).
a) Hàm số đã cho có đạo hàm là f'(x) = x2 – 6x + 7.
b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A có hệ số góc bằng −7.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(0; 2) là y = 7x + 2.
d) Bất phương trình có nghiệm f'(x) > 7 có tập nghiệm S = (0; 6).
a) f'(x) = x2 – 6x + 7.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A là f'(0) = 7.
c) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x + 2.
d) Có x2 – 6x + 7 > 7 Û x2 – 6x > 0 Û x < 0 hoặc x > 6.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 0) È (6; +∞).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Đạo hàm của hàm số y = 3x là
y' = 3x.
y' = x.3x – 1.
y' = 3xln3.
\(y' = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\).
C
Ta có y' = 3xln3.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x + 4}}\); g(x) = xcos2x.
a)\(f'\left( 2 \right) + g'\left( 0 \right) = \frac{{16}}{9}\).
b) Hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
c)\(2{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = \left( {f\left( x \right) - 1} \right)f''\left( x \right)\).
d) Hàm số g(x) có đạo hàm là g'(x) = cos2x + 2xsin2x.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\); \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}\); g'(x) = cos2x – 2xsin2x.
a) \(f'\left( 2 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}} = \frac{7}{{36}}\); g'(0) = 1.
Do đó \(f'\left( 2 \right) + g'\left( 0 \right) = \frac{7}{{36}} + 1 = \frac{{43}}{{36}}\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
c) \(2{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = 2{\left( {\frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right)^2} = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}\); \(\left( {f\left( x \right) - 1} \right)f''\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 7}}{{x + 4}}} \right).\frac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}} = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}\).
Do đó \(2{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = \left( {f\left( x \right) - 1} \right)f''\left( x \right)\).
d) g'(x) = cos2x – 2xsin2x.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Hàm số y = xtanx có đạo hàm là
\(y' = \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\).
\(y' = \tan x + \frac{x}{{{{\sin }^2}x}}\).
\(y' = \tan x - \frac{x}{{{{\cot }^2}x}}\).
\(y' = \tan x - \frac{x}{{{{\sin }^2}x}}\).
A
Ta có \[y' = \tan x + x{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\].
Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = t3 – 3t2 + 7t – 2, trong đó t > 0 và tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của vật trong t giây tính bằng mét. Khi đó:
a) Tốc độ của vật tại thời điểm t = 2 là 7 m/s.
b) Gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 6 m/s2.
c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 16 m/s là 10 m/s2.
d) Thời điểm t = 1 giây tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 7; a(t) = v'(t)= 6t – 6.
a) v(2) = 3.22 – 6.2 + 7 = 7 m/s.
b) a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2.
c) Có v(t) = 16 Û 3t2 – 6t + 7 = 16 Û t = 3 (vì t > 0).
Khi đó a(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s2.
d) Có v(t) = 3t2 – 6t + 7 = 3(t – 1)2 + 4 ³ 4.
Dấu “=” xảy ra khi t = 1.
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 1 giây.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = 3\). Giá trị của f'(0) bằng
3.
0.
2.
1.
A
Ta có \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = 3\).
Cho hàm số f(x) = e2x.
a) f'(x) = e2x.
b) f"(ln3) = 36.
c) Tập nghiệm của phương trình f"(x) = 4 là S = {1}.
d) Tập nghiệm của bất phương trình f"(x) £ 5ex – 1 có dạng S = [a; b]. Giá trị của biểu thức M = eb – 2a bằng 16.
a) f'(x) = 2e2x.
b) f"(x) = 4e2x Þ f"(x) = 4e2ln3 = 36.
c) f"(x) = 4 Û 4e2x = 4 Û e2x = 1 Û 2x = 0 Û x = 0.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.
d) f"(x) £ 5ex – 1 Û 4e2x £ 5ex – 1 Û 4e2x − 5ex + 1 £ 0 \( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {e^x} \le 1\)\( \Leftrightarrow \ln \frac{1}{4} \le x \le 0\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left[ {\ln \frac{1}{4};0} \right]\).
Suy ra \(a = \ln \frac{1}{4}\); b = 0.
Do đó M = eb – 2a = \(M = {e^{ - 2\ln \frac{1}{4}}} = {4^2} = 16\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 5x + 3\). Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình y' = 0 (x1 < x2). Giá trị S = 2x2 – x1 là
−9.
9.
7.
−3.
B
Ta có y' = x2 – 6x + 5;
y' = 0 Û x2 – 6x + 5 = 0 Û x = 1 hoặc x = 5.
Do đó S = 2.5 – 1 = 9.
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = x – cosx là
cosx.
−cosx.
1− sinx.
1 + sinx.
A
Ta có y' = 1 + sinx; y" = cosx.
Đạo hàm của hàm số \(y = {e^{{x^2} + 2x + 5}}\) là
\(y' = {e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
\(y' = \left( {2x + 2} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
\(y = \left( {2x + 5} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
\(y = \left( {{x^2} + 2x + 5} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
B
Ta có \(y' = {e^{{x^2} + 2x + 5}}.{\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)^\prime } = \left( {2x + 2} \right).{e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
Cho hàm số \(y = 2\sqrt {2{x^2} + x - 5} \). Tính y'(2).
\(\frac{9}{{\sqrt 5 }}\).
\(2\sqrt 5 \).
\(\frac{9}{{2\sqrt 5 }}\).
\(\sqrt 5 \).
A
Ta có \(y' = \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} + x - 5} }}\)\( \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{9}{{\sqrt 5 }}\).
Cho chuyển động xác định bởi phương trình s = s(t) = −t3 + 3t2 +9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
12 m/s.
0 m/s.
11 m/s.
6 m/s.
A
v(t) = s'(t) = −3t2 + 6t + 9; a(t) = v'(t) = −6t + 6.
Gia tốc triệt tiêu khi a(t) = 0 Û t = 1.
Khi đó vận tốc của chuyển động là v(1) = 12 m/s.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = 2 là \(f'\left( 2 \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 5\).
Trả lời: −5.
Cho hàm số \(y = \sqrt {4x - {x^2}} \). Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình y' £ 0.
Tập xác định D = [0; 4].
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {4x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4x - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2x}}{{2\sqrt {4x - {x^2}} }}\).
Để y' ≤ 0 \( \Leftrightarrow \frac{{4 - 2x}}{{2\sqrt {4x - {x^2}} }} \le 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4x - {x^2} > 0\end{array} \right.\)Û x ∈ [2; 4).
Mà x Î ℤ nên x Î {2; 3}.
Do đó có 2 nghiệm nguyên.
Trả lời: 2.
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động s(t) = 2 + 196t – 4,9t2, trong đó t ³ 0, t là thời gian chuyển động, s là độ cao so với mặt đất. Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 98 m/s thì viên đạn đang ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Ta có v(t) = s'(t) = 196 – 9,8t
Có v(t) = 98 Û 196 – 9,8t = 98 Û t = 10.
Khi đó, viên đạn đang ở độ cao là s(10) = 1472.
Trả lời: 1472.
Biết đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{x} - {2^x}\) có dạng \(y' = a{x^2} + \frac{b}{{{x^2}}} - {2^x}\ln c\), với a, b, c Î ℤ. Khi đó giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng bao nhiêu?
\(y' = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{x} - {2^x}} \right)^\prime } = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - {2^x}\ln 2\).
Suy ra a = 1; b = 1; c = 2.
Do đó a + b + c = 4.
Trả lời: 4.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\) (cm), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 (cm/s) là \(t = \frac{a}{b} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (s), trong đó a, b là các số nguyên và phân số \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng a + b.
Ta có v(t) = x'(t) = \( - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
v(t) = 0 \( \Leftrightarrow - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Suy ra a = 2; b = 3. Do đó a + b = 5.
Trả lời: 5.
