Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối Chương IX hai có đáp án
20 câu hỏi
Với u, v là các hàm số hợp theo biến x, quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?
(u + v)' = u' – v'.
(uv)' = u'v + uv'.
1v'=−1v2 .
uv'=u'v+v'uv2.
Đáp án đúng là: B
Ta có quy tắc đạo hàm:
(u + v)' = u' + v'
(uv)' = u'v + uv'
1v'=−v'v2
uv'=u'v−v'uv2
Vậy đáp án B đúng.
Cho hàm số f(x) = x2 + sin3x. Khi đó f'π2 bằng
π.
2π.
π + 3.
π – 3.
Đáp án đúng là: A
Ta có: f'(x) = 2x + 3sin2xcosx
⇒f'π2=2.π2+2.sin2π2.cosπ2=π.
Cho hàm số f(x) = 13x3−x2−3x+1 . Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 0 là
[1; 3].
[–1; 3].
[–3; 1].
[–3; –1].
Đáp án đúng là: B
Ta có f'(x) = x2 – 2x – 3.
Khi đó f'(x) ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ –1 ≤ x ≤ 3.
Cho hàm số f(x)=4+3u(x) với u(1) = 7, u'(1) = 10. Khi đó f'(1) bằng
1.
6.
3
–3.
Đáp án đúng là: C
Ta có f'(x)=3u'(x)24+3u(x).
Nên f'(1)=3u'(1)24+3u(1)=3.1024+3.7=3 .
Cho hàm số f(x) = x2e–2x. Tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là
{0; 1}.
{–1; 0}.
{0}.
{1}.
Đáp án đúng là: A
Ta có f'(x) = (x2)' . e– 2x + x2 . (e– 2x)' = 2xe–2x – 2x2e–2x.
Để f'(x) = 0 ⇔ 2xe–2x – 2x2e–2x = 0
⇔ 2xe–2x(1 – x) = 0
⇔x=0x=1.
Chuyển động của một vật có phương trình s(t) = sin0,8πt+π3 , ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?
4,5 cm/s2.
5,5 cm/s2.
6,3 cm/s2.
7,1 cm/s2.
Đáp án đúng là: C
Ta có: v(t) = s'(t) = 0,8π cos0,8πt+π3;
a(t) = s''(t) = –0,8π.0,8π sin0,8πt+π3 = –0,64π2 sin0,8πt+π3.
Ta có v(t) = 0
⇔0,8πcos0,8πt+π3=0
⇔0,8πt+π3=π2+kπ k∈ℤ
⇔0,8πt=π2−π3+kπ k∈ℤ
⇔t=524+5k4 k∈ℤ
Thời điểm vận tốc bằng 0 giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật là:
a524+5k4=−0,64π2sin0,8π524+5k4+π3
=0,64π2sinπ2+kπ=0,64π2≈6,32.
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4x – 1 có đồ thị là (C). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị (C) là
1.
2.
–1.
3.
Đáp án đúng là: A
Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị (C) là
k = y' = 3x2 – 6x + 4 = 3(x2 – 2x + 1) + 1 = 3(x – 1)2 + 1 ≥ 1 với mọi x.
Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị (C) là 1.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y=2x−1x+25;
a) Với x ≠ – 2, ta có
y'=52x−1x+24.2x−1x+2'=52x−1x+24.2x+2−2x−1x+22
=52x−1x+24.5x+22=252x−14x+26.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b) y=2xx2+1;
b) Ta có y'=2x'.x2+1−2xx2+1'x2+12=2x2+2−4x2x2+12=−2x2+2x2+12
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
c) y = exsin2x;
c) Ta có
y' = (ex)' . sin2x + ex(sin2x)' = exsin2x + ex.2sinx.cosx = exsin2x + exsin2x.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
d) y=logx+x .
d) Với x > 0, ta có:
y'=x+x'x+xln10=1+12xx+xln10=2x+12xx+xln10.
Xét hàm số lũy thừa y = xα với α là số thực.
a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
a)
Hàm số lũy thừa y = xα với α là số thực có tập xác định khác nhau, phụ thuộc vào α:
+ Nếu α nguyên dương thì tập xác định là ℝ.
+ Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì tập xác định là ℝ\{0}.
+ Nếu α không nguyên thì tập xác định là (0; +∞).
b) Bằng cách viết y = xα = eαlnx, tính đạo hàm của hàm số đã cho.
b) Ta có
y' = (xα)' = (eαlnx)' = (α.lnx)' eαlnx = αxeαlnx=αx.xα = αxα–1.
Cho hàm số f(x) = 3x+1 . Đặt g(x) = f(1) + 4(x2 – 1).f'(1). Tính g(2).
Với x>−13, ta có: f'(x)=3x+1'23x+1=323x+1 .
Do đó, f(1) = 3.1+1 = 2, f'(1) = 323.1+1 = 34.
Vậy g(2) = f(1) + 4(22 – 1).f'(1) = 2 + 12. 34 = 11.
Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và f'(x) = x2f(x) với mọi x. Tính f''(1).
Ta có f''(x) = (x2)' . f(x) + x2 . f'(x) = 2xf(x) + x2f'(x).
Vì f(1) = 2 nên f'(1) = 12 . f(1) = 1 . 2 = 2.
Suy ra f''(1) = 2 . 1 . f(1) + 12 . f'(1) = 2 . 2 + 2 = 6.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 1 tại điểm có hoành độ bằng 1.
Ta có: y' = 3x2 + 6x ⇒ y'(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9.
Ngoài ra, f(1) = 13 + 3 . 12 – 1 = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y – 3 = 9(x – 1) hay y = 9x – 6.
Đồ thị của hàm số y=ax (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ x0 (x0 ≠ 0) là
y−ax0=−ax02x−x0 hay y=−ax02x+2ax0.
Giả sử phương trình tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B.
Khi đó, A0;2ax0, B2x0;0 .
Do đó diện tích tam giác OAB bằng: 12OA.OB=122ax0.2x0=2a không đổi (do a là hằng số dương).
Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.
Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng đạo hàm của hàm vị trí là hàm vận tốc, đạo hàm của hàm vận tốc là hàm gia tốc và một hàm số đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên một khoảng nào đó nếu đạo hàm của nó dương (tương ứng âm) trên khoảng đó.
Từ hình vẽ ta thấy: Hàm số c luôn đồng biến, tức là đạo hàm của nó phải luôn không âm, do đó hàm số b là đạo hàm của hàm số c; hàm số b đồng biến trên khoảng mà hàm số a dương và nghịch biến trên khoảng mà hàm số a âm, do đó hàm số a là đạo hàm của hàm số b.
Vậy hàm số a là hàm gia tốc, hàm số b là hàm vận tốc và hàm số c là hàm vị trí của ô tô.
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: s = f(t) = t3 – 6t2 + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây.
b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?
a) Ta có: v(t) = s'(t) = 3t2 – 12t + 9.
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là v(2) = 3 . 22 – 12 . 2 + 9 = –3 (m/s).
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là v(4) = 3 . 42 – 12 . 4 + 9 = 9 (m/s).
b) Khi vật đứng yên ta có: v(t) = 0 ⇔ 3t2 – 12t + 9 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3.
Vậy tại thời điểm 1 giây hoặc 3 giây thì vật đứng yên.
c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.
d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.
e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?
c) Ta có: a(t) = s''(t) = 6t – 12.
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là a(4) = 6 . 4 – 12 = 12 (m/s2).
d) Ta có khi t = 1 hoặc t = 3 thì vật đứng yên.
Do đó, ta cần tính riêng rẽ quãng đường vật đi được trong từng khoảng thời gian [0; 1], [1; 3], [3; 5].
Ta có: f(0) = 03 – 6 . 02 + 9 . 0 = 0; f(1) = 13 – 6 . 12 + 9 . 1 = 4;
f(3) = 33 – 6 . 32 + 9 . 3 = 0; f(5) = 53 – 6 . 52 + 9 . 5 = 20.
Từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 1 giây, vật đi được quãng đường là:
|f(1) – f(0)| = |4 – 0| = 4 (m).
Từ thời điểm t = 1 giây đến thời điểm t = 3 giây, vật đi được quãng đường là:
|f(3) – f(1)| = |0 – 4| = 4 (m).
Từ thời điểm t = 3 giây đến thời điểm t = 5 giây, vật đi được quãng đường là:
|f(5) – f(3)| = |20 – 0| = 20 (m).
Tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là 4 + 4 + 20 = 28 (m).
e)
Xét a(t) = 0, tức là 6t – 12 = 0 ⇔ t = 2.
Với t ∈ [0; 2) thì gia tốc âm, tức là vật giảm tốc.
Với t ∈ (2; 5] thì gia tốc dương, tức là vật tăng tốc.
