Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương IX có đáp án

Đáp án đúng là: B

Có f'x=cos22x+π12'=2cos2x+π12⋅cos2x+π12'

=−4cos2x+π12sin2x+π12=−2sin4x+π6

f'0=−2sin4⋅0+π6=−1

Đáp án đúng là: C

Có  f'x=−13x3+x2+3x−1'= −x² + 2x + 3.

Để f'(x) > 0 thì −x² + 2x + 3 > 0 Û (3 − x)(x + 1) > 0 Û −1 < x < 3.

Vậy f'(x) > 0 thì −1 < x < 3.

Đáp án đúng là: C

Có y' = (ln|1 – 2x|)' = =22x−1 1−2x'1−2x=−21−2x

Vậy y'=22x−1

Đáp án đúng là: C

Có y'=2x+1x−13'=32x+1x−122x+1x−1'

 =32x+1x−122x+1'x−1−2x+1x−1'x−12

=32x+1x−122x−1−2x+1x−12

=32x+1x−122x−2−2x−1x−12=−92x+12x−14

Vậy y'=−92x+12x−14.

Đáp án đúng là: A

y'=1+2sin2x'=1+2sin2x'21+2sin2x=4sinxcosx21+2sin2x

=2sin2x21+2sin2x=sin2x1+2sin2x

Vậy y'=sin2x1+2sin2x

Đáp án đúng là: B

Có y' = (xsin²x)' = sin²x + x×(sin²x)' = sin²x + 2xsinxcosx = sin²x + xsin2x.

Vậy y' = sin²x + xsin2x.

Đáp án đúng là: C

f'x=1+5gx'=1+5gx'21+5gx=5g'x21+5gx

Có f'0=5g'021+5g0=5⋅−821+5⋅3=−5 (do g(0) = 3, g'(0) = −8).

Vậy f'(0) = −5.

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = (xsinx)' = sinx + xcosx, suy ra f'(1) = sin1 + cos1

g'x=cosxx'=cosx'x−cosx⋅x'x2=−xsinx−cosxx2

suy ra g'1=−sin1−cos112=−sin1−cos1

Do đó f'1g'1=sin1+cos1−sin1−cos1=−1

Vậy f'1g'1=−1

Đáp án đúng là: D

Có f'x=xe−x22'=e−x22+xe−x22−x22'=e−x22−x2e−x22

Để f'(x) = 0 thì  e−x22−x2e−x22=0⇔e−x221−x2=0⇔1−x2=0⇔x=±1

Vậy tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là S = {−1; 1}.

Đáp án đúng là: D

Có f'(x) = (2x³ + 3x – 1)' = 6x² + 3.

 g'(x) = [3(x² + x) + 2]' = 6x + 3.

Để f'(x) < g'(x) thì 6x² + 3 < 6x + 3 Û 6x² − 6x < 0 Û 6x(x − 1) < 0 Û 0 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f'(x) < g'(x) là (0; 1).

Đáp án đúng là: B

Ta có S(r) = πr2. Do đó S'r=πr2'=2πr là chu vi của đường tròn đó.

Đáp án đúng là: A

Có y' = [x(x – 1)² + x² + 1]' = (x – 1)² + 2x(x – 1) + 2x

= x² – 2x + 1 + 2x² – 2x + 2x = 3x² – 2x + 1.

Có y'(−1) = 3×(−1)² – 2×(−1) + 1 = 6.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x(x – 1)² + x² + 1 tại điểm A(−1; −2) có dạng: y = y'(−1)×(x + 1) – 2 = 6×(x + 1) – 2 = 6x + 6 – 2 = 6x + 4.

Vậy y = 6x + 4 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = y'=23x3−4x2+5x+3' = 2x² – 8x + 5.

Có k = 2x² – 8x + 5 = 2(x² – 4x) + 5 = 2(x² – 4x + 4) – 3 = 2(x – 2)² – 3 ³ − 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là −3 khi x = 2;  y=73

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y=−3x−2+73=−3x+253

Vậy y=−3x+253 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Có y'=1−2xx+2'=1−2x'x+2−1−2xx+2'x+22

=−2x+2−1−2xx+22=−2x−4−1+2xx+22=−5x+22

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −1 là:

k = y'−1=−5−1+22=−5

Vậy k = −5 là hệ số góc cần tìm.

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = y' = (−x³ + 6x² – 9x + 1)' = −3x² + 12x – 9.

Có k = −3x² + 12x – 9 = −3(x² – 4x) – 9 = −3(x² – 4x + 4) + 3 = −3(x − 2)² + 3 ≤ 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là 3 khi x = 2; y = −1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = 3(x – 2) – 1= 3x – 7.

Vậy y = 3x – 7 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = [(x² – x)e^−x]' = (2x −1)e^−x − (x² – x)e^−x = (−x² + 3x – 1)e^−x.

f"(x) = [(−x² + 3x – 1)e^−x]' = (−2x + 3)e^−x − (−x² + 3x – 1)e^−x = (x² – 5x + 4)e^−x.

Khi đó f"(0) = (0² – 5×0 + 4)e⁻⁰ = 4. Vậy f"(0) = 4.

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = [(x² – x)e^−x]' = (2x −1)e^−x − (x² – x)e^−x = (−x² + 3x – 1)e^−x.

f"(x) = [(−x² + 3x – 1)e^−x]' = (−2x + 3)e^−x − (−x² + 3x – 1)e^−x = (x² – 5x + 4)e^−x.

Khi đó f"(0) = (0² – 5×0 + 4)e⁻⁰ = 4. Vậy f"(0) = 4.

Có y' = (e^xcosx)' = e^xcosx − e^xsinx

⇒ y' = y − e^xsinx ⇒ e^xsinx = y – y'.

y" = (e^xcosx − e^xsinx)' = e^xcosx − e^xsinx – (e^xsinx + e^xcosx) = −2e^xsinx = −2(y – y').

Do đó y" = −2(y – y') Û y" = −2y + 2y' Û y" – 2y' + 2y = 0.

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h'(t) = (400 – 4,9t²)' = −9,8t.

Khi vật chạm đất tức là h(t) = 0 Û 400 – 4,9t² = 0 Û t=20107 giây.

Giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật khi nó chạm đất là −9,8⋅20107≈88,5 m/s.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) =s't=5+sin0,8πt+π6'

= 0,8πt+π6'cos0,8πt+π6=0,8πcos0,8πt+π6

Gia tốc của vật tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 0,8πcos0,8πt+π6'

=−0,82π2sin0,8πt+π6

Tại thời điểm vận tốc bằng 0 tức là 0,8πcos0,8πt+π6=0⇔cos0,8πt+π6=0.

Do cos20,8πt+π6+sin20,8πt+π6=1 mà cos0,8πt+π6=0 nên

sin20,8πt+π6=1⇔sin0,8πt+π6=1

Giá trị tuyệt đối của gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

 −0,82π2sin0,8πt+π6=0,8π2≈6,3 cm/s².

Vậy giá trị tuyệt đối của gia tốc gần 6,3 cm/s².

Đáp án đúng là: A

Ta có v(t) = s'(t) = 4t³ – 12t² – 40t + 20.

a(t) = v'(t) = 12t² – 24t – 40.

Thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s tức là 4t³ – 12t² – 40t + 20 = 20

Û 4t³ – 12t² – 40t = 0 Û t = 5 (thỏa mãn) hoặc t = 0 (loại) hoặc t = −2 (loại).

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là a(5) = 12×5² – 24×5 – 40 = 140 m/s².

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s là 140 m/s².

a) y'=x2−2x+4x3'

=3x2−2x+4x2x2−2x+4x'

=3x2−2x+4x22x+2x2+2x

=6x2−2x+4x2x+1x2+1x

Vậy y'=6x2−2x+4x2x+1x2+1x

b) y' = [2^x + log₃(1 – 2x)]' = 2xln2+1−2x'1−2xln3=2xln2−21−2xln3

Vậy y'=2xln2−21−2xln3

c) y'=1−2xx2+1'=1−2x'x2+1−1−2xx2+1'x2+12

=−2x2+1−2x1−2xx2+12=−2x2−2−2x+4x2x2+12=2x2−2x−2x2+12

Vậy y'=2x2−2x−2x2+12

d) y' = (sin2x + cos²3x)' = cos2x×(2x)' + 2cos3x×(cos3x)'

= 2cos2x – 6cos3xsin3x = 2cos2x – 3sin6x.

Vậy y' = 2cos2x – 3sin6x.

a) Điều kiện 4 – x² ³ 0 Û −2 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là [−2; 2].

b) Có f'(x)=x+4−x2'=1+4−x2'24−x2

=1+−2x24−x2=1−x4−x2=4−x2−x4−x2

Điều kiện để f'(x) xác định là 4 – x² > 0 Û −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của f'(x) là (−2; 2).

c) Có f'(x) = 0 thì 4−x2−x4−x2=0⇒4−x2−x=0

⇔4−x2=x⇔x>04−x2=x2⇔x>02x2=4⇔x=2

Kết hợp với điều kiện ở câu b, ta có x=2 là giá trị cần tìm.

+) Với x < 0 thì f(x) = x² – x. Có f'(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x³ + mx. Có f'(x) = −3x² + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có limx→0+fx−f0x−0=limx→0+−x3+mxx=limx→0+−x2+m=m

limx→0−fx−f0x−0=limx→0−x2−xx=limx→0−x−1=−1

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Có f'(x) = (x³ + ax² + 3x + 1)' = 3x² + 2ax + 3.

Để f'(x) > 0 với mọi x Î ℝ thì 3x² + 2ax + 3 > 0 với mọi x Î ℝ, điều này xảy ra khi và chỉ khi D' = a² – 9 < 0 Û −3 < a < 3.

Vậy −3 < a < 3 là giá trị cần tìm.

Giả sử Mx0;x03−3x02+2x0−1 là điểm thuộc đồ thị (C).

Vì tiếp tuyến tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(x₀) = 2.

Có y'(x₀) = 3x02−6x0+2

Vì y'(x₀) = 2 nên 3x02−6x0+2=2⇔3x02−6x0=0 Û x₀ = 0 hoặc x₀ = 2.

+ Với x₀ = 0 thì M(0; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2x − 1 trùng với đường thẳng đề cho nên M(0; −1) không thỏa mãn.

+ Với x₀ = 2 thì M(2; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x – 2) – 1 hay y = 2x – 5.

Vậy M(2; −1) là điểm cần tìm.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 và đồ thị hàm số y = 10 – x² là nghiệm của phương trình: (x² – 1)² – 3 = 10 – x²

Û x⁴ – 2x² + 1 – 3 = 10 – x²

Û x⁴ – x² – 12 = 0

Û (x² + 3)(x² – 4) = 0

Û x² – 4 = 0 (do x² + 3 > 0 với mọi x)

Û x = 2 hoặc x = −2.

Với x = 2, ta có tọa độ giao điểm A(2; 6).

Với x = −2, ta có tọa độ giao điểm B(−2; 6).

Có y' = [(x² – 1)² – 3]' = 2(x² – 1)(x² – 1)' = 4x(x² – 1).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(2) = 4×2×(2² – 1) = 24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6) là:

y = 24(x – 2) + 6 hay y = 24x – 42.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(−2) = 4×(−2)×[(−2)² – 1] = −24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6) là:

y = −24(x + 2) + 6 hay y = −24x – 42.

Vậy y = 24x – 42 và y = −24x – 42 là hai tiếp tuyến cần tìm.

Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = x't=8sin2πt+π3'

=8.2πt+π3'cos2πt+π3

=82πcos2πt+π3

Gia tốc của vật tại thời điểm t là

a(t) = v't=82πcos2πt+π3'

=−82πsin2πt+π3.2πt+π3'

=−16π2sin2πt+π3

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

v5=82πcos52π+π3≈−10,5m/s.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

 a5=−16π2sin52π+π3≈150,8m/s².

Tại thời điểm đó vật đang chuyển động theo hướng từ phải sang trái (hướng tới vách chắn cố định).