Trắc nghiệm Bài tập cuối chương II lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Ta có \(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{1000 - 8}}{4} + 1 = 249\).

Tổng S₁ = 2 + 2² + ...+ 2¹⁰ là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với u₁ = 2; q = 2.

Do đó \({S_1} = \frac{{2\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2046\).

Vậy S = 2046 + 10 = 2056.

Cấp số cộng có u₁ = 1 và công sai d = 3.

Ta có u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + 3(n – 1) = 3n – 2.

Ta có \(\frac{{{u_2}}}{4} = \frac{{64}}{{{u_2}}}\)\( \Leftrightarrow u_2^2 = 4.64 = 256\). Vì q > 0 nên u₂ = 16.

Xét a_{n + 1} – a_n = (n + 1)² – n² = 2n + 1 > 0, ∀n Î ℕ^* nên dãy số tăng.

b_{n + 1} – b_n = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0, ∀n Î ℕ^* nên dãy số tăng.

c_{n + 1} – c_n = \(\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\)∀n Î ℕ^* nên dãy số giảm.

d_{n + 1} – d_n = 3^{n + 1} – 3ⁿ = 2.3ⁿ > 0, ∀n Î ℕ^* nên dãy số tăng.

Vậy dãy số giảm là dãy (c_n).

Ta có \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 10\left( {1 - {{\left( { - 3} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = - 610\)

Û 1 – (−3)ⁿ = 244 Û (−3)⁵ = −243 Û n = 5.

Thay lần lượt n = 1; n = 2; n = 3; n = 4; n = 5 ta được

u₁ = −1; u₂ = 1; u₃ = 3; u₄ = 5; u₅ = 7.

Giả sử 4 góc A, B, C, D với (A < B < C < D) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ta có

$\left\{\begin{array}{c}\text{A + B + C + D = 360}°\\ \text{D = 27A}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\text{A}\left({\text{1 + q + q}}^{\text{2}}{\text{+ q}}^{\text{3}}\right)\text{ = 360}°\\ {\text{Aq}}^{\text{3}}\text{= 27A}\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{c}\text{A = 9}°\\ \begin{array}{l}\text{q = 3}\\ \text{D = 243}°\end{array}\end{array}\right.\Rightarrow \text{A + D = 252}°$

Theo đề ta có u₁ – u₅ = 20 Û u₁ – (u₁ + 4d) = 20 Û d = −5.

Giả sử trồng được n hàng cây (n ³ 1, n Î ℕ).

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u₁ = 1 và công sai d = 1.

Theo giả thiết \({S_n} = 820\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 820\)Û n(n + 1) = 1640

Û n² + n – 1640 = 0 Û n = 40 hoặc n = −41.

So với điều kiện, suy ra n = 40. Vậy có tất cả 40 hàng cây.

Ta có 3 năm bằng 12 quý.

Gọi u₁; u₂; …, u₁₂ là tiền lương kĩ sư đó trong các quý.

Suy ra (u_n) là cấp số cộng với u₁ = 4,5 và d = 0,3.

Số tiền kĩ sư nhận được là \({S_{12}} = n\frac{{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2} = 12.\frac{{2.4,5 + 11.0,3}}{2} = 73,8\).

Ta có $\left\{\begin{array}{c}{\text{x}}_{\text{1}}{\text{+ x}}_{\text{2}}{\text{+ x}}_{\text{3}}\text{= m}\\ {\text{x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{3}}\text{= 8}\end{array}\right.$ mà ${\text{x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{3}}$ lập thành một cấp số nhân

Vậy 2 là một nghiệm của phương trình ta có:

${\text{2}}^{\text{3}}-{\text{m.2}}^{\text{2}}-\text{6.2}-\text{8 = 0}\Rightarrow \text{m =}-\text{3}$

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (u_n) với công bội q = 2.

Ta có u₆ = 64000 Û u₁.q⁵ = 64000 Þ u₁ = 2000.

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u_{n + 1.}

Ta có u_{n + 1} = 2048000 Þ u₁.qⁿ = 2048000 Þ 2000.2ⁿ = 2048000 Þ n = 10.

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

a) Ta có \({u_1} = 1 + \frac{1}{1} = 2\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra dãy số (u_n) là dãy số tăng.

c) Vì dãy số (u_n) là dãy số tăng nên u_n > u₁ = 2, ∀n ³ 1.

d) Dãy số (u_n) có \({u_n} = n + \frac{1}{n} > n,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số này không bị chặn trên. Suy ra dãy số không bị chặn.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

a) Cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = −1, công sai d = u₂ - u₁ = 2 – (−1) = 3.

b) Có u₅ = u₁ + 4d = −1 + 4d.

c) Có \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2.\left( { - 1} \right) + 99.3} \right) = 14750\).

d) Ta có u₂; u₄; u_6; …; u₁₀₀ gồm 50 số hạng lập thành 1 cấp số cộng có u₁ = 2; d = 6.

Suy ra u₂ + u₄ + u₆ +…+ u₉₈ + u₁₀₀ \( = {S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2.2 + \left( {50 - 1} \right).6} \right) = 7450\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai; d) Đúng.

Số tiền đầu tư mỗi lần được tính theo cấp số nhân với u₁ = 20000 và q = 2.

a) Số tiền đầu tư lần thứ hai là u₂ = 20000.2 = 40000 đồng.

b) Số tiền anh lỗ ở lần thứ 9 là u₉ = u₁.q⁸ = 20000.2⁸ = 5120000 đồng.

c) Số tiền đã lỗ trong 5 lần đầu là:

\({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 620000\).

d) Vì anh An lỗ hết cả 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền lỗ là:

\({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000\).

Số tiền anh lời trong lần thứ 10 là: u₁₀ = u₁.q⁹ = 10240000.

Ta có u₁₀ – S₉ = 20000 > 0 nên anh An lời 20000.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

a) Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lần lượt là u₁ = 5; q = 2.

b) Có u₅ = u₁.q⁴ = 5.2⁴ = 80.

c) Có \({S_8} = {u_1}.\frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = 5.\frac{{1 - {2^8}}}{{1 - 2}} = 1275\).

d) Ta có u_n = u₁.q^{n – 1} Û 163840 = 5.2^{n – 1} Û 2^{n – 1}  = 2¹⁵ Û n – 1 = 15 Û n = 16.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = \frac{{50}}{2}\left( {2.5 + 49d} \right) = 5150 \Rightarrow d = 4\).

b) Có u_n = u₁ + (n – 1)d = 5 + (n – 1). 4 = 1 + 4n.

Do đó u₈₅ = 1 + 4.85 = 341.

c) u₁₀ = 1 + 4.10 = 41.

d) \({S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}\left( {2.5 + 84.4} \right) = 14705\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai; d) Đúng.

Theo cách 1: Tổng số tiền phải trả sau một năm là S₁ = 5 + 0,9.12 = 15,8 triệu đồng.

Khi đó số tiền lãi phải trả thêm là L₁ = 15,8 – 15 = 0,8 triệu đồng.

Theo cách 2: Số tiền phải trả hàng tháng tạo thành một cấp số cộng có u₁ = 1; d = 0,06.

Tổng số tiền phải trả sau một năm là \({S_{12}} = \frac{{12\left( {2{u_1} + 11d} \right)}}{2} = \frac{{12\left( {2.1 + 11.0,06} \right)}}{2} = 15,96\) triệu đồng.

Khi đó, số tiền lãi phải trả thêm là L₂ = 15,96 – 15 = 0,96 triệu đồng.

Vậy L₂ – L₁ = 0,96 – 0,8 = 0,16.

Trả lời: 0,16

Gọi u_n là số ghế ở dãy thứ n, suy ra (u_n) là một cấp số cộng với d = 4, u₁₀ = 45.

Ta có u₁₀ = u₁ + 9d Û u₁ = u₁₀ – 9d = 45 – 9.4 = 9.

Vậy số ghế trong hội trường là \(S = \frac{{10}}{2}\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right) = 5\left( {9 + 45} \right) = 270.\)

Trả lời: 270.

Theo bài ra u₁; u₂; ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu, lập thành cấp số nhân với u₁ = 1024, công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên \({u_8} = {u_1}.{q^7} = 1024.\frac{1}{{{2^7}}} = 8\) cm.

Trả lời: 8.

Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu, khi đó b; a; c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội q. Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{a + c = 2b}}}\\{{\rm{a = bq; c = b}}{{\rm{q}}^{\rm{2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{bq + b}}{{\rm{q}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2b}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{b = 0}}}\\{{{\rm{q}}^{\rm{2}}}{\rm{ + q}} - {\rm{2 = 0}}}\end{array}} \right.\).

Nếu b = 0Þ a = b = c = 0 nên a; b; c là cấp số cộng công sai d = 0 (vô lý)

Nếu q² + q – 2 = 0\( \Leftrightarrow \)q = 1 hoặc q = −2

Nếu q = 1 Þ a = b = c (vô lý), do đó q = −2.

Trả lời: −2.

Ta có \({u_n} = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin n - \frac{1}{2}\cos n} \right) = 2\sin \left( {n - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Suy ra −2 £ u_n £ 2.

Do đó m = −2; M = 2. Vậy m + M = 0.

Trả lời: 0.