Đề kiểm tra Bài tập cuối chương II lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
Một dãy số không đổi thì bị chặn.
Chọn D
Cho dãy số\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}, \ldots \) (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Công thức tồng quát của dãy số đã cho là
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
\[{u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{2^{n - 1}}}}\].
\({u_n} = \frac{1}{{2n}}\).
\({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Chọn D
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n + 6\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 3\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). là cấp số cộng với công sai \(d = 6\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 3\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với cộng bội \(q = 6\).
Chọn A
Ta có: \[{S_{100}} = \frac{{100}}{2}[2.1 + (100 - 1).2] = 10000\] \[{u_n} - {u_{n - 1}} = (3x + 6) - [3(n - 1) + 6] = 3\]
Suy ra dãy số (\[{u_n}\]) là cấp số cộng với công sai d = 3
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
\({u_1} = - 1,{u_{n + 1}} = u_n^2\).
\({u_1} = - 1,{u_{n + 1}} = 2{u_n}\).
\({u_1} = - 1,{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\).
\({u_1} = - 1,{u_{n + 1}} = {u_n} - 2\).
Chọn B
Tổng 100 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n - 1\) là
199.
\({2^{100}} - 1\).
10000.
9999.
Chọn C
Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_1} = 2.1 - 1 = 1\\{u_n} - {u_{n - 1}} = (2n - 1) - [2(n - {u_n}1) - 1] = 2\end{array}\]
Vậy (\({u_n}\)) là cấp số cộng với \({u_1} = 1\)và công sai d=2
Suy ra \[{S_{100}} = \frac{{100}}{2}[2.1 + (100 - 1).2] = 10000\]
Khẳng định nào sau đây là sai?
Dãy số có \({u_{n + 1}} = a{.3^{n + 1}}\).
Hiệu số \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3.a\).
Với \(a > 0\) thì dãy số tăng.
Với \(a < 0\) thì dãy số giảm.
Chọn B
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = a{.3^{n + 1}} - a{.3^n} = a{.3^n}\left( {3 - 1} \right) = 2a{.3^n}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n - 1\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số
Bị chặn trên bởi 1.
Giảm.
Bị chặn dưới bởi 2.
Tăng.
Chọn D
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0\) nên \({u_{n + 1}} > {u_n}\) vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 3\] và công sai \[d = 7\]. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\) đều lớn hơn \(2018\)?
\(287\).
\(289\).
\(288\).
\(286\).
Chọn B
Ta có: \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\]\[ = 3 + 7\left( {n - 1} \right)\]\[ = 7n - 4\]; \({u_n} > 2018\)\( \Leftrightarrow 7n - 4 > 2018\)\( \Leftrightarrow n > \frac{{2022}}{7}\)
Vậy \(n = 289\).
Xác định số hàng đầu \[{u_1}\] và công sai \[d\] của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \({u_9} = 5{u_2}\) và \({u_{13}} = 2{u_6} + 5\).
\[{u_1} = 3\] và \[d = 4\].
\[{u_1} = 3\] và \[d = 5\].
\[{u_1} = 4\] và \[d = 5\].
\[{u_1} = 4\] và \[d = 3\].
Chọn A
Ta có: \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\]. Theo đầu bài ta có hpt: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} \right)\\{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} - 3d = 0\\{u_1} - 2d = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.\].
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\), \({u_{14}} = 18\). Tính tổng \[16\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
\({S_{16}} = - 24\).
\({S_{16}} = 26\).
\({S_{16}} = - 25\).
\({S_{16}} = 24\).
Chọn D
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).
Khi đó, \({S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right).16}}{2}\) \( = 8\left( { - 42 + 45} \right) = 24\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]biết \[{u_5} = 18\] và \[4{S_n} = {S_{2n}}\]. Tìm số hạng đầu tiên \[{u_1}\]và công sai \[d\]của cấp số cộng.
\[{u_1} = 2\];\[d = 4\].
\[{u_1} = 2\]; \[\,d = 3\].
\[{u_1} = 2\]; \[d = 2\].
\[{u_1} = 3\];\[d = 2\].
Chọn A
Ta có: \[{u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\]\[\left( 1 \right)\].
\[4{S_n} = {S_{2n}}\]\[ \Leftrightarrow 4\left[ {n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}} \right] = \left[ {2n{u_1} + \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)d}}{2}} \right]\]\[ \Leftrightarrow 4{u_1} + 2nd - 2d = 2{u_1} + 2nd - d\]\[ \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0\] \[\left( 2 \right)\].
Từ \[\left( 1 \right)\]và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[{u_1} = 2\];\[d = 4\].
Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng \(28\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(276\). Tích của bốn số đó là :
\(585\).
\(161\).
\(404\).
\(276\).
Chọn A
Gọi \(4\) số cần tìm là \(a - 3r\), \(a - r\), \[a + r\], \(a + 3r\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 3r + a - r + a + r + a + 3r = 28\\{\left( {a - 3r} \right)^2} + {\left( {a - r} \right)^2} + {\left( {a + r} \right)^2} + {\left( {a + 3r} \right)^2} = 276\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\{r^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\r = \pm 2\end{array} \right.\).
Bốn số cần tìm là \(1\), \(5\), \(9\), \(13\) có tích bằng \(585\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho cấp số cộng\(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
a) \(d = 3\) là công sai của cấp số
b) \({u_1} = 1\) là số hạng đầu của dãy số
c) Công thức tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 3n - 3\)
d)Tổng\(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}} = 623015\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) b) Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)
c) Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).
d) Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \frac{1}{3}\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}{u_n}\) .
a) Dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\)là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \(\frac{1}{3}\)
b) Dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\)là một cấp số nhân có công bội \(q = \frac{1}{3}\).
c) Dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\)là một cấp số nhân có công bội\(q = \frac{1}{2}\).
d) Tổng \(S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = \frac{{29534}}{{59059}}\) .
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\frac{{{u_n}}}{n}\),trong đó\(\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}\)
Suy ra dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\)là một cấp số nhân có số hạng đầu\(\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}\), công bội\(q = \frac{1}{3}\).
\(S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{3}.\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{10}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{3^{10}} - 1}}{{{3^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}}\).
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
a) Số hạng đầu của dãy số là \({u_1} = 1\)
b) Công sai của cấp số cộng là \(d = 2\)
c) Số hạng thứ 5 của dãy số là \(13\)
d) Tổng\(S = {u_5} + {u_7} + \ldots + {u_{2011}} = 4028057\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) b) c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {u_1} = 1,d = 3\);\({u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 12 = 13\)
d) Ta có \({u_5},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành CSC với công sai \(d = 6\) và có 1003 số hạng nên \(S = \frac{{1003}}{2}\left( {2{u_5} + 1002.6} \right) = 3028057\).
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi
a) Số hạng thứ 3 của dãy là 17
b) Tổng 6 số hạng đầu của dãy là 297
c) Ta có \({u_n} = {5.2^{n - 1}} - 3\) với \(\forall n \ge 2\);
d) Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là \({u_{11}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) b) Ta có 6 số hạng đầu của dãy là:
\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 7,{u_3} = 17,{u_4} = 37,{u_5} = 77,{u_6} = 157\)
c) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 2\) ta có: \({u_2} = 5.2 - 3 = 7\) (đúng)
Giả sử \({u_k} = {5.2^{k - 1}} - 3\), khi đó ta có:
\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{{5.2}^{k - 1}} - 3} \right) + 3 = {5.2^k} - 3\)
Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
d) Ta có \({u_n} < 1000 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} < \frac{{1003}}{5}\).
Mà \({2^9}\) là lũy thừa lớn nhất của 2 lớn nhất có 3 chữ số nên ta có:
\({2^{n - 1}} = {2^9} \Rightarrow n = 10\).
Vậy \({u_{10}}\) là số hạng cần tìm.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho dãy số \(({u_n})\)biết \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}} \right]\). Tìm số hạng \({u_6}\).
Thế trực tiếp: \({u_6} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6}} \right] = 8\).
Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.
3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, ta gọi 3 góc đó là: \[a;{\rm{ }}a + d;{\rm{ }}a + 2d{\rm{ }}\left( {a,d{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)\]
Ta có: a+(a+d)+(a+2d)=180°⇔3a+3d=180°⇔a+d=60° (1)
Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng 90o. Suy ra a+2d=90° (2)
Từ (1) và (2), ta tính được a=30°,d=30°
Vậy số đo 3 góc là 30°;60°;90°
Cho ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Vì 3 số \[m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p\] theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.
Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có: \(n = m + d,p = n + d\)
Ta có: \({2^n} = {2^{m + d}} = {2^m} \cdot {2^d}\) và \({2^p} = {2^{n + d}} = {2^n}{.2^d}\)
Vậy \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là \({2^d}\)
Cho dãy số \(({u_n})\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy?
Giả sử \({u_n} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)\)\( \Leftrightarrow n = 250\).
Vậy \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số \(({u_n})\).
Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1 ; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2 ; cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.
Số ô trên các vòng là: \({u_1} = 6;{u_2} = 12;{u_3} = 18\)
Ta thấy \({u_{n + 1}} = {u_n} + 6\)
Vậy các ô trên vòng tạo thành cấp số cộng có công sai là 6
Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân.
Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là \(415\;Hz\) và \(466\;Hz\). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
Do tần số của ba phím Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: \(a,aq,a{q^2}\)
Ta có: \(a = 415\) và \(a{q^2} = 466\). Nên \(q = 1,06\)
Suy ra: \(aq = 440\)
Vậy tần số của phím La là \(440\;Hz\)
