Đề kiểm tra Bài tập cuối chương II lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d =  - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 21\\d = 3\end{array} \right.\).

Khi đó, \({S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right).16}}{2}\) \( = 8\left( { - 42 + 45} \right) = 24\).

Chọn A

Ta có: \[{u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\]\[\left( 1 \right)\].

\[4{S_n} = {S_{2n}}\]\[ \Leftrightarrow 4\left[ {n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}} \right] = \left[ {2n{u_1} + \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)d}}{2}} \right]\]\[ \Leftrightarrow 4{u_1} + 2nd - 2d = 2{u_1} + 2nd - d\]\[ \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0\] \[\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\]và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[{u_1} = 2\];\[d = 4\].

Chọn A

Gọi \(4\) số cần tìm là \(a - 3r\), \(a - r\), \[a + r\], \(a + 3r\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 3r + a - r + a + r + a + 3r = 28\\{\left( {a - 3r} \right)^2} + {\left( {a - r} \right)^2} + {\left( {a + r} \right)^2} + {\left( {a + 3r} \right)^2} = 276\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\{r^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\r =  \pm 2\end{array} \right.\).

Bốn số cần tìm là \(1\), \(5\), \(9\), \(13\) có tích bằng \(585\).

a) b) Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

c) Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).

d) Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)

Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\frac{{{u_n}}}{n}\), trong đó \(\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}\)

Suy ra dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \(\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}\), công bội \(q = \frac{1}{3}\) .

\(S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{3}.\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{10}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{3^{10}} - 1}}{{{3^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}}\).

a) b) c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {u_1} = 1,d = 3\);\({u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 12 = 13\)

d) Ta có \({u_5},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành CSC với công sai \(d = 6\) và có 1003 số hạng nên \(S = \frac{{1003}}{2}\left( {2{u_5} + 1002.6} \right) = 3028057\).

a) b) Ta có 6 số hạng đầu của dãy là:

\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 7,{u_3} = 17,{u_4} = 37,{u_5} = 77,{u_6} = 157\)

c) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 2\) ta có: \({u_2} = 5.2 - 3 = 7\) (đúng)

Giả sử \({u_k} = {5.2^{k - 1}} - 3\), khi đó ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{{5.2}^{k - 1}} - 3} \right) + 3 = {5.2^k} - 3\)

Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

d) Ta có \({u_n} < 1000 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} < \frac{{1003}}{5}\).

Mà \({2^9}\) là lũy thừa lớn nhất của 2 lớn nhất có 3 chữ số nên ta có:

\({2^{n - 1}} = {2^9} \Rightarrow n = 10\).

Vậy \({u_{10}}\) là số hạng cần tìm.

Thế trực tiếp: \({u_6} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6}} \right] = 8\).

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, ta gọi 3 góc đó là: \[a;{\rm{ }}a + d;{\rm{ }}a + 2d{\rm{ }}\left( {a,d{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)\]

Ta có: $a+(a+d)+(a+2d)={180}^{°}\iff 3a+3d={180}^{°}\iff a+d={60}^{°}\text{ (1) }$

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng 90^o. Suy ra $a+2d={90}^{°}$ (2)

Từ (1) và (2), ta tính được $a={30}^{°},d={30}^{°}$

Vậy số đo 3 góc là ${30}^{°};{60}^{°};{90}^{°}$

Vì 3 số \[m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p\] theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có: \(n = m + d,p = n + d\)

Ta có: \({2^n} = {2^{m + d}} = {2^m} \cdot {2^d}\) và \({2^p} = {2^{n + d}} = {2^n}{.2^d}\)

Vậy \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là \({2^d}\)

Giả sử \({u_n} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)\)\( \Leftrightarrow n = 250\).

Vậy \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số \(({u_n})\).

Số ô trên các vòng là: \({u_1} = 6;{u_2} = 12;{u_3} = 18\)

Ta thấy \({u_{n + 1}} = {u_n} + 6\)

Vậy các ô trên vòng tạo thành cấp số cộng có công sai là 6

Do tần số của ba phím Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: \(a,aq,a{q^2}\)

Ta có: \(a = 415\) và \(a{q^2} = 466\). Nên \(q = 1,06\)

Suy ra: \(aq = 440\)

Vậy tần số của phím La là \(440\;Hz\)