Đề kiểm tra Bài tập cuối chương II lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Ta có \({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}\frac{{{2^3}}}{3} =  - \frac{8}{3}\)

Chọn D

Dãy số : \(1;{\rm{ }} - {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} - {x^6}{\rm{; }}...\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1;{\rm{ }}\) công bội \(q =  - {x^2}\).

Chọn D

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d,{\rm{   }}\forall n \ge 1,{\rm{ }}d = const\)

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: \({u_n} = 2n - 3,{\rm{   }}n \ge 1\) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 2n - 3\\{u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 = 2n - 1\end{array} \right. \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 2 = const\)

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)

a) b) Năm số hạng đầu của cấp số là:

\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

c) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).

d) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

Theo công thức truy hồi của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3n - 2\).

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)\( \Rightarrow {v_n} = 3n - 2\).

Ta có \({v_{n + 1}} - {v_n}\)\( = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 2} \right] - \left( {3n - 2} \right)\)\( = 3\),\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 3.1 - 2 = 1\) và công sai \(d = 3\).

Ta lại có: \({u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) + ... + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)\( = {v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1} + 2\).

Mà \({v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1} = {S_{n - 1}}\)\( = \frac{{n - 1}}{2}\left[ {2{v_1} + \left( {n - 2} \right)d} \right]\)\( = \frac{{\left[ {2 + 3\left( {n - 2} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2}\)\( = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2} + 2\)\( \Rightarrow {u_{101}} = \frac{{100.299}}{2} + 2 = 14952\).

Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5.

Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\)

\({u_3} = 2{u_2} + 3{u_1} + 5 = 12\) \({u_4} = 2{u_3} + 3{u_2} + 5 = 35\) \({u_5} = 2{u_4} + 3{u_3} + 5 = 111\)

\({u_6} = 2{u_5} + 3{u_4} + 5 = 332\) \({u_7} = 2{u_6} + 3{u_5} + 5 = 1002\) \({u_8} = 2{u_7} + 3{u_6} + 5 = 3005\)

Theo tính chất cấp số cộng ta có: \(\left( {10 - 3x} \right) + \left( {7 - 4x} \right) = 2\left( {2{x^2} + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow 17 - 7x = 4{x^2} + 6 \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee {\rm{ }}x = - \frac{{11}}{4}\).

\[{u_n} = 4 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 10} \right) = - 10{\rm{ }}n + 14\]

Vậy công thức số hạng tổng quát \({u_n} = - 10n + 14\)

Dân số qua các năm là:

\(\begin{array}{l}{u_{2011}} = P\\{u_{2012}} = P + aP = P(1 + a) = {u_{2011}} \cdot (1 + a)\\{u_{2013}} = P(1 + a) + aP(1 + a) = P{(1 + a)^2} = {u_{2012}} \cdot (1 + a)\\ \ldots ..\\{u_{n + 1}} = {u_n}(1 + a)\end{array}\)

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là \[1 + a\]

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_2} = {u_1} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3\\...\\{u_{50}} = {u_{49}} + 2.50\end{array}\)

Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:

\({u_{50}} = \frac{1}{2} + 2.(2 + 3 + \,...\, + 50) = \frac{1}{2} + 2.\sum\limits_{x = 2}^{50} {x = 2548,5} \)

Vì có $v_n=u_n+3\text{ (1) }\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}+3\text{ (2)}$

Theo đề \({u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9 \Rightarrow {u_{n + 1}} + 3 = 4\left( {{u_n} + 3} \right)\) (3).

Thay (1) và (2) vào (3) được: \({v_{n + 1}} = 4{v_n},\forall n \ge 1 \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4\)(không đổi). Kết luận \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và số hạng đầu \({v_1} = {u_1} + 3 = 5\).