Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( ĐỀ 5 )

Tìm các nghiệm $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ của phương trình sau

$$\begin{gathered} 4{\sin }^2\left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{x}}{2}\right)-\sqrt{3}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2x\right) \\ =1+2{\cos }^2\left(x-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right) \end{gathered}$$

Cho khai triển nhị thức: ${\left(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\frac{b^2\sqrt[3]{b^2}}{a\sqrt[3]{a^2}}\right)}^{3n}$ với

$a\ne 0;b\ne 0$. Hãy xác định hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng $-\frac{1}{2}$ biết rằng

$$\begin{gathered} 3C_{24}^0-\frac{1}{2}{C}_{2n}^1+C_{2n}^2 \\ -\frac{1}{4}{C}_{2n}^3+...+ \\ \frac{3}{2n+1}{C}_{2n}^{2n}=\frac{10923}{5} \end{gathered}$$

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n > 4 ). Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ.

Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

Tính giới hạn

$$\begin{gathered} lim\left(1-\frac{2}{2.3}\right)\left(1-\frac{2}{3.4}\right) \\ ....\left(1-\frac{2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right) \end{gathered}$$

Tính giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

Cho hàm số $y=\frac{x^3}{3}\sin \left(3x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$. Tính đạo hàm y’.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R. Gọi $M\in \left(C\right)$ và $N\in \left(C\text{'}\right):x^2+y^2-2x-4=0$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{IA}$. Gọi $y_M,y_N$ lần lượt là tung độ các điểm M, N. Hỏi mệnh đề nào sai?

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; AD = b; AA' = c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD’

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số

$y=a{x}^3+b{x}^2+c$. Phương án nào sau đây là đúng?

Tìm giá trị của m để hàm số $y=\frac{m{x}^2+2x+1}{x+1}$ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Cho hàm số

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x^9}{9}-\frac{x^8}{8}+\frac{x^6}{6} \\ -\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \\ +x+2017 \end{gathered}$$

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tìm điều kiện của a,b để hàm số

$y={\left(x+a\right)}^3+{\left(x+b\right)}^3-x^3$ có cực trị

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn

$$\begin{gathered} \left(C_m\right):x^2+y^2-2mx \\ -4my+5m^2-1=0 \end{gathered}$$

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{3};\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right]$. Tính Mm

Một đường dây điện nối một nhà máy điện từ A đến một hòn đảo tại C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C ít tốn kém nhất?

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2+x}}{x-1}$

Cho hàm số $y=x^3-2m{x}^2+m^{2}x+1-m$ có đồ thị (Cm). Tìm giá trị nguyên của m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành

Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị $\left(C\right):y=x^3-3x^2+4$ và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x + 2

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ và $g\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho ${\log }_2\left(3\right)=a;{\log }_2\left(5\right)=b$. Hãy tính ${\log }_3\left(125\right)$

Cho ${\log }_{12}\left(6\right)=a;{\log }_{12}\left(7\right)$. Hãy tính ${\log }_2\left(7\right)$

Tìm số nghiệm nguyên của phương trình

$$\begin{gathered} x^{{\log }^2\left(x\right)+\log \left(x^3\right)+3} \\ =\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}-1}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}}} \end{gathered}$$

Tìm miền xác định của hàm số

$y=\ln \left(\sqrt{8^{-2+\log \left(x\right)}}-\sqrt[3]{4^{2-\log \left(x\right)}}\right)$

Tìm m để phương trình

$$\begin{gathered} 3{\log }_{27}\left(2x^2-x+2m-4m^2\right) \\ +{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(x^2+mx-2m^2\right)=0 \end{gathered}$$

có hai nghiệm $x_1;x_2$ sao cho ${x_1}^2+{x_2}^2>1$

Cho x; y; z; t $\in \left(\frac{1}{4};1\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$\begin{gathered} P:={\log }_x\left(y-\frac{1}{4}\right)+{\log }_y\left(z-\frac{1}{4}\right) \\ +{\log }_z\left(t-\frac{1}{4}\right)+{\log }_t\left(x-\frac{1}{4}\right) \end{gathered}$$

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

Giả sử $S=a\ln \left(\frac{b}{c}\right)-1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ với các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng?

Giả sử rằng

$$\begin{gathered} \int \left(x-2\right)\sin \left(3x\right)dx \\ =-\frac{\left(x-m\right)\cos \left(3x\right)}{n} \\ +\frac{1}{p}\sin \left(3x\right)+C \end{gathered}$$

Tính giá trị của m + n + p

Cho f là một hàm số. Tìm số thực a > 0 sao cho $\forall x>0$

${\int }_a^x\frac{f\left(t\right)}{t^2}dt+6=2\sqrt{x}$

Cho f(x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi $x\in \left[0;a\right]$ ta có và f(x) = f ( a - x ) = 1 Hãy tính $I={\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$ theo a.

Hàm số $f\left(x\right)={\int }_{e^x}^{e^{2x}}t\ln \left(t\right)dt$

Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y = x; y = 2 - x; x = 0. Khi quay S quanh Ox, Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là $V_x;V_y$. Hãy lựa chọn phương án đúng?

Một khu rừng có trữ lượng gỗ $4.{10}^5\left(m^3\right)$. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ? (Lấy số gần đúng).

Cho $n\in \mathrm{\mathbb{N}};n>3$ thỏa mãn phương trình

$$\begin{gathered} {\log }_4\left(n-3\right)+{\log }_4\left(n+9\right) \\ =3 \end{gathered}$$

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z={\left(1+i\right)}^n$

Cho phương trình

$8z^2-4\left(a+1\right)z+4a+1=0$

với a là tham số. Tìm $a\in \mathrm{ℝ}$ để phương trình có hai nghiệm $z_1;z_2$ thỏa mãn $\frac{z_1}{z_2}$là số ảo, trong đó $z_2$ là số phức có phần ảo dương.

Gọi $z_1;z_2;z_3;z_4$ là các nghiệm của phương trình $\left(z^2+1\right)\left(z^2-2z+2\right)$ Hãy tính

$$\begin{gathered} S={z_1}^{2018}+{z_2}^{2018} \\ +{z_3}^{2018}{+z_4}^{2018} \end{gathered}$$

Cho ba số phức a,b,c phân biệt, khác 0 và thỏa mãn $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$. Biết một nghiệm của phương trình $a{z}^2$ + bz + c = 0 có môđun bằng 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A sao cho BC = AC' = 5a và AC = 4a. Tính thể tích hình lăng trụ.

Một hộp đựng quả bóng tennis được thiết kế có dạng hình trụ sao cho đáy hộp là đường tròn bằng với đường tròn lớn của quả bóng và chứa đúng 5 quả bóng (khi đậy nắp hộp thì nắp hộp tiếp xúc với quả bóng trên cùng). Cho biết chiều cao của hộp là 25 cm. Tính diện tích một quả bóng tennis.

Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là tam giác đều, cạnh a. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp hình nón

Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 4; AD = 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB và CD. Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta thu được hình trụ tròn xoay. Tính thể tích của hình trụ tròn xoay.

Cho hình lập phương (L) và hình trụ (T) có thể tích lần lượt là $V_1$ và $V_2$. Cho biết chiều cao của (T) bằng đường kính đáy và bằng cạnh của (L). Hãy chọn phương án đúng.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

$$\begin{gathered} \left(S\right)=x^2+y^2+z^2 \\ +4y-2z-4=0 \end{gathered}$$

và mặt phẳng (a): x + y + 2z - 8 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A ( 0;0;0 ); B( a;0;0 ); D ( 0;a;0 ); A' ( 0;0;a ). Xét các mệnh đề sau:(I): x + y + z - a = 0 là phương trình mặt phẳng (A’BD). (II): x + y + z - 2a = 0 là phương trình mặt phẳng (CB’D). Hãy chọn mệnh đề đúng.

Trong không gian Oxyz, cho $∆ABC$ có A ( 1;1;0 ); B ( 0;2;1 ); G ( 0;2;-1 ) và trọng tâm .Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm M sao cho $\widehat{AMB}={90}^o$ với A ( 2;-1;-3 ); B ( 0;-3;5 )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-2}$ và mặt phẳng (P): x + 2y + z - 6 = 0. Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng $∆$ cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (Q)