Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Ta có: 2x – y = 4 nên y = 2x – 4.

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S= { ( x; 2x – 4)|x$\in$R}.

Chọn B.

+) Gọi đường thẳng d1 biểu diễn tập nghiệm phương trình: 4x – 6y = 8 và đường thẳng d2 biểu diễn tập nghiệm của phương trình $3x-6y=\frac{23}{3}$.

Ta có:  $\frac{4}{3}\ne \frac{-6}{-6}$ nên 2 đường thẳng d1 và d2 cắt nhau, suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

+) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}4x-6y=8\\ 3x-6y=\frac{23}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ 3x-6y=\frac{23}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ 3.\frac{1}{3}-6y=\frac{23}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{10}{9}\end{array}\right.$

Suy ra tập nghiệm của hệ phương trình là: $S=\left\{\left(\frac{1}{3};-\frac{10}{9}\right)\right\}$

Vậy các phương án A, B, D đúng và phương án C sai. Đáp án là C.

Thay x = 0 vào phương trình tính được $y=-\frac{1}{2}$, thay y = 0 vào phương trình tính được $x=\frac{1}{3}$ nên $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{3};0\right)$ là hai nghiệm của phương trình và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình đi qua hai điểm có tọa độ là $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{3};0\right)$.

Đáp án B

Cách 1. Ta có:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ -x+y=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ -2x+2y=4\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ 5y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-2}{5}\\ y=\frac{8}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(\frac{-2}{5};\frac{8}{5}\right)$

Cách 2. Ta có:

$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 1\end{array}\right|=2.1-(-1).3=5 \\ {D}_x=\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=4.1-2.3=-2; D_y=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& 2\end{array}\right|=2.2-(-1).4=8 \\ \Rightarrow x=\frac{D_x}{D}=\frac{-2}{5}; y=\frac{D_y}{D}=\frac{8}{5} \end{gathered}$$

Chọn D

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}2x-5y+z=10\\ x+2y-3z=10\\ 5y-z=-6\end{array}\right.\stackrel{\left(1\right)+\left(3\right)}{\to }\left\{\begin{array}{c}2x-5y+z=10\\ x+2y-3z=10\\ 2x=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}4-5y+z=10\\ \begin{array}{l}2+2y-3z=10\\ x=2\end{array}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}-5y+z=6\\ \begin{array}{l}2y-3z=8\\ x=2\end{array}\end{array}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}-15y+3z=18\\ 2y-3z=8\\ x=2\end{array}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}-13y=26\\ 2y-3z=8\\ x=2\end{array}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ z=-4\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( 2; -2; -4).

Chọn C,

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi hệ $\left\{\begin{array}{c}2x+3y=1\left(1\right)\\ x-y=2\left(2\right)\\ mx+(2m+1)y=2\left(3\right)\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ gồm hai phương trình (1) và (2) :

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=1 \left(1\right)\\ x-y=2 \left(2\right)\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ 2x-2y=4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ 5y=-3\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{5}\\ y=\frac{-3}{5}\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Hệ này có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{7}{5};-\frac{3}{5}\right)$.

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì $\left(\frac{7}{5};-\frac{3}{5}\right)$ cũng là nghiệm của phương trình (3), tức là

$$\begin{gathered} m.\frac{7}{5}+\left(2m+1\right).\frac{-3}{5}=2\iff 7m-3\left(2m+1\right)=10 \\ \iff 7m-6m-3=10\iff m=13 \end{gathered}$$ .

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1$

Hệ có nghiệm duy nhất khi $D\ne 0\iff m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

Chọn C.

*  Ta có:  $D=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1 ; D_x=Dy=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ m& m\end{array}\right|=m^2-m$

Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm thì: 

$\left\{\begin{array}{l}D=m^2-1=0\\ D_x=m^2-m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\pm 1\\ \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\iff m=-1\\ m\ne 1\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy hệ vô nghiệm khi m = -1,

Chọn đáp án là C.

Hệ có nghiệm thì có nghiệm duy nhất, hoặc có vô số nghiệm.

 *  Ta có:  $D=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1 ; D_x=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ m& m\end{array}\right|=m^2-m ; D_y=\left|\begin{array}{cc}m& m\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-m$

 Hệ có nghiệm duy nhất khi$D\ne 0\iff m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

* Nếu m = 1 thì D = Dx = Dy = 0  nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

* N ếu m = -1 thì D = 0;  Dx = Dy = 2 nên hệ phương trình vô nghiệm.

 Vậy hệ phương  trình đã cho có nghiệm khi $m\ne -1$ chọn đáp án là B.