_GKII-L12-2025_eabbb8_16_07_2025

Hàm số F\left(x\right) là một nguyên hàm của hàm số f\left(x\right) trên khoảng K nếu

Cho hai hàm số $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có F\left(x\right), G\left(x\right) lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

$\left(I\right)$. $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)+g\left(x\right)$.

$\left(II\right)$. $k.F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $k.f\left(x\right)$ với $k\in {ℝ}^{*}$.

$\left(III\right)$. $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$.

Các mệnh đề đúng là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$. Chọn mệnh đề đúng.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và $0<a<b<c$. Chọn mệnh đề sai.

Giá trị của ${\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}2{\text{e}}^{2x}\text{d}x}$ là

{\displaystyle \int x^m\text{d}x} $\left(m\ne -1\right)$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số f\left(x\right)=1+sinx là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=a^x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ là

Nếu {\displaystyle \int f\left(x\right)\text{d}x}=\frac{1}{x}+ln\left|x\right|+C thì f\left(x\right) là

Trong các hàm số sau: $\left(\text{I}\right)$ $f\left(x\right)=\frac{1}{co{s}^{2}x}+1$; $\left(\text{I}\text{I}\right)$ $f\left(x\right)=\frac{2}{co{s}^{2}x}$; $\left(\text{I}\text{I}\text{I}\right)$ $f\left(x\right)=\frac{1}{co{s}^{2}x}$. Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số $g\left(x\right)=tanx$?

Cho hàm số y=f\left(x\right) liên tục trên \left[a;b\right]. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường congy=f\left(x\right), trục hoành và các đường thẳng x=a, x=b\left(a<b\right) được xác định bởi công thức nào sau đây?

Cho hàm số y=f\left(x\right) liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f\left(x\right), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b\left(a<b\right). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức.

Cho $F\left(x\right)$ là họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4^x$, $F\left(1\right)=\frac{3}{ln2}$. Giá trị F\left(2\right).ln2 bằng bao nhiêu?

Vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x=\pi, biết rằng mặt cắt của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x\left(0\le x\le \pi \right) là một tam giác đều cạnh 2\sqrt{sinx}. Tính thể tích của vật thể đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2-1}$, trục hoành, đường thẳng $x=3$ và quay quanh trục hoành có thể tích $V=\frac{a\pi }{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b\in \mathbb{N}*$). Tính giá trị của $a^2+b^2+591$.

Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[-3;3\right]$, hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành, $x=-3$ và $x=3$ được chia làm hai phần có diện tích $S_1$ (hình thang) và $S_2$ (tam giác vuông) như hình vẽ. Tính ${\displaystyle \underset{-3}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x}$.

Cho hàm số f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0,5x\text{k}\text{h}\text{i}0\le x<2\\ 1\text{k}\text{h}\text{i}2\le x<15\end{array}. Tính {\displaystyle \underset{0}{\overset{15}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x}.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=x^2 và y=2-x.

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được mặt cắt là hình elip có trục lớn 28 cm, trục nhỏ 25 cm. Biết cứ 1 dm³ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20 000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.