Giải VTH Toán 7 KNTT Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác có đáp án

Đáp án đúng là: C

Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC khi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Đáp án đúng là: D

H là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC, khi đó H cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Đáp án đúng là: D

H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC, khi đó, H là trực tâm của tam giác ABC và vị trí điểm H:

+ Nằm bên trong tam giác ABC khi tam giác này là tam giác nhọn;

+ Trùng với A khi tam giác ABC là tam giác vuông tại A;

+ Nằm bên ngoài tam giác ABC khi tam giác này là tam giác tù;

Vậy điểm H có thể nằm ngoài tam giác ABC.

Ta kí hiệu các đường cao AI, BJ, CK, đồng quy tại H và các góc như hình vẽ.

Trong tam giác vuông JHA có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{H_1}} = 90^\circ \).

Trong tam giác vuông KHA có \(\widehat {{H_2}} + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \),

hay \(\left( {\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}}} \right) + \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 180^\circ \), tức là \(\widehat {BHC} + \widehat {JAK} = 180^\circ \).

Ta lại có \(\widehat {JAK} = \widehat {BAC} = 100^\circ \) (đối đỉnh),

suy ra \(\widehat {BHC} = 180^\circ - \widehat {JAK} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Giả sử O nằm trên cạnh BC thì theo giả thiết, OB = OC nên O là trung điểm của BC.

Từ giả thiết OA = OB = OC nên tam giác OAB cân tại O, tam giác OAC cân tại O.

Vậy \(\widehat A = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat B + \widehat C\), mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), hay \(2\widehat A = 180^\circ \), suy ra \(\widehat A = 180^\circ \) hay tam giác ABC vuông tại A.

Để xác định được bán kính của đường viền ngoài, ta lấy ba điểm A, B, C trên đường viền ngoài, rồi dựng điểm đồng quy của ba đường trung trực của tam giác ABC, điểm đồng quy này là tâm của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. Khi đó khoảng cách từ tâm đường tròn tới bất kì một điểm trên đường viền chính là bán kính của đường viền ngoài.

Từ ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta có tam giác ABC. Điểm M cách đều A, B, C chính là giao của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Kẻ HJ ⊥ c, HJ cắt b tại B ; Kẻ HK ⊥ b, HK cắt c tại C.

Khi đó tam giác ABC có hai đường cao BJ và CK cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét ∆ABE và ∆HBE có: BE chung, \(\widehat {BAE} = \widehat {BHE} = 90^\circ \), \(\widehat {ABE} = \widehat {HBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)).

Do đó ∆ABE = ∆HBE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AE = EH (hai cạnh tương ứng).

Trong tam giác vuông EHC, ta có EC là cạnh huyền nên EH < EC, mà AE = EH (cmt), suy ra AE < EC.

Từ ∆ABE = ∆HBE, suy ra AB = HB (hai cạnh tương ứng), suy ra tam giác ABH cân tại B có BE là đường phân giác nên BE cũng là đường trung trực của AH.

Tam giác KBC có hai đường cao CA và KH cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác, do đó BE là đường cao của tam giác KBC.

Mặt khác có BE là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác trong của tam giác KBC, suy ra tam giác BKC cân tại B.