Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án
36 câu hỏi
Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28 m × 16 m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là 288 m2?
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải được bài toán trên như sau:
Theo bài, ta có điều kiện của x là 0 < x < 8.
Chiều dài của bể bơi là: 28 – x – x = 28 – 2x (m).
Chiều rộng của bể bơi là: 16 – x – x = 16 – 2x (m).
Diện tích của bể bơi theo x là:
S = (28 – 2x)(16 – 2x) = 448 – 56x – 32x + 4x2 = 4x2 – 88x + 448 (m2).
Theo bài, S = 288 m2 nên ta có phương trình: 4x2 – 88x + 448 = 288.
Giải phương trình:
4x2 – 88x + 448 = 288
4x2 – 88x + 160 = 0
x2 – 22x + 40 = 0.
Phương trình trên có a = 1; b’ = –11; c = 40 và ∆’ = (–11)2 – 1.40 = 81 nên 
Do đó, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt 
và 
Ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn điều kiện 0 < x < 16.
Vậy bề rộng của đường đi là 2 mét để diện tích của bể bơi là 288 m2.
Xét bài toán trong tình huống mở đầu.
Gọi x (m) là bề rộng của mặt đường (0 < x < 8). Tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi theo x.
Chiều dài của bể bơi là: 28 – x – x = 28 – 2x (m).
Chiều rộng của bể bơi là: 16 – x – x = 16 – 2x (m).
Dựa vào kết quả HĐ1, tính diện tích của bể bơi theo x.
Diện tích của bể bơi theo x là:
S = (28 – 2x)(16 – 2x) = 448 – 56x – 32x + 4x2 = 4x2 – 88x + 448 (m2).
Sử dụng giả thiết và kết quả HĐ2, hãy viết phương trình để tìm x.
Theo bài, diện tích của bể bơi là S = 288 m2 nên ta có phương trình:
4x2 – 88x + 448 = 288
4x2 – 88x + 160 = 0.
Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình đó.
a) x2 + 5 = 0;
b) 2x2 + 7x = 0;
c) 
d) 0,5x2 = 0.
a) Phương trình x2 + 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x với a = 1, b = 0 và c = 5.
b) Phương trình 2x2 + 7x = 0 là phương trình bậc hai ẩn x với a = 2, b = 7 và c = 0.
c) Phương trình 
không phải là phương trình bậc hai.
d) Phương trình 0,5x2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x với a = 0,5, b = c = 0.
Anh Pi nói rằng: “Phương trình (ẩn x) mx2 + 2x + 1 = 0 (m là một số cho trước) là một phương trình bậc hai với a = m, b = 2, c = 1”.
Ý kiến của em thế nào?
Ta có:
⦁ Nếu m = 0, ta có phương trình 2x + 1 = 0, đây không phải là phương trình bậc hai.
⦁ Nếu m ≠ 0, phương trình (ẩn x) mx2 + 2x + 1 = 0 là một phương trình bậc hai với a = m, b = 2, c = 1.
Vậy phương trình (ẩn x) mx2 + 2x + 1 = 0 (m là một số cho trước khác 0) là một phương trình bậc hai với a = m, b = 2, c = 1.
Giải các phương trình sau:
a) 2x2 + 6x = 0;
2x2 + 6x = 0
2x(x + 3) = 0
x = 0 hoặc x + 3 = 0
x = 0 hoặc x = –3.
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0, x2 = –3.
Giải phương trình sau:
5x2 + 11x = 0.
5x2 + 11x = 0
x(5x + 11) = 0
x = 0 hoặc 5x + 11 = 0
x = 0 hoặc 
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0, 
Giải phương trình sau:
x2 – 25 = 0;
x2 – 25 = 0
x2 = 25
x = 5 hoặc x = –5.
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 5, x2 = –5.
Giải các phương trình sau:
(x + 3)2 = 5
(x + 3)2 = 5
hoặc 
hoặc 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Cho phương trình x2 + 6x = 1.
Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó, hãy giải phương trình đã cho.
x2 + 6x = 1
x2 + 6x + 9 = 1 + 9
(x + 3)2 = 10
hoặc 
hoặc 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Thực hiện lần lượt các bước sau để giải phương trình:
2x2 – 8x + 3 = 0.
Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
2x2 – 8x + 3 = 0
2x2 – 8x = –3.
Thực hiện lần lượt các bước sau để giải phương trình:
2x2 – 8x + 3 = 0.
Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của x2.
Thực hiện lần lượt các bước sau để giải phương trình:
2x2 – 8x + 3 = 0.
Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm x.
hoặc 
hoặc 
hoặc 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình sau:
2x2 – 5x + 1 = 0;
Ta có ∆ = (–5)2 – 4.2.1 = 17 > 0.
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình sau:
x2 + 8x + 16 = 0;
Ta có ∆ = 82 – 4.1.16 = 0.
Do đó, phương trình có nghiệm kép: 
Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình sau:
x2 – x + 1 = 0.
Ta có ∆ = (–1)2 – 4.1.1 = –3 < 0.
Do đó, phương trình vô nghiệm.
Anh Pi hỏi: “Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 nếu a và c trái dấu?”
Em hãy trả lời câu hỏi của anh Pi.
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Ta có ∆ = b2 – 4ac.
Do a và c trái dấu nên ac < 0, nên – 4ac > 0, suy ra b2 – 4ac > 0 hay ∆ > 0.
Khi đó, phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt nếu a và c trái dấu.
Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:
3x2 + 8x – 3 = 0;
Ta có: a = 3, b’ = 4, c = –3 và ∆’ = 42 – 3.(–3) = 25 > 0, 
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải phương trình sau:
Ta có a = 1, b = 
c = 2 và 
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Theo bài, ta có điều kiện của x là 0 < x < 8.
Chiều dài của bể bơi là: 28 – x – x = 28 – 2x (m).
Chiều rộng của bể bơi là: 16 – x – x = 16 – 2x (m).
Diện tích của bể bơi theo x là:
S = (28 – 2x)(16 – 2x) = 448 – 56x – 32x + 4x2 = 4x2 – 88x + 448 (m2).
Theo bài, S = 288 m2 nên ta có phương trình: 4x2 – 88x + 448 = 288.
Giải phương trình:
4x2 – 88x + 448 = 288
4x2 – 88x + 160 = 0
x2 – 22x + 40 = 0.
Phương trình trên có a = 1; b’ = –11; c = 40 và ∆’ = (–11)2 – 1.40 = 81 nên 
Do đó, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
và 
Ta thấy chỉ có x2 = 2 thỏa mãn điều kiện 0 < x < 16.
Vậy bề rộng của đường đi là 2 mét để diện tích của bể bơi là 288 m2.
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a) 
b) 3x2 – 5x + 7 = 0;
c) 4x2 – 11x + 1 = 0.
Với mỗi loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím 
để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.
Tiếp theo, với từng phương trình ta thực hiện như sau:
Tìm nghiệm của phương trình | Bấm phím | Màn hình hiện | Kết luận |
|
|
| Phương trình có nghiệm kép:
|
3x2 – 5x + 7 = 0 |
|
Bấm tiếp phím
| Phương trình vô nghiệm. |
4x2 – 11x + 1 = 0 |
|
Bấm tiếp phím
| Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
|
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + x = 0 và xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó.
3x2 + 2x – 1 = x2 – x;
3x2 + 2x – 1 = x2 – x
3x2 – x2 + 2x + x – 1 = 0
2x2 + 3x – 1 = 0
Phương trình trên có a = 2, b = 3 và c = –1.
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + x = 0 và xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó.
(2x + 1)2 = x2 + 1.
(2x + 1)2 = x2 + 1
4x2 + 4x + 1 – x2 – 1 = 0
3x2 + 4x = 0.
Phương trình trên có a = 3, b = 4 và c = 0.
Giải phương trình sau:
x = 0 hoặc 
x = 0 hoặc 
x = 0 hoặc 
vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0, 
Giải phương trình sau:
(3x + 2)2 = 5
(3x + 2)2 = 5.
hoặc 
hoặc 
hoặc 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
11x2 + 13x – 1 = 0;
11x2 + 13x – 1 = 0
Ta có a = 11, b = 13, c = –1 và ∆ = 132 – 4.11.(–1) = 213 > 0.
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
9x2 + 42x + 49 = 0
9x2 + 42x + 49 = 0
Ta có a = 9, b = 42, c = 49 và ∆ = 422 – 4.9.49 = 0.
Vậy phương trình trên có nghiệm kép.
Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của phương trình sau:
x2 – 2x + 3 = 0
x2 – 2x + 3 = 0
Ta có a = 1, b = –2, c = 3 và ∆ = (–2)2 – 4.1.3 = –8 < 0.
Vậy phương trình vô nghiệm (không có nghiệm).
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình sau:
Ta có 
và 
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình sau:
4x2 + 28x + 49 = 0;
4x2 + 28x + 49 = 0
Ta có 
Do đó phương trình có nghiệm kép:
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình sau:
Ta có 
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a) 0,1x2 + 2,5x – 0,2 = 0;
b) 0,01x2 – 0,05x + 0,0625 = 0;
c) 1,2x2 + 0,75x + 2,5 = 0.
Với mỗi loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím 
để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.
Tiếp theo, với từng phương trình ta thực hiện như sau:
Tìm nghiệm của phương trình | Bấm phím | Màn hình hiện | Kết luận |
0,1x2 + 2,5x – 0,2 = 0 |
|
Bấm tiếp phím
| Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
|
0,01x2 – 0,05x + 0,0625 = 0 |
|
| Phương trình có nghiệm kép:
|
1,2x2 + 0,75x + 2,5 = 0 |
|
Bấm tiếp phím
| Phương trình vô nghiệm. |
Độ cao h (mét) so với mặt đất của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 19,6 m/s cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t2, ở đó t là thời gian kể từ khi phóng (giây) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). Hỏi sau bao lâu kể từ khi phóng, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?
Khi vật rơi trở lại mặt đất, độ cao h = 0 hay 19,6t – 4,9t2 = 0 với t > 0.
Giải phương trình:
19,6t – 4,9t2 = 0
t(19,6 – 4,9t) = 0
t = 0 hoặc 19,6 – 4,9t = 0
t = 0 hoặc 4,9t = 19,6
t = 0 hoặc t = 4
Ta thấy chỉ có giá trị t = 4 thỏa mãn điều kiện t > 0.
Vậy kể từ khi phóng sau 4 giây vật sẽ rơi trở lại mặt đất.
Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bằng độ dài đường chéo. Ti vi truyền thống có định dạng 4 : 3, nghĩa là tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của màn hình là 4 : 3. Hỏi diện tích của màn hình ti vi truyền thống 37 in là bao nhiêu? Diện tích của màn hình ti vi LCD 37 in có định dạng 16 : 9 là bao nhiêu? Màn hình ti vi nào có diện tích lớn hơn? Ở đây, các diện tích của màn hình được tính bằng inch vuông.
Tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng là 4 : 3, gọi chiều dài là 4x (in) thì chiều rộng là 3x (in) (x > 0).
Theo định lí Pythagore, ta có:
(3x)2 + (4x)2 = 372
9x2 + 16x2 = 1 369
25x2 = 1 369
x2 = 54,76
x = 7,4 hoặc x = –7,4.
Ta thấy chỉ có x = 7,4 thỏa mãn điều kiện x > 0.
Diện tích của màn hình ti vi truyền thống 37 in là:
4x . 3x = 12x2 = 12 . 54,76 = 657,12 (in2).
Tương tự, tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng là 16 : 9, gọi chiều dài là 16y (in) thì chiều rộng là 9y (in) (y > 0).
Theo định lí Pythagore, ta có:
(9x)2 + (16x)2 = 372
81x2 + 256x2 = 1 369
337x2 = 1 369
Diện tích của màn hình ti vi LCD 37 in là:
(in2).
Ta thấy 657,12 > 585.
Do đó, màn hình ti vi truyền thống có diện tích lớn hơn.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 6 m và có diện tích là 280 m2. Tính các kích thước của mảnh vườn đó.
Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x (m) (x > 0).
Chiều rộng ngắn hơn chiều dài 6 m nên chiều dài mảnh vườn là x + 6 (m).
Diện tích mảnh vườn là: x(x + 6) (m2).
Theo bài, mảnh vườn có diện tích là 280 m2 nên ta có phương trình:
x(x + 6) = 280.
x2 + 6x – 280 = 0.
Ta có ∆’ = 32 – 1.(–280) = 289 > 0 và 
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = –3 + 17 = 14, x2 = –3 – 17 = –20.
Ta thấy chỉ có giá trị x1 = 14 thỏa mãn điều kiện x > 0.
Vậy chiều rộng mảnh vườn là 14 m và chiều dài mảnh vườn là 14 + 6 = 20 (m).
