Giải SGK Toán 9 CD Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án
36 câu hỏi
Giả sử khi ném một quả bóng vào rổ, độ cao y (feet) của quả bóng và thời gian x (giây) liên hệ với nhau bởi công thức:
y = –5,8x2 + 11,8x + 7.
(Nguồn: https://askiitians.com)
Khi quả bóng chạm đất, ta có thời gian x thoả mãn phương trình:
–5,8x2 + 11,8x + 7 = 0.
Làm thế nào để giải đuợc phuơng trình trên?
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Giải phương trình: –5,8x2 + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.
Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,
∆ = 11,82 – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:
(không thỏa mãn điều kiện x > 0);
(thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.
Giả sử khi ném một quả bóng vào rổ, độ cao y (feet) của quả bóng và thời gian x (giây) liên hệ với nhau bởi công thức:
y = –5,8x2 + 11,8x + 7.
(Nguồn: https://askiitians.com)
Khi quả bóng chạm đất, ta có thời gian x thoả mãn phương trình:
–5,8x2 + 11,8x + 7 = 0.
Làm thế nào để giải đuợc phuơng trình trên?
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Giải phương trình: –5,8x2 + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.
Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,
∆ = 11,82 – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:
(không thỏa mãn điều kiện x > 0);
(thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.
Trong bài toán ở phần mở đầu, đối với đa thức –5,8x2 + 11,8x + 7 ở vế trái của phương trình, hãy xác định: bậc; hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.
Đa thức –5,8x2 + 11,8x + 7 ở vế trái của phương trình có bậc là 2; hệ số của x2 là –5,8; hệ số của x là 11,8 và hệ số tự do là 7.
Cho hai ví dụ về:
Phương trình bậc hai ẩn t;
Hai ví dụ về phương trình bậc hai ẩn t:
t2 – 2t + 3 = 0; t2 + 1 = 0.
Cho hai ví dụ về:
Phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn.
Hai ví dụ về phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn:
0x2 – x = 2; x + 1 = 0.
Giải phương trình:
(x – 2)2 = 0;
(x – 2)2 = 0
x – 2 = 0
x = 2.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2.
Giải phương trình:
(x – 1)2 = 9;
(x – 1)2 = 9
x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3
x = 4 hoặc x = –2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.
Giải phương trình:
(x – 3)2 = –1.
(x – 3)2 = –1.
Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên phương trình (x – 3)2 = –1 vô nghiệm.
Giải phương trình: (x – 4)2 = 11
Ta có:
(x – 4)2 = 11
hoặc 
hoặc 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và
Xét phương trình
2x2 – 4x – 16 = 0 (1)
Chia hai vế của phương trình (1) cho 2, ta được phương trình:
x2 – 2x – 8 = 0 (2)
Tìm số thích hợp cho 
khi biến đổi phương trình (2) về dạng: 
Ta có:
x2 – 2x – 8 = 0
x2 – 2x + 1 – 9 = 0
(x – 1)2 = 9.
Vậy ta điền được số thích hợp cho 
như sau:
Xét phương trình
2x2 – 4x – 16 = 0 (1)
Chia hai vế của phương trình (1) cho 2, ta được phương trình:
x2 – 2x – 8 = 0 (2)
Từ đó, hãy giải phương trình (2)
Ta có:
(x – 1)2 = 9
x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3
x = 4 hoặc x = –2.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.
Xét phương trình
2x2 – 4x – 16 = 0 (1)
Chia hai vế của phương trình (1) cho 2, ta được phương trình:
x2 – 2x – 8 = 0 (2)
Nêu các nghiệm của phương trình (1).
Vì chia hai vế của phương trình (1) cho số 2 khác 0, ta được phương trình (2) nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.
Giải phương trình:
a) 3x2 – x – 0,5 = 0;
3x2 – x – 0,5 = 0
Phương trình có các hệ số a = 3, b = –1, c = –0,5,
∆ = (–1)2 – 4.3.(–0,5) = 7 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:
Giải phương trình:
4x2 + 10x + 15 = 0;
4x2 + 10x + 15 = 0
Phương trình có các hệ số a = 4, b = 10, c = 15,
∆ = 102 – 4.4.15 = –140 < 0.
Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải phương trình
Phương trình có các hệ số a = –1, b = 1, 
Do ∆ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép 
Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b’.
Đặt ∆’ = b’2 – ac. Chứng tỏ rằng ∆ = 4∆’.
Ta có ∆ = b2 – 4ac = (2b’)2 – 4ac = 4b’2 – 4ac = 4(b’2 – ac) = 4∆’.
Vậy ∆ = 4∆’.
Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b’.
Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm
Trường hợp 1: ∆’ > 0 nên 4∆’ > 0 hay ∆ > 0.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Trường hợp 2: ∆’ = 0 nên 4∆’ = 0 hay ∆ = 0.
Khi đó phương trình có nghiệm kép là:
Trường hợp 3: ∆’ < 0 nên 4∆’ < 0 hay ∆ < 0.
Khi đó phương trình vô nghiệm.
Giải phương trình:
x2 – 6x – 5 = 0;
x2 – 6x – 5 = 0
Phương trình có các hệ số a = 1, b = –6, c = –5. Do b = –6 nên b’ = –3.
Ta có: ∆’ = (–3)2 – 1.(–5) = 14 > 0.
Do ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
Giải phương trình:
–3x2 + 12x – 35 = 0
–3x2 + 12x – 35 = 0
Phương trình có các hệ số a = –3, b = 12, c = –35. Do b = 12 nên b’ = 6.
Ta có: ∆’ = 62 – (–3).(–35) = –69 < 0.
Do ∆’ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải phương trình:
–25x2 + 30x – 9 = 0.
–25x2 + 30x – 9 = 0
Phương trình có các hệ số a = –25, b = 30, c = –9. Do b = 30 nên b’ = 15.
Ta có: ∆’ = 152 – (–25).(–9) = 0.
Do ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép 
Trong bài toán ở phần mở đầu, sau bao lâu thì quả bóng chạm đất?
Giải phương trình: –5,8x2 + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.
Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,
∆ = 11,82 – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:
(không thỏa mãn điều kiện x > 0);
(thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.
Trong bài toán ở phần mở đầu, sau bao lâu thì quả bóng chạm đất?
Giải phương trình: –5,8x2 + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.
Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,
∆ = 11,82 – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:
(không thỏa mãn điều kiện x > 0);
(thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.
Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):
Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:
Ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x1 = 3,209971027.
Ấn tiếp phím 
ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x2 = –0,3815439022.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 ≈ 3,2; x2 ≈ –0,4.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Đối với những phương trình bậc hai một ẩn đó, xác định hệ số a của x2, hệ số b của x, hệ số tự do c.
Phương trình 
là phương trình bậc hai ẩn x, có a = 0,5; b = –5; c = 
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Đối với những phương trình bậc hai một ẩn đó, xác định hệ số a của x2, hệ số b của x, hệ số tự do c.
0x2 – 0,25x + 6 = 0
Phương trình 0x2 – 0,25x + 6 = 0 không phải là phương trình bậc hai một ẩn vì a = 0.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Đối với những phương trình bậc hai một ẩn đó, xác định hệ số a của x2, hệ số b của x, hệ số tự do c.
Phương trình 
là phương trình bậc hai ẩn x, có a = –1; b = 
c = 0.
Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt. Điều ngược lại có đúng hay không? Vì sao?
⦁ Xét phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 – 4ac.
Theo bài, nếu ac < 0 thì – 4ac > 0.
Mà b2 ≥ 0 nên b2 – 4ac > 0, hay ∆ > 0.
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
⦁ Xét phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 – 4ac.
Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0, hay b2 – 4ac > 0, suy ra b2 > 4ac.
Ta thấy có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: b2 > 4ac > 0 thì khi đó ta có ac > 0.
Trường hợp 2: 4ac < 0 thì khi đó ta có ac < 0.
Vậy khẳng định chiều ngược lại là không đúng.
Giải phương trình:
x2 – x – 5 = 0;
x2 – x – 5 = 0
Phương trình có các hệ số a = 1, b = –1, c = –5,
∆ = (–1)2 – 4.1.(–5) = 21 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Giải phương trình:
2x2 – 0,5x + 0,03 = 0;
2x2 – 0,5x + 0,03 = 0
Phương trình có các hệ số a = 2; b = –0,5; c = 0,03;
∆ = (–0,5)2 – 4.2.0,03 = 0,01 > 0.
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Giải phương trình:
–16x2 + 8x – 1 = 0;
–16x2 + 8x – 1 = 0
Phương trình có các hệ số a = –16, b = 8, c = –1. Do b = 8 nên b’ = 4.
Ta có: ∆’ = 42 – (–16).(–1) = 0.
Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép 
Giải phương trình:
–2x2 + 5x – 4 = 0
Phương trình có các hệ số a = –2, b = 5, c = –4,
∆ = 52 – 4.(–2).(–4) = –7 < 0.
Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải phương trình:
Phương trình có các hệ số a = 3, b = 
c = 0,
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Ra đa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong 10 phút, phát hiện rằng tốc độ v (km/h) của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian t (phút) bởi công thức v = 3t2 – 30t + 135. (Nguồn: Toán 9 – tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2020)
Tính tốc độ của ô tô khi t = 5.
Khi t = 5, thay vào công thức v = 3t2 – 30t + 135, ta được:
v = 3.52 – 30.5 + 135 = 60.
Vậy khi t = 5 thì tốc độ của ô tô là 60 km/h.
Ra đa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong 10 phút, phát hiện rằng tốc độ v (km/h) của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian t (phút) bởi công thức v = 3t2 – 30t + 135. (Nguồn: Toán 9 – tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2020)
Tính giá trị của t khi tốc độ ô tô bằng 120 km/h (theo đơn vị phút và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Khi tốc độ của ô tô bằng 120 km/h, tức là v = 120, thay vào công thức v = 3t2 – 30t + 135, ta có:
3t2 – 30t + 135 = 120
3t2 – 30t + 15 = 0
t2 – 10t + 5 = 0.
Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –10, c = 5. Do b = –10 nên b’ = –5.
Ta có: ∆’ = (–5)2 – 1.5 = 20 > 0.
Do ∆’ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:
Ta thấy cả hai giá trị trên của t đều thỏa mãn điều kiện t > 0.
Vậy khi t ≈ 1 phút và t ≈ 9 phút thì tốc độ của ô tô bằng 120 km/h.
Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2019, nhà máy sản xuất được 5 000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của dịch bệnh nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2020 và 2021 đều giảm, cụ thể: Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019; Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020. Biết rằng số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 51% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019. Tìm x.
Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2020 là:
5 000 – 5 000.x% = 5 000 – 50x (sản phẩm).
Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:
5 000 – 50x – (5 000 – 50x).x%
= 5 000 – 50x – 50x + 0,5x2
= 5 000 – 100x + 0,5x2 (sản phẩm).
Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 51% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:
5 000 – 5 000.51% = 2 450.
Khi đó, ta có phương trình: 5 000 – 100x + 0,5x2 = 2 450.
Giải phương trình:
5 000 – 100x + 0,5x2 = 2 450
0,5x2 – 100x + 2 550 = 0
x2 – 200x + 5 100 = 0.
Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –200, c = 5 100. Do b = –200 nên b’ = –100.
Ta có: ∆’ = (–100)2 – 1. 5 100 = 4 900 > 0.
Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Ta thấy chỉ có giá trị x2 = 30 thỏa mãn điều kiện vì x% < 100%.
Vậy x = 30 là giá trị cần tìm.
Mảnh đất của bác An có dạng hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 10 m. Ở mỗi góc của mảnh đất, bác An đã dành một phần đất có dạng tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng 
chiều rộng của mảnh đất để trồng hoa (Hình 8). Tính chiều rộng mảnh đất đó, biết diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần đất trồng hoa là 408 m2.
Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (x > 0).
Chiều dài của mảnh đất là x + 10 (m).
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: x(x + 10) (m2).
Độ dài cạnh góc vuông của phần đất dạng tam giác vuông cân để trồng hoa là: 
(m).
Diện tích mảnh đất trồng hoa là: 
(m2).
Diện tích phần đất còn lại là: 
(m2).
Theo bài, diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần đất trồng hoa là 408 m2 nên ta có phương trình: 
Giải phương trình:
32x2 + 320x – x2 = 13 056
31x2 + 320x – 13 056 = 0.
Phương trình trên có các hệ số a = 31, b = 320, c = –13 056.
Do b = 320 nên b’ = 160.
Ta có: ∆’ = 1602 – 31.(–13 056) = 430 336 > 0.
Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
(thỏa mãn điều kiện x > 0);
(không thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 16 m.
