Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có: DE // BC.

Theo định lí Thalès, ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

Tương tự, ta có: $\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$

Do đó, $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AD}$

Suy ra $AD=\sqrt{AB.AF}=\sqrt{25.9}=15\left(cm\right)$

Xét tam giác ADC có EF // DC.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: 

$\frac{AF}{AD}=\frac{EF}{DC}\Rightarrow \frac{9}{15}=\frac{12}{DC}\Rightarrow DC=2$

Vậy DC = 20 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có AM là đường phân giác, ta có: $\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}$

Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ D và B đến cạnh AC.

Ta có AB = AD + DB.

Khi đó AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm).

Vì DH // BK (cùng vuông góc với AC) nên áp dụng hệ quả định lí Thalès ta có:

$\frac{DH}{BK}=\frac{AD}{AB}=\frac{13,5}{18}=\frac{3}{4}$

Ta có: $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AM}\Rightarrow \frac{AB}{1,5}=\frac{2,4+2,9}{2,4}\Rightarrow AB=3,3125\left(m\right)$

Vậy AB = 3,3125 m.

b) Đổi 10,8 dm² = 1080 cm².

MN // BC mà AH ⊥ BC nên AK ⊥ MN hay AK là đường cao của tam giác AMN.

Ta có $AK=\frac{1}{3}AH$

$\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{1}{3}BC$

Suy ra $S_{AMN}=\frac{1}{2}AK.MN=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}AH\cdot \frac{1}{3}BC=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}AH.BC\right)$

Hay $S_{AMN}=\frac{1}{9}{S}_{ABC}=120\left(c{m}^2\right)$

Tương tự, ta có: $S_{AEF}=\frac{4}{9}{S}_{ABC}=480\left(c{m}^2\right)$

Do đó $S_{MNEF}=S_{AEF}-S_{AMN}=480-120=360\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích tứ giác MNFE là 360 cm².

Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thalès, ta có:  $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{2}{4}=\frac{x}{7}\Rightarrow x=\frac{7}{2}$

Vậy $x=\frac{7}{2}$

Do CA ⊥ BD, DE ⊥ BD nên AC // DE.

Xét tam giác ABC có AC // DE.

Theo định lí Thalès, ta có: 

$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow \frac{3}{x}=\frac{5}{5+3,5}\Rightarrow x=5,1$

Vậy x = 5,1.

Xét tam giác HIK có PQ // IK.

Theo định lí Thalès, ta có: 

$\frac{HP}{HI}=\frac{HQ}{HK}\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{6,5}{6,5+3,5}\Rightarrow x=5,2$

Vậy x = 5,2.

Xét tam giác ABC có AD là tia phân giác góc A nên ta có: $\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{4,5}{7,2}\Rightarrow x=\frac{5.4,5}{7,2}=3,125$

Vậy x = 3,125.

Xét tam giác MNP có MI là phân giác góc M nên ta có: 

$\frac{IN}{IP}=\frac{MN}{MP}\Rightarrow \frac{3}{x-3}=\frac{5}{8,5}\Rightarrow x-3=\frac{3.8,5}{5}=5,1$

Do đó x = 8,1.

b) Tam giác ABC có OG // AB (gt)

Suy ra $\frac{CG}{BG}=\frac{CO}{AO}$ (theo định lí Thalès) (3)

Tam giác ACD có OH // AD (gt)

Suy ra $\frac{CO}{AO}=\frac{CH}{DH}$ (theo định lí Thalès) (4)

Từ (3) (4) suy ra $\frac{CG}{BG}=\frac{CH}{DH}$ ⇒ CG.DH = BG.CH

a) Vì ABCD là hình bình hành nên :

• AD // BC hay AD // BK

• AB // CD hay AB // DG

Áp dụng định lí Thalès ta có:

• AD // BK suy ra $\frac{AE}{EK}=\frac{ED}{EB}$ (1)

• AB // DG suy ra $\frac{ED}{EB}=\frac{EG}{AE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AE}{EK}=\frac{EG}{AE}$

Do đó AE2 = EK.EG (đpcm).

b) AB // DG suy ra $\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}$

AD // BC suy ra $\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{BD}$

Suy ra $\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{BD}+\frac{BE}{BD}=\frac{BE+DE}{BD}=1$(3)

Chia cả hai vế (3) cho AE ta được: $\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}=\frac{1}{AE}$ (đpcm).

a) Xét tam giác ABH có $\widehat{AHB}=90°$

Suy ra $\widehat{HAB}+\widehat{AHB}=90°$ (1)

Lại có: $\widehat{HAK}=90°$ suy ra $\widehat{HAB}+\widehat{BAK}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{BAK}$ (3)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HB // AK.

Do đó $\widehat{KAC}=\widehat{BDA}$ (hai góc đồng vị) (4)

Tam giác ABD có AD = AB.

Suy ra tam giác ABD cân tại A nên $\widehat{BDA}=\widehat{ABH}$ (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{KAC}$

Vậy AK là phân giác góc $\widehat{BAC}$