Giải SGK Toán 8 Cánh diều Bài 5. Phân thức đại số có đáp án

Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng PQ . Khi đó, biểu thức PQ  được gọi là phân thức.

a) Biểu thức 2x + 1 là đa thức.

a) Biểu thức x – 2 là đa thức khác đa thức 0.

a) Do x2y + xy2 và x – y là các đa thức và đa thức x – y khác đa thức 0 nên biểu thức x2y+xy2x−y là phân thức.

b) Do biểu thức 1x không phải là các đa thức nên biểu thức x2−11x không phải là phân thức.

Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:

Hai phân số ab và cd được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là ab=cd.

a) Ta có: (x + y)(x – y) = x2 – y2 và (x2 – y2) . 1 = x2 – y2.

Nên (x + y)(x – y) = x2 – y2) . 1.

Vậy x+yx2−y2=1x−y.

b) Ta có: x(x – 1) = x2 – x và (x2 – 1) . 1 = x2 – 1

Do x(x – 1) ≠ (x2 – 1) . 1 nên hai phân thức xx2−1 và 1x−1 không bằng nhau.

b) Tính chất cơ bản của phân số là:

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.

AB=A  .  MB  .  M với M là một số khác 0.

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

AB=A:NB:N với N là một nhân tử chung của A và B.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:

3x+yy=(3x+y)  .  yy  .  y=3xy+y2y2 (theo tính chất cơ bản của phân thức).

a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.

b) Ta có: 4x2y6xy2=4x2y:2xy6xy2:2xy=2x3y.

Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là 2x3y.

a) 8x2+4x1−4x2=4x(2x+1)(1−2x)(1+2x)

=[4x(2x+1)]:(2x+1)[(1−2x)(2x+1)]:(2x+1)=4x1−2x.

b) x3−xy22x2+2xy=x(x2−y2)2x(x+y)=x(x+y)(x−y)2x(x+y)

=[x(x+y)(x−y)]:[x(x+y)][2x(x+y)]:[x(x+y)]=x−y2.

Cho hai phân thức 1x2y và 1xy2.

a) • Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:

1x2y=1  .  yx2y .  y=yx2y2.

• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:

1xy2=1  .  xxy2  .  x=xx2y2.

b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau và đều bằng x2y2.

Để tìm MTC của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử

2x + 6 = 2(x + 3); x2 – 9 = (x – 3)(x + 3).

Bước 2. Chọn MTC là: 2(x – 3)(x + 3).

Cách tìm mẫu thức như bảng sau:

Để quy đồng mẫu thức của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm mẫu thức chung

Chọn MTC là: x(x – 1)(x + 1).

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)

[x(x – 1)(x + 1)] : x(x + 1) = x – 1; [x(x – 1)(x + 1)] : x(x – 1) = x + 1.

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng

2x2+x=1x(x+1)=x−1x(x+1)(x−1);

1x2−x=1x(x−1)=x+1x(x+1)(x−1).

Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2.

Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x ≠ 2.

Giá trị của biểu thức x+2x−1 tại x = 2 là: 2+22−1=41=4.

a) Điều kiện xác định của phân thức x+1x2+x là x2 + x ≠ 0.

b) • Với x = 10 ta thấy x2 + x = 102 + 10 = 100 + 10 = 110 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 10 là:

10+1102+10=11100+10=11110.

Do đó giá trị của phân thức tại x = 10 là 11110.

• Với x = −1 ta thấy x2 + x = (−1)2 + (−1) = 1 – 1 = 0.

Nên x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.

a) Điều kiện xác định của phân thức y3y+3 là 3y + 3 ≠ 0;

b) Điều kiện xác định của phân thức 4xx2+16 là x2 + 16 ≠ 0;

c) Điều kiện xác định của phân thức x+yx−y là x – y ≠ 0.

a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy

Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.

Do đó 3x2=15xy10y.

b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.

Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).

Do đó 3x−3y2y−2x=− 32.

c) Ta có (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) = x(x3 + 1);

Vì (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x3 + 1) nên x2−x+1x=x3+1x(x+1).

a) 24x2y216xy3=(24x2y2):(8xy2)(16xy3):(8xy2)=3x2y;

b) 6x−2y9x2−y2=6x−2y(3x)2−y2=2(3x−y)(3x+y)(3x−y)

=2(3x−y):(3x−y)(3x+y)(3x−y):(3x−y)=23x+y.

a) Ta có MTC: (x – 3y)(x + 3y)

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

2x−3y=2(x+3y)(x−3y)(x+3y); 3x+3y=3(x−3y)(x+3y)(x−3y).

b) Ta có: 4x + 24 = 4(x + 6); x2 – 36 = (x + 6)(x – 6).

Suy ra MTC: 4(x + 6)(x – 6).

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

74x+24=74(x+6)=7(x−6)4(x+6)(x−6); 13x2−36=13(x+6)(x−6)=13  .  4(x+6)(x−6)  .  4=524(x+6)(x−6).

a) Trong Hình 1:

• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là x + 3 (cm); chiều rộng là x + 1 (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x + 3)(x + 1) (cm2).

• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: x(x + 1) (cm2).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

(x+3)(x+1)x(x+1)=x+3x.

a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.

Khi đó, chi phí để sản xuất của x sản phẩm là 15x nghìn đồng.

Do đó, số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là:

80 000 + 15x (nghìn đồng).

Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là 80 000+15x1 (nghìn đồng).

b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: 80 000+15xx (nghìn đồng).

c) • Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là:

80 000+15  .  100100=80 000+1  5 00100=81  5 00100=815 (nghìn đồng).

• Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là:

80 000+15  .  1  0001  000=80 000+15  0 00100=9  5 00100=95 (nghìn đồng).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.