Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 1. Phân thức đại số có đáp án

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{3}{{2x\left( {5 - x} \right)}}\) là: 2x(5 ‒ x) ≠ 0.

b) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 4}}\) là: x² ‒ 4 ≠ 0.

c) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{x}{{{y^2} + 2xy}}\)là: y² + 2xy ≠ 0.

d) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{6,4y}}{{0,4{x^2} + 0,4x}}\)là: 0,4x² + 0,4x ≠ 0.

Lời giải

a) Ta có: x²y³.2 = 2x²y³ và 2x²y².y = 2x²y³ nên x²y³.2 = 2x²y².y

Vậy \(\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}\).

b) Ta có:

(x² ‒ x ‒ 2).(x ‒ 1) = x³ ‒ x² ‒ x² + x ‒ 2x + 2 = x³ ‒ 2x² ‒ x + 2

Và (x² ‒ 3x + 2)(x + 1) = x³ + x² ‒ 3x² ‒ 3x + 2x + 2 =  x³ ‒ 2x² ‒ x + 2

Nên (x² ‒ x ‒ 2).(x ‒ 1) = (x² ‒ 3x + 2)(x + 1)

Vậy \(\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).

c) Ta có:

(x + 3)(x² ‒ 3x + 9) = x³ + 3³ = x³ + 27

Và (x³ + 27).1 = x³ + 27

Nên (x² ‒ 3x + 9)(x + 3) = (x³ + 27).1

Vậy \(\frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}\).

Lời giải

a) Ta có: x.5 = 5x và (5x + 5).1 = 5x + 5.

Do x.5 ≠ (5x + 5).1 nên hai phân thức \(\frac{x}{{5x + 5}}\) và \(\frac{1}{5}\) không bằng nhau.

b) Ta có: ‒x.(x ‒ 5)² = ‒x(x ‒ 5)² và (x ‒ 5).[‒x(x ‒ 5)] = ‒x(x ‒ 5)²

Nên ‒x.(x ‒ 5)² = (x ‒ 5).[‒x(x ‒ 5)].

Vậy \(\frac{{ - x}}{{x - 5}} = \frac{{ - x\left( {x - 5} \right)}}{{{{(x - 5)}^2}}}\).

c) Ta có: ‒5.(x + y) = ‒5(x + y) và (‒x ‒ y).5 = ‒5(x + y)

Nên ‒5.(x + y) = (‒x ‒ y).5

Vậy \(\frac{{ - 5}}{{ - x - y}} = \frac{5}{{x + y}}\).

d) Ta có: ‒x.(3 ‒ x)² = ‒x(x ‒ 3)² và (x ‒ 3)².x = x(x ‒ 3)².

Do ‒x.(3 ‒ x)² ≠ (x ‒ 3)².x nên khi x ≠ 0 và x ≠ 3 thì hai phân thức \(\frac{{ - x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) và \(\frac{x}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\) không bằng nhau.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0 và y ≠ 0.

Ta có:\(\frac{{25{x^2}{y^3}}}{{35{x^3}{y^2}}} = \frac{{5.5.{x^2}.y.{y^2}}}{{5.7.x.{x^2}.{y^2}}} = \frac{{5y}}{{7x}}\).

b) Điều kiện xác định của phân thức là y ‒ x ≠ 0.

Ta có: \(\frac{{x - y}}{{y - x}} = \frac{{ - \left( {y - x} \right)}}{{y - x}} = - 1\).

c) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0 và y ≠ 0.

Ta có:\(\frac{{{{\left( { - x} \right)}^5}{y^2}}}{{{x^2}{{\left( { - y} \right)}^3}}} = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot {x^5}{y^2}}}{{\left( { - 1} \right) \cdot {x^2}{y^3}}} = \frac{{{x^3}}}{y}\).

d) Điều kiện xác định của phân thức là x³ ‒ 4x² + 4x ≠ 0.

Ta có: \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4{x^2} + 4x}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 2}}\).

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0 và y ≠ 0

Ta có: \(A = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = \frac{{{x^2}}}{y}\).

Với x = 1 ≠ 0; y = 2 ≠ 0, giá trị của phân thức đã cho tại x = 1; y = 2 là:

\(A = \frac{{{1^2}}}{2} = \frac{1}{2}\).

b) Điều kiện xác định của phân thức là20(2 – x)y² ≠ 0.

Ta có: \(B = \frac{{ - 4\left( {x - 2} \right){x^2}}}{{20\left( {2 - x} \right){y^2}}} = \frac{{4\left( {2 - x} \right){x^2}}}{{4.5\left( {2 - x} \right){y^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{5{y^2}}}\)

Với \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = \frac{1}{5}\) ta thấy \(20\left( {2--x} \right){y^2} = 20.\left( {2 - \frac{1}{2}} \right).{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{6}{5} \ne 0\)

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{5}\) là:

\(B = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{5.{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}}}\frac{{\frac{1}{4}}}{{5.\frac{1}{{25}}}} = \frac{1}{4}.5 = \frac{5}{4}\).

c) Điều kiện xác định của phân thức là x² ‒ 1 ≠ 0.

Với x = ‒7 ta thấy x² – 1 = (–7)² – 1 = 48 ≠ 0

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = ‒7 là:

\(C = \frac{{{{\left( { - 7} \right)}^2} - 8.\left( { - 7} \right) + 7}}{{{{\left( { - 7} \right)}^2} - 1}} = \frac{{49 + 56 + 7}}{{48}} = \frac{{112}}{{48}} = \frac{7}{3}\).

d) Điều kiện xác định của phân thức là x² ‒ y² ≠ 0

Ta có: \(D = \frac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\)\( = \frac{{5.\left( {{x^2} - 2x + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\)

                \( = \frac{{5{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{5\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}\)

Với x = 0,5; y = 0,6 ta thấy x² ‒ y² = (0,5)² – (0,6)² = –0,11 ≠ 0.

Giá trị của phân thức đã cho tại x = 0,5; y = 0,6 là:

\(B = \frac{{5(0,5 - 0,6)}}{{0,5 + 0,6}} = \frac{{ - 5}}{{11}}\).

Lời giải

a) Ta có: 15x³y² = 5x³y².3; 10x⁴z³ = 5x³.2xz³; 20y³z = 5y³z.4.

Chọn MTC là: 60x⁴y³z³

Nhân tử phụ của ba mẫu thức 15x³y²; 10x⁴z³; 20y³z lần lượt là: 4xyz³; 6y³; 3x⁴z².

Vậy: \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}} = \frac{{2.4xy{z^3}}}{{15{x^3}{y^2}.4xy{z^3}}} = \frac{{8xy{z^3}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{y.6{y^3}}}{{10{x^4}{z^3}.6{y^3}}} = \frac{{6{y^4}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{x}{{20{y^3}z}} = \frac{{x.3{x^4}{z^2}}}{{20{y^3}z.3{x^4}{z^2}}} = \frac{{3{x^5}{z^2}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\).

b) Ta có: 2x + 6 = 2(x + 3); x² ‒ 9 = (x ‒ 3)(x + 3)

Chọn MTC là: 2(x ‒ 3)(x + 3).

Nhân tử phụ của hai mẫu thức 2x + 6 và x² ‒ 9 lần lượt là: (x ‒ 3) và 2

Vậy: \(\frac{x}{{2x + 6}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\);

          \(\frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{4.2}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\).

c) Ta có: x³ ‒ 1 = (x ‒ 1)(x² + x + 1) và x² + x + 1 = x² + x + 1

Chọn MTC là: x³ ‒ 1 = (x ‒ 1)(x² + x + 1)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức x³ ‒ 1 và x² + x + 1 lần lượt là: 1 và x ‒ 1.

Vậy: \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^3} - 1}}\).

d) Ta có: 1 + 2x + x² = (1 + x)²;

               5x² ‒ 5 = 5(x² ‒ 1) = 5(x ‒ 1)(x + 1).

Chọn MTC là: 5(x ‒ 1)(x + 1)²

Nhân tử phụ của hai mẫu thức 1 + 2x + x² và 5x² ‒ 5 lần lượt là: 5(x ‒ 1) và x + 1.

Vậy: \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}} = \frac{{x.5.\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).5.\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{5x\left( {x - 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\frac{3}{{5{x^2} - 5}} = \frac{{3.\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax - ay} \right)}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right).a.\left( {x - y} \right)}} = \frac{1}{a}\).

Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.

b) Ta có: \(\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} - {x^2}}}{{2x + a}} = \frac{{\left( {x + a - x} \right)\left( {x + a + x} \right)}}{{2x + a}} = \frac{{a\left( {2x + a} \right)}}{{2x + a}} = a\).

Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.

Lời giải

a) Diện tích của miếng bìa ban đầu là x² (cm²)

Diện tích của mỗi góc miếng bìa hình vuông là: y² (cm²)

Diện tích của phần bìa còn lại sai khi cắt là: x² ‒ 4y² (cm²).

Phân số biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt là: \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4y}}\).

b) Giá trị của phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4y}}\) tại x = 4; y = 1 là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4y}} = \frac{{{4^2}}}{{{4^2} - 4.1}} = \frac{{16}}{{12}} = \frac{4}{3}\).