Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 17. Phương trình mặt cầu có đáp án

Phần mềm như Google Maps sử dụng công thức Haversine và phương pháp hình học cầu để tính toán khoảng cách giữa hai điểm dựa trên tọa độ địa lý của chúng.

Xuất phát từ việc chuyển đổi tọa độ địa lý sang tọa độ không gian Oxyz, tính góc giữa hai điểm trên bề mặt hình cầu và sau đó chuyển đổi góc đó thành khoảng cách cung tròn.

Điểm M(x; y; z) thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi IM = R

Û \(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R\) hay (x – a)² + (y − b)² + (z – c)² = R².

a) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{3}{2}\).

b) Có \(IM = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > R\).

Do đó điểm M nằm ngoài mặt cầu.

a) Mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ, bán kính R = 1 có phương trình là:

x² + y² + z² = 1.

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm \(J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).

Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Mặt cầu (S) có tâm \(J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) có phương trình là:

\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\).

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:

x² + y² + z² – 4x + 6y – 12 = 0

Û x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 + z² = 25

Û (x – 2)² + (y + 3)² + z² = 25.

Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(2; −3; 0) và R = 5.

Từ phương trình trên ta có a = −2; \(b = \frac{5}{2}\); c = −3 và \(d = \frac{{25}}{4}\).

Phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} .\)

Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên A(1; 0; 0). Do đó \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)\).

Điểm B(cos45°cos30°; cos45°sin30°; sin45°) hay \(B\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Có \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

Vì A, B thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1\).

Do đó \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} \approx 0,6124\). Suy ra \(\widehat {AOB} \approx 52,2388^\circ \).

Mặt khác, đường tròn tâm O đi qua A, B có bán kính 1 và chu vi là 2π ≈ 6,2832, nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{52,2388}}{{360}}.6,2832 \approx 0,9117\).

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí A, B xấp xỉ bằng 0,9117.6371 = 5808,4407 (km).

Bước 1: Truy cập vào Google Maps.

Bước 2: Trên thanh tìm kiếm nhập 0°N, 0°E. Google Maps chuyển đến vị trí đó.

Bước 3. Nhấp vào vị trí đó và chuột phải chọn “Đo khoảng cách”.

Bước 4: Trên thanh tìm kiếm nhập 45°N, 30°E và nhấn enter. Google Maps đưa đến vị trí này.

Bước 5: Nhấp chuột vào vị trí này. Một đường thẳng hiện ra kèm thêm khoảng cách giữa hai vị trí này.

Kết quả như hình vẽ sau:

Từ đây ta thấy kết quả đo tương đối chính xác với kết quả tính ở luyện tập 5.

Mặt cầu (S) có tâm I12;−1;0 và R = 3.

Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 0; 5) và bán kính R = 2 có phương trình là:

(x + 2)² + y² + (z – 5)² = 4.

Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\).

Mặt cầu (S) có tâm I(0; 3; −1) và \(R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\) có phương trình là:

\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{{49}}{{14}}\).

Mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x – 2y + 8z – 18 = 0 có tâm I(−1; 1; −4).

Bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 18} \right)} = 6\).

a) Phương trình có a = 1; b = 0; \(c = \frac{5}{2}\); d = 30.

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = - \frac{{91}}{4} < 0\). Nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.

b) Ta có a = 2; b = −1; c = 1; d = 0.

Có a² + b² + c² – d = 2² + (−1)² + 1² – 0 = 6 > 0.

Do đó đây là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm I(2; −1; 1) và \(R = \sqrt 6 \).

c) Đây không phải là phương trình mặt cầu. Vì phương trình mặt cầu phải có dạng:

x² + y² + z² + …

d) Đây không phải là mặt cầu vì x² + y² + z² = −5 < 0 (Vô lý).

Ta có AM=2−22+12+12=2>1.

Do đó vị trí M(2; 1; 1) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.