Giải SGK Toán 12 CTST Bài tập cuối chương 5 có đáp án
18 câu hỏi
Cho mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A.\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
B.\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).
C.\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
D.\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)?
A. y = 0.
B. x = 0.
C. y – z = 0.
D. z = 0.
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x = 0.
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\)?
A. x – 2y + 3z – 12 = 0.
B. x – 2y – 3z + 6 = 0.
C. x – 2y + 3z + 12 = 0.
D. x – 2y – 3z – 6 = 0.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) có phương trình là: (x – 1) – 2(y – 2) + 3(z + 3) = 0 Û x – 2y + 3z + 12 = 0.
Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; −2; 3). Khoảng cách từ A đến (P) bằng
A.\(\frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
B.\(\frac{5}{{29}}\).
C.\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
D.\(\frac{5}{9}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Cho ba mặt phẳng (α): x + y + 2z + 1 = 0, (β): x + y – z + 2 = 0 và (γ): x – y + 5 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. (α) ^ (β).
B. (γ) ^ (β).
C. (α) // (β).
D. (α) ^ (γ).
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (α), (β), (γ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\gamma }} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 1.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) = 0\). Do đó (α) ^ (β).
Có \(\overrightarrow {{n_\beta }} .\overrightarrow {{n_\gamma }} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0\). Do đó (γ) ^ (β).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\gamma }} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + 2.0 = 0\). Do đó (α) ^ (γ).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) không cùng phương với nhau nên hai mặt phẳng này không song song.
Cho đường thẳng d: . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
A.\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 3} \right)\).
B.\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2; - 1;3} \right)\).
C.\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 1;2;1} \right)\).
D.\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d: ?
A.\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\).
B.\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).
C.\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).
D.\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).
Cho đường thẳng d: . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?
A.\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t'\\y = 1 + t'\\z = 5t'\end{array} \right.\).
B.\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\).
C.\({d_3}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\).
D.\({d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {3;1;5} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} = 2.3 + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 1} \right).5 = 0\). Do đó d ^ d1.
Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
A. 30°.
B. 45°.
C. 60°.
D. 90°.
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).0 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra ((P), (Q)) = 30°.
Cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 9. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) là
A. I(−1; 2; 1) và R = 3.
B. I(1; −2; −1) và R = 3.
C. I(−1; 2; 1) và R = 9.
D. I(1; −2; −1) và R = 9.
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 9 có tâm I(−1; 2; 1) và R = 3.
Mặt cầu tâm I(−3; 0; 4) và đi qua điểm A(−3; 0; 0) có phương trình là
A. (x – 3)2 + y2 + (z + 4)2 = 4.
B. (x – 3)2 + y2 + (z + 4)2 = 16.
C. (x + 3)2 + y2 + (z − 4)2 = 16.
D. (x + 3)2 + y2 + (z − 4)2 = 4.
Đáp án đúng là: C
Bán kính của mặt cầu là \(IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = 4\).
Mặt cầu tâm I(−3; 0; 4) và R = 4 có phương trình là (x + 3)2 + y2 + (z − 4)2 = 16.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1\)Û x + y + z – 1 = 0.
Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:
−2 + 1 −1 −1 = −3 ≠ 0 nên D Ï (ABC).
Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.
Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
\[\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra (AB, CD) = 45°.
c) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0; 1; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 2(y – 1) – 2z = 0 Û x – 2y – 2z + 2 = 0.
Đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Ta có \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\).
Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.
a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2; - 7} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {0;4; - 6} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {16; - 6; - 4} \right)\)
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 0; 6) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {8; - 3; - 2} \right)\) có phương trình là 8(x – 1) – 3y – 2(z – 6) = 0 Û 8x – 3y – 2z + 4 = 0.
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD) ta được:
8.(−2) – 3.6 – 2.3 + 4 = −36 ≠ 0.
Do đó A Ï (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Ta có \(AH = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6;3} \right)\) và \(\overrightarrow {CD} = \left( {1;2;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 12;0;12} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua A(−2; 6; 3) và nhận \(\overrightarrow n = - \frac{1}{{12}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)\) có phương trình là (x + 2) – (z – 3) = 0 Û x – z + 5 = 0.
Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm M(3; 4; 24) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình z – 4 = 0.
Gọi (α): z – 4 = 0.
Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {24 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 20\).
Cho hai mặt phẳng (P): x – y – 6 = 0 và (Q). Biết rằng điểm H(2; −1; −2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q). Tính góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
Vì điểm H(2; −1; −2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra ((P), (Q)) = 45°.
Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như Hình 2.
a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (ACD).
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng AC.
d) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm M(0; 60; 40). Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC).
a) Ta có A(70; 0; 0), B(70; 0; −60), C(70; 80; 0), D(50; 0; 0).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 60} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4800;0;0} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(70; 0; 0), nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{4800}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;0;0} \right)\) có phương trình là x – 70 = 0.
Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;80;0} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 20;0;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1600} \right)\).
Mặt phẳng (ACD) đi qua A(70; 0; 0), nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{1600}}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\) có phương trình là z = 0.
c) Đường thẳng AC đi qua A(70; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow a = \frac{1}{{80}}\overrightarrow {AC} = \left( {0;1;0} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).
d) \(d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 70} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).
Cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C', với O là gốc tọa độ, A(2; 0; 0), C(0; 6; 0), O'(0; 0; 4). Viết phương trình:
a) Mặt phẳng (O'AC);
b) Đường thẳng CO';
c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp.
a) Mặt phẳng đoạn chắn của (O'AC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1\)Û 6x + 2y + 3z – 12 = 0.
b) Đường thẳng CO' đi qua C(0; 6; 0) nhận \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CO'} = \left( {0; - 3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6 - 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).
c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm I là trung điểm của O'B và bán kính IO'.
Có B(2; 6; 0), O'(0; 0; 4). Suy ra I(1; 3; 2) và \(IO' = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 2)2 = 14.
Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). Chứng minh rằng nếu điểm M(x; y; z) thỏa mãn MA2 = MB2 + MC2 thì M thuộc một mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).
MA2 = MB2 + MC2
Û (x – 1)2 + y2 + z2 = x2 + (y – 2)2 + z2 + x2 + y2 + (z – 3)2
Û x2 – 2x + 1 + y2 + z2 = x2 + y2 – 4y + 4 + z2 + x2 + y2 + z2 – 6z + 9
Û x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 + z2 – 6z + 9 – 2 = 0
Û (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 2.
Do đó M luôn thuộc vào mặt cầu S với tâm I(−1; 2; 3) và \(R = \sqrt 2 \).
